2025年高考数学专项复习：空间向量与立体几何（知识点题型）

空间向量与立体几何（知识点+题型）

知识点

知识点01：空间向量的有关概念

1、空间向量的有关概念

几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2、空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段48来表示，A叫向量的起点，8叫向量的终点；

（2）字母表示法：用a,。,：表示.向量口的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作48,其模记为,或从用.

知识点02：空间向量的加法、减法运算

1、空间向量的位置：已知空间向量a,6,可以把它们平移到同一平面1内，以任意点。为起点，作向量。4=a，

OB=b

2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量AC=b，则向量OC叫做向量。力的和.记作a+b,即

OC=AC=a+b

3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量痴叫做a与万差，记作a-b，即

BA=OA—OB—a—b

4、空间向量的加法运算律

（1）加法交换律：a+b=b+a

（2）加法结合律：a+b+c=a+（b+cj

知识点03：空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数4与空间向量a的乘积彳。仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

2、数乘向量彳。与向量a的关系

X的范围Aa的方向助的模

2>0X。与向量）的方向相同

2=02a=0，其方向是任意的|Aa|=|A\\a\

2<0与向量£的方向相反

知识点04：共线向量与共面向量

1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量

或平行向量，若a与》是共线向量，则记为a//。.

2、共线向量定理：对空间任意两个向量a,b（6w0）,ab的充要条件是存在实数4,使a=46.

3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

4、共面向量定理：如果两个向量a,。不共线，那么向量p与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,

使p=xa+

5、空间共面向量的表示

如图空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x,y）,使AP=xAB+yAC.

或者等价于：对空间任意一点。，空间一点尸位于平面ABC内（P,A,B,C四点共面）的充要条件是存在有序实

数对（x，y）,^OP=OA+xAB+yAC,该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间

一点及两个不共线向量唯一确定.

6、拓展

对于空间任意一点。，四点P,CAB共面（其中C,A3不共线）的充要条件是。尸=xOC+y04+zOB（其中

x+y+z=1）.

知识点05：空间两个向量的夹角

1、定义：如图已知两个非零向量a/,在空间任取一点。，作OA=a，OB=b，则么NAO3叫做向量a,匕的夹

角，记<a/〉.(特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角)

♦>J・”一•

0bBobB

11

2、范围:<a,b>e[。,句.

jr

特别地，(1)如果<a,6>=],那么向量a,b互相垂直，记作

(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为"，故<a,6〉=0(或

<a,b〉=//6(a,b为非零向量).

3、拓展(异面直线所成角与向量夹角联系与区别)

若两个向量a,6所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为夕，

--JI

⑴向量夹角的范围是0«a,b><^,异面直线的夹角0的范围是0<夕<3，

71

(2)当两向量的夹角为锐角时，e=<a,b>-,当两向量的夹角为,时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，

3=71—<a,b>.

知识点06：空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量a，b>则|a|g|cos<a,b〉叫做a,b的数量积，记作即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

2、空间向量数量积的应用

⑴利用公式|a|=J荔可以解决空间中有关距离或长度的问题；

a.h

(2)利用公式cos<a/>=-----可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题；

\a\\b\

3、向量a的投影

①如图(1),在空间，向量a向向量方投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面a内，进而

•b.

利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量C，c=|a|cos<a,b>—向量c称为向量a在向量》上的投影

向量.类似地，可以将向量a向直线/投影(如图(2)).

②如图(3),向量a向平面夕投影，就是分别由向量a的起点A和终点8作平面夕的垂线，垂足分别为A，B'，得

到49,向量4®称为向量a在平面夕上的投影向量.这时，向量a，49的夹角就是向量a所在直线与平面夕

所成的角.

⑴

4、空间向量数量积的几何意义：向量a，》的数量积等于a的长度|a|与》在a方向上的投影161cos<a,。〉的乘

积或等于b的长度|〃|与a在6方向上的投影|。|<?05<。,匕〉的乘积.

5、数量积的运算：

(1)(Aa)■b=A(a-b),AeR.

(2)ZB=♦3(交换律).

(3)a-(6+c)=a-b+a-c(分配律).

知识点07：空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么对空间任意向量p,存在有序实数组任,y,z｝,使得p=xa+乃+zc.

