四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（4月二模）数学试卷（原卷版+解析版）

雅安市高2022级第二次诊断性考试试题数学本试卷满分150分，答题时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.5.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.6.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，且，对于任意均有，则（）A B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上单调递增D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则10.已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（）A.曲线的方程为B.的最大值为6C.点到直线的距离的最大值为2D.设直线与曲线另一个交点为，则11.某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下：甲：我不知道这个素数多少.乙：我早就知道你不可能知道.甲：我还是不知道.乙：我也早就知道你刚才不可能知道.甲：我现在知道了.则这个素数（）A.不是97 B.十位数字不是3，6C.是43 D.是73三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上.12.椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______.13.展开式中含项的系数为___________.14.在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则______.四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：日期1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日2月4日日期代码1234567累计票房（亿元）4.889.6815.8723.1931.32397648.43日期2月5日2月6日2月7日日期代码8910累计票房（亿元）54.9260.7866.20（1）请根据这10日数据：（i）计算，的平均值，；（ii）求关于的经验回归方程；（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；参考数据：，.16.记锐角的内角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，求面积的取值范围.17.已知函数.（1）若，，求的单调区间和极值；（2）若，证明：当时，.18.如图，已知四面体中，，，，平面平面.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小.19.已知抛物线：.（1）若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为；（2）设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点.（i）证明：；（ii）记，的面积分别为，，求的值.

雅安市高2022级第二次诊断性考试试题数学本试卷满分150分，答题时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.5.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.6.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，且，对于任意均有，则（）A B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上单调递增D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则10.已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（）A.曲线的方程为B.的最大值为6C.点到直线的距离的最大值为2D.设直线与曲线另一个交点为，则11.某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下：甲：我不知道这个素数多少.乙：我早就知道你不可能知道.甲：我还是不知道.乙：我也早就知道你刚才不可能知道.甲：我现在知道了.则这个素数（）A.不是97 B.十位数字不是3，6C.是43 D.是73三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上.12.椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______.13.展开式中含项的系数为___________.14.在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则______.四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：日期1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日2月4日日期代码1234567累计票房（亿元）4.889.6815.8723.1931.32397648.43日期2月5日2月6日2月7日日期代码8910累计票房（亿元）54.9260.7866.20（1）请根据这10日数据：（i）计算，的平均值，；（ii）求关于的经验回归方程；（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；参考数据：，.16.记锐角的内角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，求面积的取值范围.17.已知函数.（1）若，，求的单调区间和极值；（2）若，证明：当时，.18.如图，已知四面体中，，，，平面平面.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）在此四面体