2025年中考数学一轮复习难点与解题模型专练：四边形中模型、角度与面积（6大热考题型）原卷版

难点与解题模型14四边形中模型、角度与面积（6大热考题型）

题型一：中点四边形模型

题型二：十字架模型

题型三：对角互补模型

题型四：半角模型

题型五：四边形中特殊角度问题

题型六：四边形中的面积问题

题型突.精淮提分

题型一：中点四边形模型

「藉T百T至「承....................I

ii

['中点四边形"，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形

的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态:

（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）

（-）中点四边形一定是平行四边形

i

1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形

四边形EFGH为平行四边形四边形EFGH为菱形

2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形

四边形EFGH为平行四边形

3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形

四边形EFGH为平行四边形四边形EFGH为正方形

（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和

（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一

【中考母题学方法】

【典例1-1](2024•青海•中考真题)综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

证明：SE、F、G、H分别是4B、BC、CD、D4的中点,

国防、GH分别是VA3C和AACD的中位线，

EIEF=-AC,GH=-AC(①)

22----------------

®EF=GH.

同理可得：EH=FG.

团中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

（1）请你补全上述过程中的证明依据①

（2）下面我们结合图2来证明猜想回，请你在探究一证明结论的基础上，写出后绫的证明过程.

（4）下面我们结合图3来证明猜想回，请你在探究一证明结论的基础上，写出后绫的证明过程.

【归纳总结】

（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

中点四边形形状

原四边形对角线关系

③________④________

结论：原四边形对角线③时，中点四边形是④

【典例1-2】（2023•山西•中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应

任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形ABCD中，点分别是边加的中点，顺次连接E,£G,",

得到的四边形EFGH是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形瓦被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里

图1

尼翁（而"力尸汕“1654—1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:

证明：如图2,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点。作DM工AC于点M,交房于点N.

团H,G分别为AD,CD的中点，SiHG//AC,HG=^AC.（依据1）

2

RDN=NM,DM.

也DG=GC

2

回四边形EFG"是瓦里尼翁平行四边形，QHE〃GF,即族〃GQ.

^HG//AC,即〃尸Q,

回四边形"是平行四边形.（依据）

PQG20SDHPQG=HGMN=^HGDM.

=

国/ADC='AC'OM="G,DW,El^nHPQG^AADC■同理，…

任务:

⑴填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形MCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFG”,使得四边形EFG”

为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)

(3)在图1中，分别连接AC,2D得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形ER汨的周长与对角线AC,助长度

的关系，并证明你的结论.

图3

【典例1-3】(2024•江苏泰州•三模)如图，点E、F、G、”分别在菱形ABCD的各边上.

图1图2图3备用图

【初步认识】

(1)如图1,若AE=AH=CF=CG,则四边形EFGH一定是()

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【变式探究】

(2)如图2,若AC、3D交于点。，E、”分别是AB、AD上一点，OE=OH,AE^AH,EO、"O的延

长线分别交在CD、BC于点G、b，求证：四边形£FGH是矩形.

【深入思考】

(3)如图3,若AC、3。交于点。，且49=10,8=5,当满足什么条件时,可作出两个不同矩形EPG”,

请直接写出你的结论.

(4)在(3)的条件下，设AH=x,AE=y,请探索》与x满足的关系式.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1](2024•贵州•模拟预测)如图1,已知四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H、依

次连接跖、FG、GH、HE、得到四边形EFG”.

C

图1图2

⑴求证:四边形EFG”为平行四边形；

(2)连接AC与3。，当AC与满足什么条件时，四边形瓦是矩形？

(3)如图2,若四边形ABCD是菱形，则四边形ERGH是什么图形，请说明理由.

【变式1-2】(2024•陕西宝鸡•模拟预测)如图，在四边形ABCD中，己知对角线AC=3D,点E,F,G,H

分别为AB,BC,CD,1M边上的中点，连接跖，FG,GH,HE.求证：四边形EFG”为菱形.