2、基底与基向量

如果向量三个向量成仇C,不共面，那么所有空间向量组成集合就是｛。|。=必+乃+2",%2©7?｝.这个集合可看

作是由向量a,。,c,生成的，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底a,0,c,都叫做基向量.

3、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用｛，,/,左｝表

示.

4、正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量：，均可以分解为三个向量刀，yi>zk使得。=x，+y/+zk.像这

样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系及相关概念

⑴空间直角坐标系:在空间选定一点。和一个单位正交基底｛，,//｝，以。为原点,分别以i,j,k的方向为正方向，

以它们的长为单位长度建立三条数轴：》轴、》轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐

标系Oxyz.

(2)相关概念：。叫做原点，i",左都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙平面、

0yz平面、O玄平面，它们把空间分成八个部分.

2、空间向量的坐标表示

①空间一点的坐标：在空间直角坐标系。xyz中，左为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量。4,且

点A的位置由向量。4唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使。4=xi+y/+zh

在单位正交基底忆/，曷下与向量。4对应的有序实数组(％y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作

A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，》叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

②空间向量的坐标：在空间直角坐标系。孙z中，给定向量a，作。4=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序

实数组(x,y,z),使。=xi+yj+zk.有序实数组(羽y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作

a=(x,y,z).

知识点09：空间向量运算的坐标表示

1、设a=(%,a2,%)力=(伉，瓦,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:

运算坐标表示

加法

〃+/?=(%+%a2~\~b2,a3~\~b3)

减法a-b-{ax-bpa2一b2,a3一b3)

数乘

2许Aa2,Aa3),2G7?

数量积a-b=a^-\-a2b2+a3b3

2、两个向量的平行与垂直

。二(％,a2,&),b=(bpb2,b3)

=Xb{

平行(ab)ab(bw0)=a=劝=<a2=Ab2(2GR)

%=劝3

垂直(a_Lb)a_LZ?OQ•万=。0%4+。2%+"3b3=°(均非零向量)

3、向量长度的坐标计算公式

2

右a=(&a2,a3),则|a|=a『==Qa；+a,+的?'即|a|=J+a；+

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线

的长度

4、两个向量夹角的坐标计算公式

0bl+ab+ab

设。二(%,a,%)力二(知b,b),贝！|cosva,B>=12233

223Ia||b|荷+芯+d业;+公

5、两点间的距离公式

已知A,NJ,，%,）,则%=|AB\=J（々-/『+（1一方+亿一方

6、中点坐标公式

设点P（x,y,z）为6（X1，%,Z1）,£（%2，%，22）的中点，则＜y=M+%

知识点10:用向量表示点、直线、平面的位置

1、用向量表示点的位置：

在空间中,我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点尸就可以用向量OP表示.我们把向量OP称为点P的位

置向量.如图.

/、0/

2、直线的方向向量

如图①,a是直线I的方向向量,在直线/上取AB=a,设P是直线/上的任意一点，则点P在直线I上的充要条件是存

在实数J使得AP=ta,即4P=/AB

3、空间直线的向量表示式

如图②，取定空间中的任意一点。，可以得到点P在直线/上的充要条件是存在实数t，使OP=04+必①

或OP=OA+/713②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

图②

4、用向量表示空间平面的位置

根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（羽丁），使得AP=xa+yb,如图；取定空间任意一点。，空间一点尸位

于平面ABC内的充要条件是存在实数X,y,使0P=Q4+xAB+yAC.

知识点11：平面的法向量及其应用

1、平面法向量的概念

如图，若直线，取直线I的方向向量a,我们称a为平面a的法向量；过点A且以a为法向量的平面完

全确定，可以表示为集合{P|a-AP=O}.

/

2、平面的法向量的求法

求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

设向量：设平面a的法向量为”=（x,y,z）

选向量：选取两不共线向量A3,AC

Yi'AB=0

列方程组：由列出方程组

n-AC=O

n-AB=0

解方程组：解方程组

ri'AC=0

赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）

得结论：得到平面的一个法向量.

