2025年中考数学一轮复习难点与新考法：二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）原卷版

难点与新考法07二次函数与线段'面积'角度问题（5大热考题型）

题型一：抛物线与动直线交点问题

题型二：抛物线与动线段交点问题

题型三：二次函数与线段问题

题型四：二次函数与面积问题

题型五：二次函数与角度问题

,精淮握分

题型一：抛物线与动直线交点问题

：指।点।迷।津

将二次函数和一次函数表达式联立，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系来

i

判断抛物线与直线的交点情况

按-4。》0抽物线与直线有两个交点；

b2-4ac=0T位物线与直线有一个交点：

b2-4ac<0抽物线与直线没有交点

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•河南开封•二模）已知二次函数y=/+侬+〃的图象经过点A（LO）和。（5,8）,与x轴的另

一个交点为8,与，轴交于点C.

⑴求二次函数的表达式及顶点坐标;

（2）将二次函数＞=/+„„+〃的图象在点C,。之间的部分（包含点C,。）记为图象G.已知直线/：

丁=丁》+6恒过点（2,3）,当直线/与图象G有两个公共点时，请直接写出人的取值范围；

⑶在第（2）题的条件下，匕取最大值时，将直线/向下平移，交抛物线于点PCq,%）和点。（犯，力），交线段

8c于点/（w，%），结合函数的图象，求国+尤2+尤3的取值范围.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•江苏南京•三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y=x+3的图

像与函数丫二^1■的图像交点的横坐标可视为方程V+3x=l的根.

X

⑴函数丫=尤+6的图像与函数y=’的图像有两个不同交点，求b取值范围.

X

⑵已知二次函数丫=-丁+2%-1（优为常数）.

①设直线＞=-2x+l与抛物线＞=-工2+2mx-l有两个不同交点，求加取值范围.

②已知点A（-2,-1）、B（2-1）,若抛物线y=*+2如T与线段AB只有一个公共点，请直接写出机的取值

范围.

2.（2024•江苏南通•一模）已知抛物线y=，九X?+2机x+〃（m,〃为常数，相>0）与x轴交于A,8两点（点

A在点8的左侧），与y轴交点C,顶点为。，AS=4.

（1）求3加+”的值；

（2妆口图，连接交AC于点E,求证：BE=2DE；

⑶设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作〃N〃x轴，交直线AC于点N.由线段MN

长的不同取值，试探究符合条件的点"的个数.

3.（2024・江苏无锡•一模）已知二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于A,5两点，交y轴于点C.一次函

数y=x-3&的图象经过点B,C.

⑴求二次函数的解析式；

（2）若二次函数y=^+4x+c的图象与平行于x轴的直线/始终有两个交点。，E（点。在点E的左侧），P

为该抛物线上异于£>,E的一点，点E,尸的横坐标分别为机，“7+1.当加的值发生变化时，ZPDE的度

数是否也发生变化？若变化，请求出ZPDE度数的范围；若不变，请说明理由；

⑶过点A的直线交直线BC于点连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于NACB的2倍时，求出点

M的坐标.

4.（2024,广东广州二模）已知二次函数、=元2-2皿+川_1的图象为抛物线c,一次函数、=履+6左（左片0）

的图象为直线/.

⑴求抛物线C的顶点坐标（用含根的式子表示）；

（2）若直线/与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求々的值；

⑶当次=；时，直线/与x轴交于点4与y轴交于点3,过点8作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交

点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P,当出为钝角三角形时，求机的取值范围.

题型二：抛物线与动线段交点问题

1.动线段在X轴上（点C在点D左侧）

I

交点情况无交点有一个交点有两个交点

图示rXJ"

节C1)/A外\\BC”DTTVriv

满足条件动线段CD在点A左侧或点D（或点C）在AB之间点C在点A左侧且点D在点B

在点B右侧右侧

2.动线段在直线上（点C在点D上方）

交点情况~无无交交点点有一个交点有有两两个个交交点点

【典例2】（2024・四川乐山•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为"完

美点抛物线、=依2_2"+2a（a为常数且。＞0）与y轴交于点A.