【变式1-3］（2023•陕西宝鸡•一模）问题提出

如图1,在VABC中，AB^12,AC^9,DE//BC.若AD=4,则AE的值为.

问题探究

如图2,在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点。，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、4D的中

点，连接环、FG、GH、HE.若4?=14,3£>=16,4103=60。，求四边形EFG”的面积.

问题解决

如图3,某市有一块五边形空地ABCDE,其中/朋£=445。=乙88=90。,48=60。米，80=800米，

AE=650米，£>C=400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园MNG”,使点M、N、G、H

3

分别在边AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan/BNM=:,请问，是否存在符合设计要求的

面积最大的四边形花园MNG”?若存在，求四边形MNG”面积的最大值；若不存在，请说明理由.

【变式1-4］（2024•宁夏银川•一模）如图1.在VA8C中，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE：

A

一7

操作1.将VADE绕点E按顺时针方向旋转180。到△CEE的位置.

操作2.延长DE到点E使EF=DE,连接CF.

试探究DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？B4--------------

图1

（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理,

【结论应用】

（2）如图2,四边形中，对角线AC、5D相交于点O,四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次

连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH.

图2

①求证：四边形EFG”为平行四边形；

②当AC与8。满足一时，四边形EFGH是矩形，当AC与8。满足一时，四边形EFGH是菱形.

③若AC=16,次）=20,ZA（9fi=60°,求四边形EFGH的面积.

【问题解决】

（3）如图3所示，在一个四边形ABCD的草坪上修一条小路，其中点尸和点。分别为边48和边。的中

点，且NA+NABC=90。，BC=6,AD=8,求小路P。的长度.

图3

【变式1-5](2023•黑龙江齐齐哈尔•三模)折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、

飞机、小船等.在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识.

如图①，菱形纸片ABCD中,AB=4,ZA=60°.

B

图①图②图③图④

(1)活动一:

如图②，折叠菱形纸片ABCD,使点A落在点B处，则折痕的长为,；菱形纸片的面积是

(2)活动二：

如图③，瓦EG,”分别是菱形纸片ABCD各边的中点，分别沿着所，/G,GH,HE折叠并展开.猜想四边

形E打汨是什么特殊四边形，并证明你的猜想；

⑶活动三：如图④，先将菱形纸片沿AC折叠再展开，点及EG,”分别在边AB,8C,CD,D4上且

EF〃AC,再分别沿着石尸,尸&68,上石折叠再展开，若四边形£7七”是正方形，则AE=；

⑷活动四：如图⑤，折叠菱形纸片ABCD,使点A落在BC边的中点F处，则折痕MN的长为.

题型二：十字架模型

「藉i逗T系

i在正方形或矩形中存在两条线段相交且垂直，因其形似“十字架"，所以我们称其为“十字架”模型.

i

类型正方形过顶点型矩形过顶点型

图示AFDAFn

FC""7---1

IL--------------------------J

BCBC

条件在正方形ABCD中，点E,F分别在边在矩形ABCD中,点在边AD上,CE

CD,AD上,AE_LBF±BD

解题思路利用正方形的各边相等且四个角利用矩形的四个角均为直角及

均为直角，及AEXBF将同角的余CEXBD将同角的余角进行转化.

角进行转化，证明4ABF和4DAE证明ABCD和ZXCDE相似,进而得

全等进行求解到对应边成比例进行求解

结论△ABF^ADAE.BF=AEASCD~ACDE,—=—

CECD

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2021•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，正方形A8CQ的边长为3,E为BC边上一点,BE=1.

将正方形沿GP折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF,EF,GE,则四边形AGEF的面积为（）

C.6D.5

【典例2-2】（2024•重庆•模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段

的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究.请根据他的思路完成以下作图与填空：

如图，正方形ABC。中，点尸、E、G分别在AB、BC、CD上，且AELFG.