知识点12：空间中直线、平面的平行

设直线心4的方向向量分别为a，b，平面a，夕的法向量分别为“，加，则

线线平行1140ab=〃=Ab(2£R)

线面平行a0a_Ln0a•〃=0

面面平行aPonm=Am

知识点13：空间中直线、平面的垂直

设直线4的方向向量为。=（4也,01）,直线，2的方向向量为》=（。232，。2），平面a的法向量〃=（%,必*1）,平面

夕的法向量为机=（%2，%，22），则

线线垂直J-l2=a-b=0o%%+b1b?+qc2=0

%=Xx{

线面垂直乙J_a0an=a=X”='伪=H

q=2zj

面面垂直a'〃_L相=7z•m=0=西々+yxy2+=0一

知识点14：点到线面距离

1、点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，P是直线/外一点.设=则向量4P在直线/上的投

影向量，在R/AAPQ中，由勾股定理得：AP|2-|AQ|2=y|a-(a-u)2

AQ=(GM)MPQ=

2、点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为〃，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面戊的垂线/,交平面a

于点。，则”是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是4户在直线/上的投影向量。P的长度.

PQ=|AP.—1=||=|AP'；Z|

\n\\n\\n\

知识点15：用向量法求空间角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知。，6为两异面直线，A,C与B,。分别是a,6上的任意两点，a,6所成的角为，，则

ACBD

①cos<AC,BD>=

\AC\\BD\

\ACBD\

②cos0=|cos<AC,BD>|=7-------

AC\-\BD\

2、用向量运算求直线与平面所成角

设直线/的方向向量为a，平面a的法向量为“，直线与平面所成的角为8,a与〃的角为。，则有

①COS（P=-----

■IIm

②sin8=|cosd='&.（注意止匕公式中最后的形式是：sin。）

\a\-\u\

u

A4。

g-------/

3、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若24_L。于A,于2,平面242交/于E,则NAEB为二面角。一/一分的平面角，NAE2+NAP2=180。.

若々力2分别为面尸的法向量

①cos<n.,n^>=—!~=—

一1411%I

②cose根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；

若二面角为锐二面角（取正），贝底05。=|85<4,“2〉1；

若二面角为顿二面角（取负），贝底05，=一|（：05<4，〃2>1；

题型

畲题型一：空间向量线性运算................................................................11

畲题型二：向量共面与四点共面..............................................................14

畲题型三：用基底表示向量..................................................................17

畲题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角..........................................20

畲题型五：空间直角坐标系...................................................................25

畲题型六：空间向量的平行、垂直运算.......................................................27

畲题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算..............................................29

畲题型八：空间向量的投影向量..............................................................34

畲题型九：异面直线所成角..................................................................36

多题型十：线面角...........................................................................41

多题型H^一：二面角、平面与平面所成角.....................................................48

畲题型十二：点到线的距离...................................................................57

畲题型十三：点到面的距离...................................................................61

畲题型十四：折叠问题.......................................................................66

畲题型十五：探索性问题.....................................................................77

【题型一：空间向量线性运算】

一、单选题

1.（23-24高二下•甘肃•期中）在空间四边形ABCQ中，E,尸分别为BC,CQ的中点，则+AC）=（）

A.—EFB.BDC.EFD.-BD

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得.

【详解】在空间四边形43C。中，E为5c的中点，则A2+AC=2AE,

所以4尸一（（/18+4（7）==

故选：C

2.（24-25高二上•广东茂名•期中）在平行六面体ABCD-AMGA中，.="，AD=b,/见=右，。是8,与百。

的交点，以他14｝为空间的一个基底，则直线。4的一个方向向量为（）

A.——Z?+cjB.](a+6+e)C.—ct+b+cD.—a—b~\~c

2

【答案】A

【分析】由向量的线性运算即可得到答案.

【详解】o\=|cA=1(CB+CD+CC1)=1(-a-Z?+c)

故选：A.

3.(24-25高二上•四川成者B•阶段练习)如图，在平行六面体A5cZ)-AgCD中，AB—AD+=()

;2_________G

AB

UUU

A.AC]B.*C.DB,D.DyB

【答案】c

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】AB-AD+AAl=AB+AAl-AD=ABl-AD=DBl.

故选：C.

4.（24-25高二上•福建福州•阶段练习）如图，空间四边形OABC中，OA=a,03=b,OC=c,且OM=2MA,BN=NC,

则MN=（）

C

;

A

211111

A.——a+—b7+—cB.—a+—b7——c

322222

22112.1

C.——a+—7b+—cD.—a——b+—c

332232

【答案】A

【分析】根据题意，得到ON=；（O3+OC）,再由ON=2M4,可得0M=|

OA,结合MN=ON-OM,即可求解.

