2025年上海市高三数学二轮复习：幂指对函数（8题型+高分技法+限时提升练）

热点04幕指对函数

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年对数函数的定义域

2022年塞函数的反函数对数型函数过定点

热点题型解读

题型5对数函数的定义域朝1幕函数的概念与图象应用

口6对数型函数的图象过定点口指2数幕的

幕指对函数

题型7对数函数的单调性与最值壁3指数函数的单调性与最值

题型8反函数理4对数的运算性质

题型1幕函数的概念与图象应用

-K

(1)对于赛函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即无=1,y=l,y=无所

分区域.根据a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

(2)在比较赛值的大小时，必须结合赛值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

1.(2024•崇明区二模)已知幕函数y=/(x)的图象经过点(2,4),则/(3)=.

(9112〕

2.(2024•上海长宁•一模)已知ae卜1,--§,§,§,1,2,3卜函数y=/的大致图像如图所示，则。=

(X-1)3,0<X<2,

3.(2024・上海青浦•二模)对于函数y=/(x),其中/(%)=2，若关于1的方程/(%)=丘有

一,%22

、x

两个不同的根，则实数%的取值范围是.

题型2指数幕的运算

-玄1

i

(1)指数赛的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数氟，以便利用法则计算，还应注意：

i

①必须同底数森相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

i

1.(2024・上海普陀•二模)若实数。，b满足20,则2"++的最小值为.

2.(2024・上海闵行•三模)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，

毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今

天大致相同.若2"+2,=1，则(40+1)(取+1)的最小值为.

题型3指数函数的单调性与最值

00混|

I

(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间

量.

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，

要借助“同增异减”这一性质分析判断.

i

1.(2024・上海嘉定•一模)已知。为正数，则"。>3"是的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

2.(2024・上海闵行•一模)下列函数中，在区间(0,+00)上是严格减函数的为()

,I1

x

A.卜=/B-C.y=2D.y=lg|x|

3.(2024•浦东新区校级四模)设/">0,n>0,若直线=2过曲线Ji(a>0,且aWl)

11

的定点，则一+一的最小值为.

mn

4.(2023・上海浦东新•二模)已知数列｛%｝是首项为9,公比为:的等比数列.

,11111-

(1)求—+―+—+—+—的值；

(2)设数列｛183g｝的前〃项和为S,,,求s“的最大值，并指出s“取最大值时〃的取值.

5.(2024・上海黄浦・二模)设aeR,函数/(尤)=£±^.

2*-1

(1)求。的值，使得y=/(x)为奇函数；

(2)若/(2)=。，求满足的实数x的取值范围.

题型4对数的运算性质

\0❾

解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数赛的形式进行化简.

(2)将同底对数的和、差、倍合并.

；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

1.(2024•奉贤区三模)若lg2=a,lg^=b,则/g98=.(结果用a,6的代数式表示)

11

2.(2024•长宁区二模)若3。=2、=6,则一+-=

ab

ab

3.(2024•宝山区校级四模)已知正实数〃、b^Silogab+logba=1,a=b,则〃+。=.

4.(2024•浦东新区校级模拟)函数/(x)=log2(2x)・log8(8x)的最小值为.

5.(2024・上海嘉定•模拟预测)已知函数〃x)=|log3x|,若a〈b,且/⑷=/。)，则0+26的取值范围

是.

6.（2023・上海浦东新•二模）已知数列｛%｝是首项为9,公比为:的等比数列.

,11111-

（1）求—+―+—+—+—的值；

dy^^4^^5

（2）设数列｛183g｝的前〃项和为S,,,求s“的最大值，并指出s“取最大值时〃的取值.

题型5对数函数的定义域

1.（2024•上海）logzX的定义域.

2.（2024•金山区二模）函数y=/。①辔的定义域是.

X

3.（2024・上海虹口•一模）函数y=h）——的定义域是_____.

x-1

2+无

4.（2024・上海徐汇•二模）己知函数y=/（x）,其中/O）=log［R.