⑴尺规作图：过点G作垂线交A3于点〃.（只保留作图痕迹）

⑵证明AE=FG,将下面的过程补充完整.

证明：•・・四边形A5C。是正方形，

,-.ZB=ZC=90°,BC=AB,

QHGLAB,

:.ZGHF=90°,

・•.々=①一

vFGlAE,

..ZAFG-^-ZBAE=90°f

・.・NB4£+NAEB=90。，

@_=ZAFG

ZB=ZC=/GHB=90°,

二•四边形BCG”为矩形，

:.BC=GH,

:.@_=GH.

.(④)

.\AE=FG.

【典例2-3】（2024•河南・一模）综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,在正方形MCD中，已知所，求证:AE=BF.

甲小组同学的证明思路如下:

由同角的余角相等可得/AB尸=NZME.再由=ZBAF=ZD=90°,证得△ABJ&AZME(依据：

),从而得AE=3尸.

乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知/场=所，同样可证得尸，证明思路如下：

由AB=ZM,=可证得Rt"lBF丝RtADAE(HL),可得zABb=NZME,再根据角的等量代换即可证

得AELJBF.

完成任务：

(1)填空：上述材料中的依据是(填"SAS"或"AAS"或"ASA"或"HL")

【发现问题】

同学们通过交流后发现，己知尸可证得隹二所，已知/a=3/同样可证得AE_LJB尸，为了验证这

个结论是否具有一般性，又进行了如下探究.

【迁移探究】

(2)在正方形A3CD中，点E在C。上，点M,N分别在AT>,BC上，连接力瓦腑交于点P.甲小组同学根

据MNJ_AE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所示.甲小组同学发现已知

上亚，隹仍能证明皿=4£,乙小组同学发现已知MN=AE无法证明MNLAE一定成立.

图3

①在图2中，己知MN_LAE,求证：MN=AE；

②在图3中，若=则4PM的度数为多少?

【拓展应用】

(3)如图4,在正方形ABCD中，相=3,点£在边A3上，点M在边AD上，且AE=AM=1,点尸，N

分别在直线CD,BC上，若EF=MN,当直线EF与直线"N所夹较小角的度数为30。时，请直接写出CP的

长.

【典例2-4】（2024•河南商丘•三模）（1）【操作判断】

如图1,在正方形中，点、E,F,G,"分别在边AB,CD,AD,BC±,且EFLGH,则跖与G”的

数量关系为二

（2）【迁移探究】

如图2,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点E,F,G,"分别在边AB,CD,AD,BC±,且

EFLGH,£F与G”交于点。，试说明（1）中的结论是否发生变化，如果结论不变，请说明理由；如果变

化，请写出新结论并给出证明；

（3）【拓展应用】

如图3,在mAABC中，ABAC=90°,AB=AC,当点。为AC的三等分点，且AEL8D时，直接写出AE与

3。的数量关系.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（2024•江苏徐州,模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了

如下探究：

【初探猜想】如图1,在正方形ABCD中，点、E,P分别是A3、A£＞上的两点，连接DE,CF,若DELCF,

试判断线段OE与CF的大小关系，并说明理由；

【类比探究】如图2,在矩形ABCD中，AD=6,CD=3,点、E、/分别是边AD、BC上一点，点G、H

EF

分别是边AB、CO上一点，连接跖，GH,若跖，GH,则=7=；

【知识迁移】如图3,,在四边形ABCD中，NZMB=90。，点石、厂分别在线段AB、AD上，且CELBZ"

连接AC,若VABC为等边三角形，求片CE的值；

BF

【拓展应用】如图4,在正方形45CD中，E是的中点，F、G分别是边AB、CD上的动点，且尸GLAE

交A石于"，连接斯和AG,当相=2时，则石F+AG的最小值为______.