【详解】因为BN=NC,可得ON=；（OB+OC）,

2

又因为OM=2M4,可得。"=一。4,

3

]2211

所以MN=ON-OM=-（0B+0C^--0A=-^a+-b+-c.

故选：A.

5.(23-24高二上•山东青岛•期末)已知四面体Q4BC中，04=a,O5=A,OC=c,OM=4MA(X>0),N为5c中点,

^MN=--a+-b+-c,贝！M=()

422

A.3B.2C.—D.—

23

【答案】D

211

【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到MN=-丁，a+：6+：c,结合题意，列出方程，即可求解.

1+/L22

11211

【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：MN=ON-OM=-（OB+OC）---OA=----a+-b+-c

21+21+222f

因为脑v=—］，所以7^7=；，解得力=；.

44_LI/L*J

故选：D.

【题型二：向量共面与四点共面】

一、单选题

1.（24-25高三上•上海•开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（）

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若a-b>0,则a与b的夹角是锐角

C.已知向量°、b、c是不共面的向量，则2。、b、c-a也是不共面的向量

112

D.若对空间中任意一点0,^OP=-OA+-OB+-OC,则P,A,B,C四点共面

【答案】B

【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面

的推论判断.

【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向

量共面，对；

B：对于两个同向共线的非零向量也有但它们的夹角为0度，不是锐角，错；

C：若2a、b、c-a是共面的向量，贝!I存在c-a=+且

显然无解，所以2“、b、c-a是不共面的向量，对；

112112

D：由五+^+]=1，5.OP=—OA+—OB+—OC,根据空间向量共面的推论知P,A,B,C四点共面，对.

故选：B

2.(24-25高二上•重庆•期中)在空间中，若向量〃2),&=(1,2,3),C=(1,3,M)共面，则加二()

4511

A.—B.—C.—D.6

322

【答案】c

【分析】根据向量共面则存在唯一的尢〃使得c=4a+〃b,列出等式计算可得结果.

【详解】若向量。=。,0,-2),b=(1,2,3),c=(L3,m)共面，则

c=/la+?=4(1,0,-2)+2,3)=(4+〃,2〃,一24+3〃)=(1,3,m),

2=--

4+4=12

3

即2〃=3,解得：<〃二一

2

-22+3/z=m

11

m=一

2

故选：C

3.(24-25高二上•江苏无锡・期中)设｛。也。｝为空间的一个基底，OA=2a+3b+5cOB=a+2b-2c，OC=ka+b+3c，

若OA，OB，0c共面，贝壮=()

A.-B,-C.-

423

【答案】D

【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可.

【详解】由已知OA,OB，0C共面，

贝!J可设0C=MM+y08,

即如+6+3C=x^2a+3b+5c)+y(a+26-2c),

1

x=—

2x+y=k2

1

即3x+2y=1,解得o=一"

5x-2y=3

k=>

4

故选：D.

4.(24-25高二上•山东•期中)若｛a,Ac｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()

A.b+c,b,b—cB.a+b,a,a—b

C.a+b,a—2b,cD.a+b,a+b+c,c

【答案】c

【分析】根据共面向量定理判断.

【详解】A选项，6=+共面；

22

Ba+b=2a—（d—b）,；

C选项，若存在羽ywR,使得＜?=双0+万）+丁（0-2万）=（%+y）〃+（x-2y防，贝!|〃/,c共面，与已知矛盾，所以假设

错，不共面.

D选项，a+b+c=(a+b)+c,共面.

故选：C.

121

5.（24-25高二上•湖北•期中）如图，在正四棱台A3CO-ABC2中，AB=2^^£=-AB,DF=-DA,A1G=-AA.

AM

直线AG与平面E/G父于点M,则K=（）

A.—B.—C.—D.—

23161917

【答案】A

【分析】设AM=XAG，通过",G,瓦产四点共面，即可求解.

13

【详解】依题意，AF=-AD,AG=-AA.,在四棱台中，

1143

ACl=AAl+AlCl=AAi+AiBi+AiDi=AAl+-AB+-AD=-AG+AE+-AF9

43

设411=九4£,贝！++M,G,2方四点共面，

/.-2+2+-2=1,.\2=—.