⑴求证：＞=/（尤）是奇函数；

⑵若关于X的方程f（x）=log,（尤+左）在区间［3,4］上有解，求实数k的取值范围.

2

题型6对数型函数的图象过定点

|

对数函数图象的识别及应用方法

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最

低点等）排除不符合要求的选项.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

工二7万五工诲近仃二说设a>的菌薮，=3；花［葡囱曲直进芮兔商圣福无二二…

2.（2024•上海普陀•模拟预测）函数y=log"（x+2）-l（a>。，且。*1）的图像恒过定点A,若点A在直线

»u+"y+2=0上，其中租>0,n>0,则工+工的最小值为.

mn

3.（2023・上海■模拟预测）已知（（x）=e*ln（l+x）.记8（已=时（方）,其中常数m，a>0.

⑴证明：对任意山，a>0,曲线y=g（x）过定点；

（2）证明：对任意s,/>0,/（5+r）>/（5）+/（r）；

⑶若对一切X21和一切使得g⑴=1的函数y=g（x）,yN/bc恒成立，求实数％的取值范围.

题型7对数函数的单调性与最值

求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1

的大小关系；三是复合函数的构成.

1.（2024•宝山区二模）已知贝!!（）

A.〃2>廿B.2a<2b

11

C.a2Vb2D.logia>log^b

22

2.（2024・上海・三模）不等式lg（x+l）>l的解集为.

3.（2024・上海•模拟预测）设集合则AB=.

4.（2024・上海•模拟预测）函数〃x）=log2（2尤）Jog8（8x）的最小值为.

5.（2024・上海静安•一模）已知1队、1酩、坨0吆%、尼*5是从大到小连续的正整数，且（Igxj＜1环J昭，则毛的

最小值为.

6.（2024・上海青浦•二模）已知〃x）=lgx-l,g（x）=lgx—3,若|/（x）|+|g（x）|=|4x）+g（x）|,则满足条

件的无的取值范围是.

7.（2025・上海•模拟预测）已知函数＞=/（»的定义域是。.对于正。，定义集合5小）=｛尤.

（l）/（x）=log2x,求Sg

（2）对于集合A,若对任意xeA都有-xeA,则称A是对称集.若。是对称集，证明："函数＞=/（%）是偶函

数”的充要条件是"对任意teD,S,“）是对称集"；

⑶若xeR,r（x）=e＜-1,nx2.求优的取值范围，使得对于任意4＜弓e。，都有［⑹加）.

题型8反函数

1.（2022•上海）设函数/（x）=V的反函数为/T（x）,则/一（27）=.

2.（2023•浦东新区校级一模）设函数y=/（x）=2'+c的图象经过点（2,5）,则y=/（x）的反函数「1（x）

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2024・上海宝山•一模）下列函数中，在区间（。,+8）上是严格增函数且存在零点的是（）

A.y=exB.y=yfx+2

2

C.y=TogJD.y=（X-2）

2.（2024・上海徐汇•二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）

xx3

A.y-x3B.y=lg|x|C.y=e+e^D.y=xcosx

3.（2025・上海•模拟预测）幕函数y=x"在（0,+s）上是严格减函数，且经过贝I。的值可能是（）.

D.3

4.（2024・上海闵行•二模）已知y=〃x）,尤eR为奇函数，当x>0时，/（x）=log2%-1,则集合

｛x|/（-x）-/（x）<0｝可表示为（）

A.（2,+co）B.（f,-2）

C.（—oo,—2）（2,+oo）D.（-2,0）J（2,+oo）

5.（2024・上海静安,一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装

置每小时从处理池清除掉12%的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的10%,大约需要的时间

为（）（参考数据：1g0.88。-0.0555）

A.14小时B.18小时C.20小时D.24小时

6.（2024•上海青浦•一模）对于数列｛%｝,设数列｛%｝的前〃项和为加给出下列两个命题:①存在函数

y=F（x）,使得sn=f（an）:②存在函数y=g（x）,使得n=g（a„）.则①是②的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

7.（2024・上海•模拟预测）函数>=182彳的定义域为.