AFDD

BCBEC

图1图4

【变式2-2］（2024・湖北恩施•三模）综合与探究

问题背景：如图3,四边形A3。是矩形，AB=mBC,点G、H、E分别是线段AD、BC、AB上的动点,

连接G/I,过点E作GH的垂线交线段C。于点尸（只考虑尸在C。上的情况）

ATJ

⑴①如图1,当点G运动到A点，点E运动到2点时，若AB=6,BH=2,…则正的值为

（直接写答案）

②如图2,当点G不与A点重合，点E运动到2点时，若加=2,试求器的值.

问题探究:

⑵如图3,当G不与A重合,“不与2重合时,用含根的式子表示箸的值•

问题拓展:

9

（3）如图4,将背景问题中的矩形改成己知”在四边形G8C尸中，ZC=90°,BG=®BC,sinZGBC=—,

G"，则等的值为.

.（直接写答案）

【变式2-3](2023•广东深圳•模拟预测)【探究证明】

(1)如图1,矩形A8CD中，EF^\GH,EF分别交A8、CD于点E、F,GH分别交4。、8C于点G、H,求

丁EFAD

正:-G-H-=-A--B;

【模型应用】

(2)如图3,四边形ABC。中，0ABe=90。，AB=AD=W,BC=CD=5,AM3£W,点M、N分别在边8C、AB

上,求质的直

【变式拓展】

(3)如图3,平行四边形ABC。，AB=2,AlD=6,ZBAD=60°,直线/与平行四边形相交，将平行四边形

沿直线/折叠，当其中有一组对角顶点重合时,请直接写出折痕的长度.

D

:D日FC；艰Z，V

AE”4NB6_-------、c心--------、c

图1图2图3备用图

题型三：对角互补模型

i指।点।迷।津

模型1:全等形一-90。对角互补模型

模型2:全等形-120°对角互补模型

模型3:全等形一一任意角对角互补模型

模型4:相似形一-90。对角互补模型

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2023・四川成都•统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以

下探究.

Ar\1

在中，ZC=90°,AC=BC。是A3边上一点，且一=-（"为正整数），E是AC边上的动点,

fBDn

过点D作DE的垂线交直线2c于点F.

【初步感知】⑴如图1,当“=1时，兴趣小组探究得出结论：4£+2尸=立48,请写出证明过程.

2

【深入探究】（2）①如图2,当〃=2,且点/在线段2C上时，试探究线段AE,BF,AB之间的数量关系，

请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,之间数量关系的一般结论（直

接写出结论，不必证明）

【拓展运用】（3）如图3,连接所，设班的中点为若AB=2g,求点E从点A运动到点C的过程中，

点M运动的路径长（用含”的代数式表示）.

【典例3-2】（2024•四川成都•二模）如图，在矩形ABCD中，AD=nAB（"为正整数），点E是BC边上一

动点，P为中点，连接PE,将射线PE绕点P按逆时针方向旋转90。，与矩形的边交于点H

【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在CD边上时，试探究线段PE,抄之间的数量关系，请

写出结论并证明;

【深入探究】（2）若〃=2,在点E的运动过程中，当点尸在BC边上时，求芸的最小值;

BC

【拓展运用】（3）若4?=2,设的中点为M,求点E从点2运动到点C的过程中，点M运动的路程（用

含”的代数式表示）.

【典例3-3】(2024•河南•一模)已知NAC®=90。，点C是/493的角平分线O尸上的任意一点，现有一个

直角NA/CN绕点C旋转，两直角边CM,CN分别与直线Q4,08相交于点。，点E.

(1)如图1,若CDLQ4,猜想线段。D,OE,OC之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图2,若点。在射线Q4上，且CD与Q4不垂直，则(1)中的数量关系是否仍成立？如成立，请说

明理由；如不成立，请写出线段O。，OE,OC之间的数量关系，并加以证明.

(3)如图3,若点O在射线Q4的反向延长线上，且OD=2,OE=8,请直接写出线段CE的长度.

