平面与平面平行课件-高一下学期数学人教A版

平面与平面平行「学习目标」1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理和性质定理,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.知识梳理自主探究定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条

直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b「知识探究」平面与平面平行的判定定理和性质定理相交平行师生互动合作探究探究点一平面与平面平行的判定定理及其应用[例1]如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点,DC∥AB,求证:平面PAB∥平面EFG.证明:因为E,G分别是PC,BC的中点,所以EG∥PB.又EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,所以EG∥平面PAB.因为E,F分别是PC,PD的中点,所以EF∥DC.又DC∥AB,所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,所以平面PAB∥平面EFG.方法总结平面与平面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.[针对训练]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1C1,A1B1的中点,求证:(1)B1C1∥平面A1EF;证明:(1)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以B1C1∥EF.又B1C1⊄平面A1EF,EF⊂平面A1EF,所以B1C1∥平面A1EF.(2)平面A1EF∥平面BCGH.证明:(2)由(1)知EF∥BC,EF⊄平面BCGH,BC⊂平面BCGH,所以EF∥平面BCGH.又因为F,G分别为AC,A1C1的中点,又因为AC∥A1C1,AC=A1C1,所以FC∥A1G,FC=A1G.所以四边形FCGA1为平行四边形.所以A1F∥GC.又因为A1F⊄平面BCGH,GC⊂平面BCGH,所以A1F∥平面BCGH.又因为A1F∩EF=F,A1F,EF⊂平面A1EF,所以平面A1EF∥平面BCGH.探究点二平面与平面平行的性质定理及其应用[例2]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,平面CB1E交棱DD1于点F,求证:B1C∥EF.证明:由长方体的性质知,平面BCC1B1∥平面ADD1A1,又平面CB1E∩平面BCC1B1=B1C,平面CB1E∩平面ADD1A1=EF,所以B1C∥EF.方法总结(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.(2)两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.[针对训练]如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,过AB的截面与上底面交于PQ,且点P在棱A1C1上,点Q在棱B1C1上.证明:PQ∥A1B1.证明:因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,平面ABC∩平面ABQP=AB,平面ABQP∩平面A1B1C1=PQ,所以AB∥PQ.又因为正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为平行四边形,故有AB∥A1B1,所以PQ∥A1B1.探究点三平行关系的综合应用[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)证明:取PA的中点H,连接EH,DH,如图所示,因为E为PB的中点,(1)求证:CE∥平面PAD.所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)解:存在点F为AB的中点,使平面PAD∥平面CEF.证明如下:取AB的中点F,连接CF,EF,(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,证明你的结论;若不存在,请说明理由.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD,CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.由(1)可知CE∥平面PAD,又CE∩CF=C,CF,CE⊂平面CEF,故平面CEF∥平面PAD.故存在AB的中点F满足要求.方法总结线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.[针对训练]如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.求证:CD∥平面EFGH.证明:由于四边形EFGH是平行四边形,所以EF∥GH.因为EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD.又因为EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,所以EF∥CD.又因为EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,所以CD∥平面EFGH.「当堂检测」1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(

)A.两两相互平行B.两两相交于同一点C.两两相交但不一定交于同一点D.两两相互平行或交于同一点解析:可以想象四棱柱,由面面平行的性质定理可得.故选A.√2.已知两条不同的直线m,n,α,β,γ表示三个不同的平面,则下列说法正确的是(

)A.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥nB.α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交C.α∥β,m∥n,m⊥α⇒n∥βD.α∩β=m,β∩γ=n,m∥n⇒α∥β√解析:对于A,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,故A错误;对于B,若α⊥γ,β⊥γ,则α,β平行或相交,故B正确;对于C,若α∥β,m∥n,m⊥α,则m⊥β,所以n⊥β,故C错误;对于D,若α∩β=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β或α,β相交,可参考直三棱柱的三个侧面,故D错误.故选B.3.如图,已知平面α∥平面β,点P为α,β外一点,直线PB,PD分别与α,β相交于A,B和C,D,则AC与BD的位置关系为(

)A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面√解析:由题意知P,A,B,C,D在同一平面内,且平面PBD∩平面α=AC,平面PBD∩平面β=BD,且α∥β,所以AC∥BD.故选A.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,写出满足条件的一个平面:(1)与平面ADD1A1平行的平面为

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(2)与平面ABB1A1平行的平面为

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(3)与平面A1DC1平行的平面为

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平面BCC1B1

平面DCC1D1平面AB1C解析:因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ABB1A1∥平面DCC