⑴若。=1,求抛物线的顶点坐标；

（2）若线段（含端点）上的"完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

⑶若抛物线与直线V=x交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个"完美点”,

求。的取值范围.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•云南文山•二模）已知抛物线y=ax2+2ax+c（a,c为常数，"0）经过点C（0,T）,顶点为D.

⑴当。=1时，求该抛物线的顶点坐标；

⑵将点产（0,3）向左平移4个单位得到点H,连接切，若抛物线与线段切恰有一个公共点，结合函数图

象，求a的取值范围.

2.（2024・云南昆明•三模）平面直角坐标系中，抛物线y=ad-3依+1与y轴交于点A.

⑴求点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）已知点P（0,2）、Q（a+2,1）,若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

一,1

3.（2024•山东荷泽•一模）如图，在平面直角坐标系尤Ox中，抛物线y=ar+Zu--（a<0）与y轴交于

a

点A,将点A向右平移2个单位长度，得到点8,点8在抛物线上.

⑴求点8的坐标（用含”的式子表示）.

（2）当8的纵坐标为3时，求。的值；

⑶已知点P［；,-讶），2（2,2）,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出。的取值范围.

4.（2024•广西南宁,模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+bx+c与直线A3相交于A,

8两点，点A的坐标为（0,-1）,点B的坐标为（TT）.

⑴求该抛物线的函数解析式.

（2）P为直线A3下方抛物线上的任意一点，连接B4,PB,求面积的最大值.

⑶点C（T,m）在直线上,将线段AC沿着y轴向上或向下平移,点A和点C的对应点分别为点A和点C,

为使平移后的线段AC与抛物线只有一个公共点，设点A的纵坐标为，，求〃的取值范围.

5.（2024•河北•模拟预测）如图，抛物线L:>=*+2〃a-2祖+2,M为抛物线的顶点，点尸是直线乙：V=x-2

上一动点，且点P的横坐标为m.

（1）求点A/的坐标（用含机的式子表示）；

⑵连接尸“，当线段尸河与抛物线L只有一个交点时，求他的取值范围；

⑶将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的"互反点”.若点P（私-1）.

①求抛物线上的解析式，并判断抛物线上是否有"互反点"，若有，求出"互反点"的坐标.若没有，请说明

理由；

②若点。（凡。）为x轴上的动点,过Q作直线），x轴,将抛物线L:y=x2+2mr-2/7/+2（x<«）的图象记为“,

将吗沿直线4翻折后的图象记为吗，当叱，吗两部分组成的图象上恰有2个"互反点”时，直接写出w的取

值范围.

题型三：二次函数与线段问题

:藉i"*i区T承...........

第一步:设点坐标及坐标表示

i

第二步:表示线段长

;第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解

【中考母题学方法】

【典例3】（2024•甘肃临夏•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线》=-/+云+。与x轴交于A（T,0）,

3（3,0）两点，与>轴交于点C,作直线BC.

⑴求抛物线的解析式.

（2）如图1,点尸是线段2C上方的抛物线上一动点，过点尸作尸Q，BC,垂足为Q,请问线段尸。是否存在

最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由.

⑶如图2,点M是直线BC上一动点，过点M作线段脑V〃OC（点N在直线3C下方），己知MN=2,若线

段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标人的取值范围.

【变式3-1](2024・安徽・模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=Y+bx+c的图象交x轴于

A(-l,0),8两点，AB=4,C为抛物线顶点.

图1图2

⑴求b,c的值；

(2)点P为直线AC下方抛物线上一点,过点尸作PQx轴，垂足为点。，交AC于点M,是否存在QM=3PM?

若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,以8为圆心，2为半径作圆，N为圆8上任一点，求CN+^AN的最小值.

【变式3-2］（2024•四川宜宾•中考真题）如图，抛物线y=/+6x+c与x轴交于点A（-l,0）和点8,与y轴交

于点C（0,-4）,其顶点为D

⑴求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

⑵在y轴上是否存在一点使得ABNW的周长最小.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由;

⑶若点E在以点P（3,0）为圆心，1为半径的0P上，连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形曲,

连接3F.求母■的取值范围.