8.（2024・上海嘉定,一模）函数>=log2（x2-l）的定义域为.

9.（2024・上海•模拟预测）若集合A=｛y|y=log2x｝,8==>,则AB=.

10.（2024•上海•三模）已知log23=a,2"=5,则bgz45=（用。、匕表示）

11.（2024•上海•三模）关于尤的不等式的解集为.

X

/、fInx+1,x>0,/、

12.（2024・上海奉贤•一模）设/（尤）=若/伍）=1,则尤。=_____.

I乙十1,X—；U.

（2X—Ix>l

13.（2024•上海崇明•一模）已知〃无）=°,关于尤的方程/（x）=2的解x=_________.

[X-1,X<1!

logx%>0

｛x<0为奇函数，贝0f（_8）=.

15.（2024上海长宁二模）已知函数产〃%）是定义域为口的奇函数，当》>0时，〃力=1082%，若/（a）>1,

则实数。的取值范围为.

16.（2024・上海松江•二模）已知0<a<2,函数>=八"一lx：‘''若该函数存在最小值，则实

数。的取值范围是.

17.（2024・上海•三模）已知集合A=｛尤|y=E斤｝,3=｛尤|丫=炮（2-尤）｝则AB=.

18.（2024•上海宝山，一*模）若9"=4"=根，且—H—=2,则加=_______.

ab

"\_

19.（2024•上海杨浦•一模）已知〃x）=与，0<x<a,；其中实数八。.若函数y=〃x）—2有且仅有2

log3x,x>a

个零点，则。的取值范围为.

20.（2024・上海青浦•一模）若函数y=bg//-"+15）在区间（1,2）上严格递增，则实数。取值范围是_

2

三、解答题

21.（2023・上海浦东新•二模）己知数列｛““｝是首项为9,公比为:的等比数列.

11111_

（1）求—+―+—+—+—的值；

%%〃3〃4a5

⑵设数列｛log34｝的前〃项和为S〃，求s〃的最大值，并指出s〃取最大值时〃的取值.

22.（2023・上海虹口•三模）若数列｛4｝满足。3-%=p"为正整数，0为常数），则称数列｛4｝为等方差

数列，p为公方差.

（1）己知数列｛七｝,｛%｝的通项公式分别为尤“=而1,%=3?判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明

理由；

[2,n=1

⑵若数列｛。,｝是首项为1,公方差为2的等方差数列，数列帆｝满足a=口。/”>）,且4也也•粼=8,

lu

&a2一乙

求正整数m的值；

⑶在（1）、（2）的条件下，若在先与之间依次插入数列｛片｝中的上项构成新数列｛%｝：%,

a^,y2,al，al，y3,al，a；,al，y4,……，求数列匕｝中前50项的和.

23.（2023・上海杨浦・一模）设函数/（x）=e',xeR.

⑴求方程（/（切2=/（力+2的实数解;

（2）若不等式x+6V/（x）对于一切xeR都成立，求实数b的取值范围.

24.（2024•上海奉贤•一模）已知函数y=/（＞）,其中/（力="（常数a＞0且awl）.

⑴若函数y=/。）的图象过点（2,9）,求关于无的不等式川2x-l|）＞3的解集；

⑵若存在xw（O,l],使得数列"1）、〃㈤、/（Y+2）是等比数列，求实数f的取值范围.

25.（2024・上海静安•一模）如果函数y=/（x）满足以下两个条件，我们就称函数y=/（x）为U型函数.

