河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

2025年4月高一月考数学测试卷一、单选题1.下列说法正确的是（）A.若，则B.若、是单位向量，则CD.若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线2.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A. B.C. D.3.化简：（）．A. B. C. D.4.已知向量，，则与共线的单位向量为A. B.C.或 D.或5.如图是函数的部分图像，则（）A. B.C. D.6.已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（）A. B. C. D.120°二、多选题9.已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.的最大值是2B.在上单调递增C.直线是函数的一条对称轴D.函数对称中心坐标为11.如图所示，D是的边上的中点，则向量（）A. B.C. D.三、填空题12.把函数图象向左平移个单位，得到的函数是______．13.已知单位向量满足，则与的夹角为__________.14.已知角第二象限角，且，则______．四、解答题15.已知，其中（1）求；（2）求．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的值.（3）若与的夹角是钝角，求的取值范围.17.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值，并求此时的值．18.如图，中，.设.（1）用表示；（2）若为内部一点，且.求证：三点共线.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）设，．（i）求的值；（ii）求的值．

2025年4月高一月考数学测试卷一、单选题1.下列说法正确的是（）A.若，则B.若、是单位向量，则C.D.若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线【答案】C【解析】【分析】根据向量的相关概念，即可判断选项.【详解】A.向量不能比较大小，故A错误；B.若、是单位向量，则，故B错误；C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确；D.若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误.故选：C2.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项判断.【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是；对于B，函数是偶函数，B不是；对于C，，函数不是奇函数，C不是；对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是.故选：D3.化简：（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用向量加减法则化简即可得答案.【详解】因为.故选：C4.已知向量，，则与共线的单位向量为A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【详解】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.5.如图是函数的部分图像，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象可得，求出周期，从而可求出，再将点代入函数中可求出，从而可求出函数解析式.【详解】由图象可得，解得，所以，得，所以，由图象可得当时，，所以，所以，得，所以.故选：A6.已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.【详解】由，夹角为，得，所以在上的投影向量是.故选：B7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.【详解】依题意，，解得，.故选：B8.在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（）A. B. C. D.120°【答案】B【解析】【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解.【详解】由，令，，又，则，所以这个三角形的最大角的弧度数为.故选：B.二、多选题9.已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通过判断向量是否共线即可得解.【详解】对于A，令，即，所以无解，故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确；对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误；对于C，令，即，所以无解，故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确；对于D，令，即，所以无解，故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确故选：ACD.10.已知函数，则（）A.的最大值是2B.在上单调递增C.直线是函数的一条对称轴D.函数的对称中心坐标为【答案】ABD【解析】【分析】根据余弦函数的最值可得选项A正确；根据得，结合余弦函数的单调性可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据整体代入法求出函数的对称中心可得选项D正确.【详解】A.由可知的最大值是2，A正确.B当时，，由函数在上单调递增可得在上单调递增，B正确.C.当时，，选项C错误.D.由得，故函数的对称中心坐标为，D正确.故选：ABD.11.如图所示，D是的边上的中点，则向量（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】对A：，A选项正确；对B：，B选项正确；对C：，C选项错误；对D：，D选项正确．故选：ABD三、填空题12.把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是______．【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移变换即可求解．【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是．故答案为:.13.已知单位向量满足，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】由向量模的运算及向量数量积的运算即可得到答案.【详解】因为是单位向量，所以，，所以，因为，所以，即与的夹角为.故答案为：.14.已知角为第二象限角，且，则______．【答案】【解析】【分析】先利用诱导公式求出，再利用三角函数同角关系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果【详解】因为，因为是第二象限角，所以，所以，所以，故答案为：.四、解答题15.已知，其中（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可．（2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解．【小问1详解】由题意得：，，，【小问2详解】，，，.16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求值.（3）若与的夹角是钝角，求的取值范围.【答案】（1）或3：（2）1或（3）【解析】【分析】（1）利用即可；（2）利用得出值，再利用求模公式；（3）利用且不共线即可.【小问1详解】若，则.整理得，解得或.故的值为或3.【小问2详解】若，则有，即，解得或当时，，则，得；当时，，则，得.综上，的值为1或.【小问3详解】因与的夹角是钝角，则，即，得，又当与共线时，有，得，不合题意，则综上，的取值范围为.17.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值，并求此时的值．【答案】（1）（2）时，函数最大，最大值.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由此得到的值，即可求出函数的最小正周期；（2）由的范围即可求出的取值范围，从而得到函数的最大值，并求出对应的的值.【小问1详解】，，，∴，∴最小正周期.【小问2详解】当时，，∴当时，即时，函数最大，最大值为.18.如图，在中，.设.（1）用表示；（2）若为内部一点，且.求证：三点共线.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得；（2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证.【小问1详解】，