【变式3-3](2024•湖南•中考真题)已知二次函数y=-无2+c的图像经过点A(-2,5),点P(/,yi),Q(x2,y2)

⑴求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点尸在直线A3的上方，过点尸作尸CJ_x轴于点C,

交A8于点。，连接AC。。,尸。.若当3+3,求证拄丝的值为定值；

^/\ADC

(3)如图2,点P在第二象限，马=-2玉，若点M在直线PQ上，且横坐标为玉-1,过点M作肱轴于点

N,求线段MN长度的最大值.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・山西太原•模拟预测）综合与探究

3Q

如图1,二次函数尸-/+尸+3的图象与尤轴交于点42（点A在点8左侧），与y轴交于点C.点尸

是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m,过点P作x轴的平行线交y轴于点D,交抛物线于

另一点E.

备用图

⑵如图2,当点尸在第二象限时，连接BC,交直线PE于点尺当PF=£F时，求机的值.

⑶当点P在第三象限时，以3。为边作正方形D3MN,当点C在正方形的边上时，直接写出点。的

坐标.

2.（2024・广东清远•模拟预测）如图，直线y=x-3与无轴、y轴分别交于点3,A,抛物线y=。（尤-2了+左

经过点A,B,其顶点为C.

（1）求抛物线的函数解析式;

（2）求VABC的面积；

⑶点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点尸作尸。II＞轴交直线A3于点求线段尸。的最大值及

此时点P的坐标.

3.（2024・湖北•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+bx+c与x轴交于A（l,0）和B（3,0）,

点D为线段3C上一点，过点。作，轴的平行线交抛物线于点E,连结8E.

⑴求抛物线的解析式；

⑵当VBDE为直角三角形时，求线段DE的长度；

⑶在抛物线上是否存在这样的点尸，使得NACP=45。，若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2024・湖北•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线、=履+4与x轴交于点A(T,0),与y轴交于

(1)求上的值及抛物线的解析式.

(2)如图①，若点。为直线AC上方抛物线上一动点，当44co=2NB4c时，求D点的坐标；

⑶如图②，若P是线段。4的上一个动点，过点尸作直线所垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、

E,连接CE.设点/的横坐标为优.

①当加为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；

②是否存在以C,G,E为顶点的三角形与AAFG相似，若存在，直接写出机的值；若不存在，请说明理

由.

5.（2024•山西•模拟预测）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+c与x轴交于A,B两点（点A在点8的右侧），与＞轴

4

交于点C,连接AC.已知点3（—3,0）,C（0,3）.

⑴求该抛物线的表达式及直线AC的表达式.

⑵D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点。作DP_LAC于点尸，求尸口的最大值.

⑶在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，”为点。的对应点，平移后的抛物线与y轴交

于点N,。为平移后抛物线的对称轴上的任意一点.直接写出所有使得以QN为腰的AQWN是等腰三角形

的点。的坐标.

6.（2024・安徽合肥•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线丫=质与抛物线、=以2+。交于4（8,6）,B

两点，点8的横坐标为-2.

⑴求直线AB和抛物线的解析式；

（2）点尸是直线A8下方的抛物线上一动点（不与点A、3重合），过点尸作x轴的平行线，与直线A3交于点C,

连接P。，设点尸的横坐标为机；

①若点P在x轴上方，当机为何值时，△POC是等腰三角形；

②若点尸在x轴下方，设△尸OC的周长为P,求P关于加的函数关系式，当机为何值时，△POC的周长

最大，最大值是多少？

7.(2023•青海西宁•中考真题)如图,在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点4(6,0),与y轴交于点3(0,-6),

抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

⑴求直线/的解析式；

⑵求抛物线的解析式；

⑶点P是直线/下方抛物线上的一动点，过点尸作PC_Lx轴,垂足为C,交直线/于点，过点尸作尸M，/,

垂足为V.求尸M的最大值及此时P点的坐标.