①对任意的xe[o,l],有〃x）Zl,"l）=3；

②对于任意的x,ye[0,1],若x+yVl,则

求证：

⑴y=3"是。型函数；

⑵U型函数y=〃尤）在[0,1]上为增函数；

⑶对于U型函数y=〃x）,有（《卜尹15为正整数）.

热点04幕指对函数

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2024年对数函数的定义域

2022年塞函数的反函数对数型函数过定点

热点题型解读

题型5对数函数的定义域朝1幕函数的概念与图象应用

口6对数型函数的图象过定点口指2数幕的

幕指对函数

题型7对数函数的单调性与最值壁3指数函数的单调性与最值

题型8反函数理4对数的运算性质

题型1幕函数的概念与图象应用

-K

(1)对于赛函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即无=1,y=l,y=无所

分区域.根据a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

(2)在比较赛值的大小时，必须结合赛值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

1.(2024•崇明区二模)已知幕函数y=/(x)的图象经过点(2,4),则/(3)=.

【分析】设出募函数y=/(尤)的解析式，根据其图象经过点(2,4),求函数的解析式，再计算/(3)

的值.

【解答】解：设幕函数y=/(x)=产(a€R),

其图象经过点(2,4),

；.2a=4,

解得a=2,

'.f(x)=/；

：.f(3)=32=9.

故答案为：9.

【点评】本题考查了求累函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目.

2.(2024・上海长宁•一模)已知”卜卜函数y=的大致图像如图所示，则。=

【知识点】哥函数图象的判断及应用

【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断。的取值.

【详解】因为图像关于＞轴对称，所以函数是偶函数；

2

又因为图像与坐标轴无交点，所以指数。为负数.综上所述，a=-1.

2

故答案为：

(X-1)3,0＜X＜2,

3.(2024・上海青浦・二模)对于函数y=/(x),其中〃x)=2，若关于x的方程/(©=麻有

一,x22

两个不同的根，则实数上的取值范围是.

【答案】

【知识点】幕函数图象的判断及应用、根据函数零点的个数求参数范围

【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.

3

【详解】将函数y=三向右平移1个单位得到y=(x-l),

作出函数＞=/(尤)的图象如下：

要关于x的方程/。)=近有两个不同的根，

则函数y=/(x)和函数、=履有两个不同的交点，

当＞=履过点(2,1)时，k=三,

所以当函数y=/(x)和函数y=履有两个不同的交点时，o<k<g.

故答案为：

题型2指数幕的运算

(1)指数幕的运算首先将根式、分数指数森统一为分数指数霹，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数森相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

⑵运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

1.(2024•上海普陀•二模)若实数。，6满足则2"+。的最小值为.

【答案】2

【知识点】基本不等式求和的最小值、比较指数累的大小、指数暴的运算

【分析】由已知2">0,±>0,a-2b>0,然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为2">0,^->0,a-2b>Q,

所以2"+'=2'+-2212'-±=2y/^22亚=2,

当且仅当2。=白，即。=8=0时等号成立，

所以2。+塔的最小值为2.

故答案为：2.

2.(2024•上海闵行•三模)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，

毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今

天大致相同.若2"+2"=1，贝U(4"+1)(4"+1)的最小值为.

【答案】H25

【知识点】指数暴的运算、基本不等式求积的最大值

【分析】令w=2。，〃=2J结合基本不等式可得（4"+1）（«+1）可化为（加〃_1）2+1,求二次函

数在区间上的最小值即可.

【详解】不妨设m=2",n=2b则机>0,〃>0,

所以l=m+,当且仅当m=〃=：时取等号，

11

BP0<mn<—,当且仅当加=〃=—时取等号，

42

所以（4"+1）（4"+1）=（川+1）（〃2+1）=（祖"）2+疗+〃2+]=（帆〃）2+（小+>）2-2..+]

=（mn）2—2mn+2={mn—l）2+1,（0<mn--）

所以当m=〃=；时，（4"+*4〃+l）取得最小值

25

故答案为：—

16

题型3指数函数的单调性与最值

皿

（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间

ii

量.