【典例3-4】(2024广东中考一模)如图，已知NAO3=60。，在—493的角平分线上有一点C,将一

个120。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线。A相交于点。及

(1)如图1,当NOCE绕点C旋转到CD与Q4垂直时，请猜想OQ+OE与OC的数量关系，并说明理由；

(2)当，OCE绕点C旋转到CD与。1不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；

(3)如图3,当/OCE绕点C旋转到点。位于的反向延长线上时，求线段OE与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【典例3-5】（2024•江苏淮安•一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究.

An1

在Rt^ABC中，NC=90。，AC=BC,。是A3边上一点，且一=—（〃为正整数），E、尸分别是边AC和

BDn

边BC上的点，连接DE、DF,且2£。尸=90。.

【初步感知】（1）如图1,当"=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=—AB,请写出证明过程.

2

【深入探究】（2）①如图2,当"=2,试探究线段AE,BF,A3之间的数量关系，请写出结论并证明;

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,A3之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必

证明）.

【拓展运用】（3）如图3,点。为靠近B的四等分点，连接跖，设跖的中点为若AB=4攻，求点E

从点A运动到点C的过程中，请直接写出点“运动的路径长.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］（2024・江苏•校考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且NB4C=/ZMC,AB=15,

AD=12.过顶点。作于E,则——的值为（）

A.773B.9C.6D.7.2

【变式3-2](2024・安徽六安•三模)在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

ABC(ZC=90°)内剪取一个直角△。砂(/现/=90。)，点£),E,F分别在AB,AC,BC边上.请

完成如下探究：(1)当。为AB的中点时，若NA=60。，ADEF=

(2)当AC=3,3c=4、DE=2。尸时，AD的长为

【变式3-3](2024•陕西•一模)问题提出(1)如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线

AC上，一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗？请证明；

问题探究(2)如图2,移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B,另一条直

角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B,另一条直角

边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

他11图2

【变式3-4］（2024・吉林长春・一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图所示，OC是/AO3的平分线，P

是OC上任一点，作尸PEYOB,垂足分别为点。和点E.将，498沿OC对折，我们发现PZ）与

PE完全重合.由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.

已知：如图所示，OC是NAO3的平分线，点P是。C上的任意一点，PD±OA,PELOB,垂足分别为

点。和点E.

求证：PD=PE.

OEB

图②

分析：图中有两个直角三角形尸。。和PEO,只要证明这两个三角形全等，便可证得尸£>=PE.

（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.

【定理应用】（2）如图②，已知OC是—AO3的平分线，点P是OC上的任意一点，点D、E分别在边。4、OB

上，连结PZXPE,ZAOB+ZDPE=180°.若NAC®=60。，OD+OE=5y/3,则OP的长为.

（3）如图③，在平行四边形ABCD中，ZABC=60°,8E平分/ABC交AD于点E,连结CE,将CE绕点

E旋转，当点C的对应点f落在边A3上时，若BF+BC=126,则四边形3CE5的面积为.

【变式3-5］（2024•北京•一模）在AABC中，AB=AC,/A=60。，点。是8c边的中点，作射线。E,与边

交于点E,射线DE绕点。顺时针旋转120。，与直线AC交于点N（1）依题意将图1补全；（2）小华通过

观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有。£=。江小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨

论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点。是边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证/；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段的对称点P,由NB4C与NEDP互补，可得/AED

与NA尸。互补，由等角对等边，可证。尸；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得是NBAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB,AC的

高，利用全等三角形，可证。....

请你参考上面的想法，帮助小华证明。尸（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE,CF,之间的数量关系.