题型四：二次函数与面积问题

I指I点I迷I津

一、面积问题的解题步骤

;第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等

;第二步：根据点坐标表示出线段长

i

;第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形

与特殊四边形)，利用“水平宽X铅垂高”和补全图形法求解。

二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法：

1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化，如图①,作直线I//AB交抛物线于点P,则SAPAB

2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比，如图②,直线!与抛物线交于点P,与AB交于点Q,则SAPA*O逗A=Q点!

S"BQBQ

3.图形面积平分:若图形为三角形，构造三角形任意一条中线，该中线平分这个三角形的面积如图③，直线!经=

过点A和BC的中点P,则,

3AAe尸一

【中考母题学方法】

【典例4】（2024•福建・中考真题）如图，已知二次函数y=Y+法+。的图象与x轴交于两点，与>轴交

于点C,其中A（-2,0）,C（0,-2）.

⑴求二次函数的表达式；

（2）若尸是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段尸C交x轴于点的面积是△COB的面

积的2倍，求点尸的坐标.

【变式4-1](2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C其中5(1,0),C(0,3).

⑴求抛物线的解析式.

(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△好(7的面积最大.若存在，请直接写出点尸坐标和△APC

的面积最大值；若不存在，请说明理由.

【变式4-2](2024•四川遂宁,中考真题)二次函数，=加+及+。("0)的图象与x轴分别交于点

⑴求二次函数的表达式；

(2)当RC两点关于抛物线对称轴对称，△。尸Q是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点。的坐标；

⑶设尸的横坐标为垃，。的横坐标为加+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最

小值，若不存在，请说明理由.

【变式4-3](2024•内蒙古包头•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-2/+云+c与x轴相交

(2)如图1,若C是，轴正半轴上一点，连接AC,CM.当点C的坐标为(0,；1时，求证：ZACM^ZBAM；

(3)如图2,连接BM,将AABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点AT处，过点5的直线与线段W

相交于点D,与＞轴负半轴相交于点E.当时，3sMB。与2s△“她是否相等？请说明理由.

DE7

【中考模拟即学即练】

1.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，二次函数y=无+。的图象与无轴交于A、B两点，与y轴交

于点C,点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,-3）,连接8C.

⑴求该二次函数的解析式；

（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当ABCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为

2.（2024・甘肃•模拟预测）如图，抛物线>=加+云+。（。彳0）的图象经过4（1,0）,5（3,0）,。（4,6）三点.

⑴求抛物线的解析式和顶点M的坐标；

⑵在直线下方的抛物线上是否存在一点E,使△AED的面积最大，若存在，求出点E的坐标和△AED的

最大面积；

（3）尸为抛物线上的一动点，。为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点尸，使A、。、P、。为顶点的四边

形为平行四边形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2024・四川乐山•模拟预测)已知二次函数丁=-*+以+2〃(a>0)与x轴交于A、8两点，与，轴交

于C,顶点为£).

图①图②

⑴如图①，若VABC为直角三角形，求。的值；

(2)如图②，设力D与BC交于M,在。的变化过程中，VABC与不重合部分的面积比券”的值是否

为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由；

⑶如图③，若a=2,作。4的中点N,过点N在第二象限内作x轴的垂线段EN=9,以N4、WE为邻边作

矩形4VEF,记矩形4VE/与AACD重叠部分的面积为S,矩形4VEF以每秒1个单位长度的速度向右运动，

当AF经过。点时，停止运动.设运动时间为f,求S与f的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围.在

运动过程中，S是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值.

4.（2024•山东淄博•模拟预测）如图，已知二次函数、=/+法+。经过A,8两点，3CJ_x轴于点C,且点

A（-l,0）,C（4,0）,AC=BC.

备用图

⑴求抛物线的解析式；

（2）点E是线段A3上一动点（不与A,3重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点尸，当线段所的长度

最大时，求点E的坐标及S—B-；

⑶点尸是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使AABP成为直角三角形？若存在，求出所有

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.（2024•四川成都•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=/-2依-3as>0）与x轴

O是抛物线第四象限上一点.