（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，

要借助“同增异减”这一性质分析判断.

ii

1.（2024.石潘嘉定.一植5巨而。屈薮,而"a>3"是"优嘀（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性

【分析】根据给定条件，当。>3时，利用指数函数的单调性即可判断，当/时，分类讨论，最后利用

充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】当。>3时，所以y=优为增函数，所以厂>〃，

当时，当。>1时，贝！|。>3,当0<a<l.时，贝!Ja<3,此时0<a<1；

所以"a>3"是”>产的充分非必要条件

故选：A.

2.（2024・上海闵行•一模）下列函数中，在区间（0,+勾上是严格减函数的为（）

11

A._2B.y=-5——C.y=2xD.y=lg|x|

》-"r+1"

【答案】B

【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般暴函数的单调性、根据解析式直接

判断函数的单调性

【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在（0,+℃）上的单调性即可.

【详解】对于A,函数y=/在（°，+8）上是严格增函数，A不是；

对于B,函数>=一、

在（0,+8）上是严格减函数，B是;

+1

对于C,函数y=2*在（0,+8）上是严格增函数，C不是；

对于D,当x>0时，y=lg|x|=lgx在（0,+co）上是严格增函数，D不是.

故选：B.

3.（2024•浦东新区校级四模）设机>0,n>0,若直线I：m%+=2过曲线>=«<1+1（。>0,且aWl）

11

的定点，则一+一的最小值为

mn

【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.

【解答】解：因为曲线y=c-i+l过定点（1,2）,

所以m+n—2,即一--=l(m>0,n>0),

,1111m+n1nm1inm1

=-(1+1+—十姬>-x(2+2—­—)=-x(2+2)=2,

则藐+蔡=r+0.丁2m2、7mn72v7

nm

当且仅当一=一，即m=n=l时取“=

mn

11

所以一+一的最小值为2.

mn

故答案为：2.

【点评】本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题.

4.（2023•上海浦东新•二模）已知数列｛4｝是首项为9,公比为:的等比数歹！J.

111114

（1）求一+—+—+—+—的值；

dyd>2（^3^^4^^5

（2）设数歹的前〃项和为S,,,求S“的最大值，并指出S“取最大值时〃的取值.

【答案】⑴12?1

⑵当〃=2或3时，S“取得最大值3

【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、对数的

运算性质的应用

【分析】(1)求出等比数列的通项公式，由等比数列的前〃项和求解即可；

(2)记d=log34,由(1)知么=3-〃，由等差数列的前"项和求出S“，由二次函数的性质即可求出答案.

11,

【详解】(1)由题。,,=9«尸=3""，则丁=3"-3,

a

3n

—+LLj+3%1+3+3*.

axa2a3a4a59

(2)记4=log3a“，由(1)知超=3-〃，

gr-rur.2+(3—〃)512

所以S“=--------n=-n--n,

s”=-|(«-1)2+^，

ZZZzo

当〃=2或3时，S”取得最大值3.

5.(2024・上海黄浦•二模)设aeR,函数/。)=二二.

2，-1

⑴求。的值，使得y=/(x)为奇函数；

(2)若7(2)=。，求满足的实数X的取值范围.

【答案】(1)4=1

(2)(0,2)

【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数

【分析】(1)由奇函数的性质可得/(-1)=-/(1),代入解方程即可得出答案；

(2)由"2)=。，可得。=2,则二三＞2,由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.

21-1

【详解】(1)由/(久)为奇函数，可知/(T)T(D,

即—(1+2a)=—(2+d),解得a=1,

2X+12~%+11+Y

当a=1时，/(x)=，,/(-助=2=-=-f(x)对一切非零实数x恒成立,

故。=1时，y=/(x)为奇函数.