AA

D

图1

题型四：半角模型

:指I点I迷I津

，“半角”模型是从正方形的一个顶点出发，引出两条形成45。角的射线，这两条射线与正方形的两边相交，从

而形成一个特殊的几何图形，如图①,四边形ABCD为正方形，点EF分别在边BC、CD上,NEAF=45。解决此类

问题的方法是通过旋转构造全等三角形，具体操作如下：

图①图②

:第一步:如图②，将4ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD与AB重合，点F落在点G处；

;第二步:由旋转可知/ABG=/D=90°,/BAG=/DAF,AG=AF,可得到G、B、E三点共线NGAE=/EAF=45°；

I

j第三步:得到结论:①/GAF=90°;②AAGEgAAFE;③EF=BE+DF.

i

【中考母题学方法】

【典例4-1］（2024・四川乐山•中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。、£在边上，且NZME=45。，BD=3,CE=4,

求DE的长.

解：如图2,将绕点A逆时针旋转90。得到△ACD,连接即，

图1

由旋转的特征得=ZB=ZACD',AD=AD',BD=CD'.

EINK4c=90°,ZDAE=45°,

BlZBAD+ZEAC=45°.

SZBAD=ZCAD',

SZCAD'+ZEAC=45°,BPZE4D,=45°.

BZDAE=ZDfAE.

在miE和"4E中，

AD=AD'ZDAE=ZD'AE,AE=AE,

回①.

^DE=D'E■

又ElNECD=ZECA+ZACD'^ZECA+ZB=90°,

El在RtZXECD中，②.

^CDr=BD=3,CE=4,

图2

0DE=DE=⑶.

【问题解决】

上述问题情境中，"①"处应填：；"②"处应填：；"③"处应填：.

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以

不变应万变.

【知识迁移】

如图3,在正方形ABC。中，点E、尸分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形A3。的周长的

一半，连结AE、AF,分别与对角线3。交于M、N两点.探究曲公MN、DN的数量关系并证明.

图3

【拓展应用】

如图4,在矩形ABC。中，点、E、尸分别在边BC、CD上，S.ZEAF=ZCEF=45°.探究BE、EF、。尸的数

量关系：（直接写出结论，不必证明）.

图4

【问题再探】

如图5,在VABC中，ZABC=9Q°,AB=4,BC=3,点、D、E在边AC上，且ND3E=45。设AD=x,

CE=y,求y与尤的函数关系式.

图5

【典例4-2］（2022•湖北十堰•中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

点E,尸分别在BC,CD上，若NBAD=2/EAF,则=尸.

图①

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABC。.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路A£),A3上分别有景点M,N,且£)M=100m,

2N=50（&-l）m,若在M,N之间修一条直路，则路线A/fN的长比路线〃fAfN的长少m

图②

【典例4-3】(2022•贵州黔西・中考真题)如图1,在正方形ABC。中，E,F分别是BC,C。边上的点(点E

不与点B,C重合)，且ZE4F=45。.

(1)当=「时，求证：AE=AF-,

(2)猜想BE,EF,。尸三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

⑶如图2,连接AC,G是延长线上一点，GH1AE,垂足为K,交AC于点X且GH=AE.若DF=a,

CH=b,请用含a,6的代数式表示EE的长.

【典例4-4】（2022・贵州贵阳・中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓

展探究.

An

如图，在口ABCD中,AN为比边上的高’寸，点M在仞边上’且明=弧点E是线段加上

任意一点，连接8E,将沿BE翻折得

⑴问题解决:

使点F与点加重合，则黑=

如图①，当440=60。，将AABE沿BE翻折后,

⑵问题探究:

如图②，当/54。=45。，将AABE沿班翻折后,使EF〃BM,求—ABE的度数，并求出此时掰的最小

值；

⑶拓展延伸：

当/区4。=30。，将AME沿BE翻折后，若EF_LAD,S.AE=MD,根据题意在备用图中画出图形，并求

出加的值.

【典例4-5】(2022•辽宁朝阳•中考真题)【思维探究】如图1,在四边形ABCD中，0BAD=6O°,0fiCZ)=120°,

AB=AD,连接AC.求证：BC+CD=AC.