⑴求线段A3的长;

（2）当。=1时，若AACD的面积与的面积相等，求tan/ABO的值；

⑶延长CD交x轴于点E,当AD=D£时，将AADB沿DE方向平移得到将抛物线Z平移得到抛物

线〃，使得点A’,?都落在抛物线〃上.试判断抛物线〃与L是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；

若不是，请说明理由.

6.（2024・四川凉山・中考真题）如图，抛物线y=-f+bx+c与直线y=x+2相交于4（-2,0）,川3,m）两点,

与x轴相交于另一点C.

⑴求抛物线的解析式;

（2）点P是直线A3上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点尸作直线轴于点。，交直线A8于

点、E,当PE=2ED时，求P点坐标;

⑶抛物线上是否存在点M使AABM的面积等于VA3C面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

7.（2024・四川眉山・中考真题）如图，抛物线>=-/+法+,与工轴交于点4（-3,0）和点5,与>轴交于点

C（0,3）,点D在抛物线上.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点。在第二象限内，且AACD的面积为3时，求点。的坐标；

⑶在直线8C上是否存在点尸，使△OPD是以尸。为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

8.（2024・山东济宁,中考真题）已知二次函数一加+bx+c的图像经过（0,-3）,（-6,c）两点，其中a,b,c

为常数，且必＞0.

⑴求a,c的值;

（2）若该二次函数的最小值是Y,且它的图像与无轴交于点42（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,8的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点尸，过点尸作x轴的垂线，垂足为与直线AC交于点

E,连接尸C,CB,BE.是否存在点P,使於空=楙？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明

'△CBE"

理由.

9.（2024•山东东营•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=d+6x+c与x轴交于4-1,0）,

8（2,0）两点，与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的表达式；

⑵当点。在直线BC下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交于点E,设点。的横坐标为f,DE的

长为/,请写出/关于t的函数表达式，并写出自变量f的取值范围；

⑶连接A£）,交BC于点尸，求:的最大值.

题型五：二次函数与角度问题

|¥iiiai।¥.................................

1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定，且角度为特殊角（30°、45。、60°、90°）

；第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形

:第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题

i

:第三步：结合锐角三角函数值列方程求解

2.角度的顶点位置不确定，对边位置及长度已确定，且角度为特殊角（30。45。60。90。）需通过定弦定角构造辅助

；圆，辅助圆与抛物线的交点即为所求点.

【中考母题学方法】

【典例5】（2024•湖北・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线>=-尤2+法+3与苫轴交于点4（-1,0）和点8,

与>轴交于点C.

（2）如图，M是第一象限抛物线上的点，ZMAB=ZACO,求点M的横坐标；

⑶将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为LL与y轴交于点N.设L的顶点横坐标为“，NC的

长为d.

①求d关于“的函数解析式；

②L与x轴围成的区域记为U,U与AABC内部重合的区域（不合边写）记为W.当［随〃的增大而增大,

且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出”的取值范围.

【变式5-1］（2024•江苏连云港•中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=依?+法-］（人b为

常数，a>0）.

⑴若抛物线与x轴交于4-1,0）、8（4,0）两点，求抛物线对应的函数表达式；

⑵如图，当b=1时，过点C（T。）、D（l,a+2应）分别作，轴的平行线，交抛物线于点M、N,连接MN、MD.求

证：MD平分/CMN；

⑶当。=1,。4-2时，过直线y=x-l（lWxW3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点//.若GH的最大

值为4,求b的值.

【变式5-2](202牛海南・中考真题)如图1,抛物线产-/+法+4经过点4(—4,0)、3(1,0),交了轴于点。(0,4),

点尸是抛物线上一动点.

(2)当点P的坐标为(-2,6)时，求四边形AOCP的面积；

⑶当NPBA=45。时，求点尸的坐标；

(4)过点A、0、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接AE、AF.EF,判断△?!£/的形状，并说明理由.