(2)由/(2)=a,可得4昼+4L=。，解得。=2,

2A+22*_4

所以/(x)>ao——->2o----<001<2*<4

2l-l2V-1

解得：0<x<2,所以满足/(x)>。的实数x的取值范围是(0,2).

题型4对数的运算性质

解决对数运算问题的常用方法

（1）将真数化为底数的指数森的形式进行化简.

（2）将同底对数的和、差、倍合并.

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

""i"

1.（2024•奉贤区三模）若lg2=a,lg3=b,贝!Ug98=.（结果用〃，b的代数式表示）

【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解.

【解答】解：若lg2=a,lg^=b,

则lg7=-b,

则/g98=/g2+2/g7=a-2b.

故答案为：a-2b.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

11

2.（2024•长宁区二模）若3。=20=6,则一+-=

ab

【分析】由已知结合指数与对数的转化公式及对数的运算性质即可求解.

【解答】解:若3。=2"=6,则。=log36,Z?=log26,

11

—+-=log63+log62=log66=1.

ab

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及对数的换底公式及运算性质的应用，属于基础题.

ab

3.（2024•宝山区校级四模）已知正实数〃、b^^logab+logba=a=b,贝1J〃+/?=.

【分析】由已知结合对数的运算性质可得mb的关系，然后结合指数塞的运算性质即可求解.

、q1

【解答】解：因为正实数。、b满足1。%》+logi）a=v=log4+八，

LOD

乙9a

1

解得，log仍=2或logab=2，

所以/?=/或a=b2,

ab

当人=〃2时，a=b=a2a2,

所以2〃2=〃，gpa=b=-r,a+b=-r,

当〃=廿时，aa=bb=b2b2,即Z?=a=a+b=

则a+b=|.

3

故答案为：

4

【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题.

4.(2024•浦东新区校级模拟)函数/(%)=log2(2x)-log8(8x)的最小值为

【分析】利用对数的运算性质化简，换元后再由二次函数求最值.

【解答】解：函数的定义域为(0,+8),

1

f(x)=log2(2x)*log8(8x)=(l+logzx)(1+,092%)

14

2

-+-

33

令/=log2x,则zeR,

14

2

-+-t+

原函数化为g(/)33

141

则当t=-2时，gG)有最小值为§x4+-x(—2)+1=

故答案为：-

【点评】本题考查导数的运算性质，训练了利用换元法及二次函数求最值，是基础题.

5.(2024・上海嘉定•模拟预测)已知函数/(引=|蜒3犯若a〈b,且/⑷=〃6),则a+2方的取值范围

是.

【答案】(3,+8)

【知识点】对数的运算、对数函数图象的应用、基本不等式求和的最小值

【分析】画出的图象，数形结合可得ab=l,故。+26=。+：,然后利用对勾

函数的单调性即可求出答案.

【详解】/(力=|1〃。的图象如下;

因为0<a<6且/(。)=/(6),所以|log3a|=|log3b|且

2

所以一Iog3〃=log3b，所以〃6=1,故Q+2Z?=Q+—,

a

22

由对勾函数y=x+—在(0,1)上单调递减，所以a+2b=a+—>1+2=3,

xa

所以〃+2办的取值范围是(3,+8).

故答案为：(3,+“)

6.(2023•上海浦东新•二模)已知数列｛七｝是首项为9,公比为;的等比数歹!J.

11111

(1)求一+—+—+—+—的值；

a

qa2a3/s

⑵设数歹U{log3%}的前〃项和为求S,的最大值，并指出S,取最大值时〃的取值.

【答案】⑴12*1

(2)当月=2或3时，S”取得最大值3

【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、对数的

运算性质的应用

【分析】(1)求出等比数列的通项公式，由等比数列的前〃项和求解即可；

(2)记d=log34,由(1)知由等差数列的前〃项和求出S.，由二次函数的性质即可求出答案.