BC

「二

：DL-------------------aA

E-'

图1图2

⑴小明的思路是：延长CD到点E,使DE=BC,连接AE.根据MAO+勖0=180。，推得回8+0AOC=18O。，

从而得到团2=加1。£,然后证明AA£)£0A42C,从而可证BC+C£)=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.

⑵【思维延伸】如图2,四边形A8C。中，0BAD=0BCD=9O°,AB=AD,连接AC,猜想8C,CD,AC之

间的数量关系，并说明理由.

⑶【思维拓展】在四边形A3C。中，0BAD=0BCD=9O°,AB=AD=R,AC与8。相交于点。.若四边形

ABCD中有一个内角是75。，请直接写出线段。。的长.

【中考模拟即学即练】

【变式4-1］（2024•江苏苏州•模拟预测）问题情境：如图1,在四边形ABCD中=/54£>=120。，

ZB=ZADC=90°,E、尸分别是BC,CD上的点，且ZE4F=60。，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量

关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明AABE空AADG,

再证明AAEF/AAGb,可得出BE,EF,FD之间的数量关系.

实际应用：如图2,在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径，且=

ZB+ZD=180°,在小径8C,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与尸之间有一池塘，不能直接到达，经测

量得ZEAF=；NBAZ>,跳=10米，。尸=15米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离跖=

【变式4-2］（2023・吉林长春•二模）【问题呈现】如图①，点£、尸分别在正方形ABCD的边BC、CD上,

ZE4F=45°,试判断BE、EF、ED之间的数量关系.小聪同学延长CD至点G,使£）G=3E,连接AG,

可证4ABE必ADG,进而得到^AEF^^AGF,从而得出防、EF、FD之间的数量关系为.（不需

要证明）.

【类比引申】如图②，四边形ABCD中，ZBAD^90°,AB=AD,/B+ND=180。，点E、尸分别在边BC、

CD±,请回答当44F与154D满足什么关系时，仍有【问题呈现】中BE、EF、ED之间的数量关系,

并给出证明.

【探究应用】如图③，在四边形ABCD中，AB=A£>=60,-3=60。，ZADC=120°,NR4D=150。，点E、

厂分别在线段2C、CD上，且AE_LAD,OF=3073-30,直接写出线段跖的长.

【变式4-3］（2024•广东深圳•一模）综合与探究

【问题背景】北师大版数学八年级下册尸89第12题（以下图片框内）.

如图，AABC,均是顶角为42。的等腰三角形，BC,OE分别

是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？

【初步探究】

(1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化.如图1,在VABC与VADE中，

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求证：BD=CE.

【类比探究】

(2)如图2,在边长为3的正方形ABCD中，点、E,尸分别是CD,8C上的点，S.DE=1.连接AE,AF,

EF,若ZEAF=45。，请直接写出班'的长.

【深入探究】

(3)如图3,D,P是等边VABC外两点，连接3。并取8。的中点且NAP£>=120。，NMPC=60。.试

猜想出与尸D的数量关系，并证明你的结论.

【拓展应用】

(4)如图4,在四边形ABCD中，ZABC=60°,ZADC=90°,AD=CD,AB=2^3,BD二庖,请直接

写出3C的长.

图1图2图3图4

【变式4-4］(2024・四川达州•模拟预测)［初步探究］

(1)如图1,在VABC与VADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,易得BD=CE.请你写出证

明过程.

［解题反思］

以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化.

［类比探究］

(2)如图2,在边长为3的正方形ABCD中，E,尸分别是CO,3C上的点，且£>£=1.连接AE,AF,EF,

若N£4F=45。，请直接写出郎的长.

［深入探究］

(3)如图3,D,尸是等边VABC外两点，连接8。并取80的中点且NAPD=120。，/MPC=60。.试

猜想a与PO的数量关系，并证明你的结论.

［拓展应用］

(4)如图4,在四边形ABCD中，ZABC=60°,ZADC=90°,AD=CD,AB=2也,BD=庖,请直接

写出8C的长.

【变式4-5］(