【变式5-3](2024•广东深圳•模拟预测)如图，抛物线与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,

OB=OC=3,OA=1,顶点为。

(2)P为直线2C上方抛物线上一点，求△PBC面积最大值及P点坐标;

⑶P为第四象限抛物线上一点，且tan/APC=：,求出点P的坐标;

【变式5-4］（2024•山东烟台•中考真题）如图，抛物线％=G?+fox+c与尤轴交于A,5两点，与>轴交于

点C,OC^OA,AB=4,对称轴为直线/a=-1,将抛物线％绕点。旋转180。后得到新抛物线为，抛物

线上与丁轴交于点。，顶点为E，对称轴为直线

⑴分别求抛物线》和内的表达式；

⑵如图1,点尸的坐标为（-6,0）,动点M在直线乙上，过点M作时V〃x轴与直线4交于点N,连接引以，

DN.求9+MN+DN的最小值；

⑶如图2,点//的坐标为（0,-2）,动点尸在抛物线上上，试探究是否存在点尸，使NPEH=2ZDHE?若存

在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，已知抛物线-2ax+c与x轴交于点A,2（点A在点2的左边）,

与y轴负半轴交于点C,且OC=3,直线y=x+b经过8,C两点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,点。在抛物线上，满足/。出=45。+/日笫，求点。的坐标；

（3）如图2,设抛物线的顶点为T,直线>=区-左-3与抛物线交于点E,尸（点E在点尸左侧），G为EF的中

点，求；二二的值.

33

2.（2024•重庆渝北•模拟预测）如图，直线>=一/彳+3与x,y轴分别交于点A,B,抛物线y=+公+。

经过A,B两点,与无轴的另外一个交点为C,点尸是直线A3上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平

行线交直线A3于点D.

⑴求抛物线的表达式；

3

⑵求PO+gBD的最大值及此时点P的坐标；

⑶在点P运动过程中，连接PC,当PC的中点恰好落在y轴上时，连接AP,在抛物线y=--x2+bx+c1.

是否存在点。，使得=如果存在，请写出所有符合条件的点。的坐标；如果不存在，请说明

理由.

3.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知抛物线丁=62+次+°（。彳0）,函数值y和自变量x的部分对应取值如下

表所示，在山，"，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数:

X-3-2-101

y4mn4P

⑴求抛物线的表达式；

⑵该抛物线与x轴交于A,8两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,。为抛物线上一点.

①若点。在第二象限，过点。作x轴的垂线，垂足为E,设DE交AC于点足当/加+OE取得最大值时,

求点D的坐标；

②是否存在点。，使得/D45=/OCB?若存在，请求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

4.（2024•内蒙古呼伦贝尔•模拟预测）如图，已知抛物线y=-6与x轴交于A、8两点，与y轴交于

点C,并且经过尸（-1，〃），2（5-〃）两点.

⑴求抛物线的解析式；

DF

⑵点。为直线AC下方抛物线上的一动点，直线8。交线段AC于点E,请求出大的最大值;

⑶探究：在抛物线上是否存在点M,使得ZMAB=2/OCB?若存在，求出点"的坐标；若不存在，说明理

由.

5.(2024•湖南,模拟预测)定义：若抛物线G沿x轴向右平移机个单位长度得到抛物线G，那么我们称抛物

线G是G的"友好抛物线"，垃称为"友好值".如图，抛物线&:丫=°5+2)2-6与五轴交于4(-8,0),3两点,

抛物线G是G的“友好抛物线"，"友好值”为2,抛物线G与x轴交于4,与两点，与y轴交于点C,作直线BQ

点M是抛物线G上一动点.

(1)抛物线C2的表达式为；

(2)若点M在第四象限，过点M作M2，无轴于点。，交gC于点P,当尸。=29时，求的长;

⑶是否存在点使得/MC瓦=15°?若存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2024•江苏苏州•一模）如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=d+bx+c与轴交于点

%。）、B两点,与y轴交于点c（吟,连接。c.

⑴求抛物线的解析式；

（2）点。为抛物线上的一点（不与点A重合），当△QBC的面积等于VABC面积的2倍时，求此时点。的坐

标；

（3）如图2,点尸在x轴下方的抛物线上，点。为抛物线的顶点.过点。作。轴于点E,连接3D,AD交

PB于点、F,连接呼，ZEFB=2ZFBD,探究抛物线上是否存在点M,使NMBC+NCBO+4出B=180。，

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

7.(2024・