【详解】⑴由题。,,=9《尸=33-”，贝忆=3",

LLLL工3-"+1+3+33

%%a3〃4a59

(2)记2=log34，由(1)知勿=3-〃，

r*rl\lc2+(3—〃)512

所以S“=-一=

S”=-|(«-|)2+等，

ZZZZo

当〃=2或3时，S“取得最大值3.

题型5对数函数的定义域

1.(2024•上海)log2%的定义域.

【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解.

【解答】解：logzX的定义域为(0,+oo).

故答案为：(0,+oo).

【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题.

2.(2024•金山区二模)函数y=/。出若的定义域是.

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.

【解答】解：y=log2^,

2+%

则——>0,解得

1-x

故函数y的定义域为(-2,1).

故答案为：(-2,1).

【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题

目.

X

3.(2024・上海虹口•一模)函数y=ln——的定义域是_____.

X~1

【答案】(3,。)口(1,口)

【知识点】求对数型复合函数的定义域

【分析】由对数函数的定义可得上7>0,解不等式即可得出答案.

x-i

【详解】函数y=In二L的定义域是1r>0,

x-1X-1

所以尤解得：X>1或x<0.

所以函数的定义域为：(—,0)"1,y).

故答案为：(YO,0)D(l,+OO).

2+x

4.(2024・上海徐汇•二模)已知函数y=/(x),其中/(x)=log工口.

⑴求证：y=〃x)是奇函数；

⑵若关于X的方程f(尤)=1OS1(尤+左)在区间［3,4］上有解，求实数k的取值范围.

2

【答案】⑴证明见解析

⑵［T2］

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据函数零点的个数求参数范围

【分析】(1)结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；

(2)分离参数，将原问题等价转换为左=*-尤+1在［3,4］上有解，由此转换为求函数值域问题.

2+x

【详解】(I)函数，=1吗三的定义域为D=(y,—2)u(2,y),

1

在。中任取一个实数X,者B有—xe。，^5.f(-x)=log,^4：=log,^|=logtf=-f(x).

2-x-2］%+22J

2+九

因此，yTogj；下是奇函数.

(2)，(尤)=1。8工(无+外等价于*+上=二即左=9-芯=--》+1在［3,4］上有解.

2x-2x—2x—2

记g(x)=---X+1,因为g(x)在［3,4］上为严格减函数，

x—2

所以,g(尤)max=g(3)=2,g(X)血。=g(4)=-l,

故g(x)的值域为［-L2］,因此,实数%的取值范围为［T2］.

题型6对数型函数的图象过定点

对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最

低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

工「石石4・上海虹仃•二箍T薪“＞0且awl,则函数＞=2+1遍漏的窗禳宿?前一酉的j芳

【答案】(L2)

【知识点】对数型函数图象过定点问题

【分析】令x=l,求得＞=2恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案.

【详解】令x=l,可得＞=2+108〃1=2恒成立，

所以函数＞=2+log/的图象恒过定点(1,2).

故答案为：(1,2).

2.(2024•上海普陀•模拟预测)函数y=log.(x+2)-l(a＞。，且a*1)的图像恒过定点A,若点A在直线

nvc+ny+2=0其中机＞0,n＞0,则上+工的最小值为.

mn

【答案】2

【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】先由题意结合logj=。求出点A,进而由点A在直线上得加+〃=2,再结合基本不等式常数"1"的

妙用即可求解.

【详解】因为log〃=。，所以函数y=log”(x+2)-1(。＞0且awl)的图象恒过定点(TT),

即4(-1,-1),

又点A在直线M+“y+2=0上，故〃z+〃=2,

「八八11161、1fnm\1(^[nm^\、

又机所以—F—=——F—\(m+ri)=—\2d---1—＞—2+2./—x—=2,

mn2ymn)2(mn)21Vmn

ijm

当且仅当二=竺即机=〃=1时等号成立，

mn

所以工+工的最小值为2.

mn

故答案为：2.

3.(2023・上海•模拟预测)已知〃x)=