3223

故选：A

6.（24-25高二上•河南周口•阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，B4=AB=3,点M满足

PM=xPA+yPB+（2-x-y）PC,则AM的最小值为（）

A.侦B.76C.蛔D.2任

55

【答案】B

【分析】根据题意，延长尸AP5PC至点。使得PD=2PA,PE=2PB*PF=2PC,得到

PM=，D+¥pE+（J-y）PF,结合空间向量的共面定理，得到M,AE,尸四点共面，把A到平面。跖的距离

222

转化为点尸到平面。跖的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解.

【详解】如图所示，延长PA,PB,PC至点D,E,F,使得PD=2PA,PE=2PB,PF=2PC,

所以PM=xPA+yPB+（2-无一yjPCn^PD+IPE+^I^P/，

又由二+上+生。）=1,所以及广四点共面，

222

所以40的最小值，即为点A到平面。屏的距离，

因为点A是PO的中点，则点A到平面DEF的距离是点P到平面DEF的距离的一半，

又因为PD=PE=PF=DE=DF=EF=6,所以三棱锥P-DEF为正三棱锥，

取等边处尸的中心为。，连接。。尸。，可得尸0_L平面DEb，

所以P。即为点P到平面DEF的距离,

在等边..DEF,因为DE=DF=EF=6,可得。。=2若，

在直角P8中，可得尸0=<PD。-DO2=击2-（2月了=2底，

即点P到平面。斯的距离为2n，所以AM的最小值为布.

【题型三：用基底表示向量】

一、单选题

1.（24-25高二上•重庆•阶段练习）下列可使短，b,e构成空间的一个基底的条件是（）

A.a=mb+ncB.a,b,c两两垂直

C.I41=1Z?1=1c|=1D.a+b+c=0

【答案】B

【分析】判断三个向量是否共面即可得.

【详解】选项AD中，三个向量a,b,c一定共面，选项C中，a,6,c可能共面，只有选项B中，a,b,c一定不共面,

故选:B.

2.（23-24高二下•甘肃临夏・期末）如图，在平行六面体ABCD-AB'C力中，点E,尸分别为A3,的中点，则斯=

22

C.--AB+-AA+-AD

222

D.-AB+-AA'+-AD

222

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.

【详解】在平行六面体A8CD-ABC力中，点E,F分别为AB,加'的中点,

111——

贝!］族=母+人方=——AB+AD+DF=——AB+AD+-AA.

222

故答案为：A.

2

3.（24-25高二上•安徽黄山・期中）如图，在三棱锥O—ABC中，。4=/。6="0。=°,瓦）=35。,石是线段40的

中点，贝IJOE=（）

11,1

A.-a+-b+—cB.-a+—b+-c

236623

111

C.—a+—b7+—cD.44+坊

362263

【答案】D

【分析】连接0。，利用向量的线性运算可求得结果.

【详解】连接0D,因为E是线段AD的中点，所以OE=^OA+^OD,

22212

因为3£>=；8C,所以OD=OB+BD=OB+gBC=OB+g（OC—OB）=gOB+gOC,

所以OE=lOA+LoD」OA+Ulo2+2oc］」OA+LoB+』OC=La+4+』c.

2222（33）263263

故选：D.

4.（24-25高二上•山东枣庄•期中）若｛"；词是空间的一个基底，且｛q+e；,e；+e”q+引不能构成空间的一个基

底，贝此=（）

A.-1B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】分析可知存在x,ywR,使得6+色=［6+92）+乂，+63）,结合空间向量基本运算求解.

【详解】因为卜,e；,e?｝是空间的一个基底，可知61+6*2+63,q+色均不为零向量，

若不能构成空间的一个基底，则存在苍ywR,使得6+/=无k;+e；）+y（e；+e3）,

x=1

可得,x+y=O,解得/=_1.

y=t

故选：A.

5.（24-25高二上•湖北•期中）在空间直角坐标系中，0为坐标原点，若0408,OC是空间不共面的三个向量，则可

以与向量。4+02和向量OA-O8构成空间一个基底的向量是（）

A.OAB.OBC.0CD.BA

【答案】C

［分析］利用共面向量的基本定理可判断出OA^OA+OB>OA_Q5共面，OB、OA+OB>OA-OB共面，BA、OA+OB^

Q4-O8共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得OC、OA+OB>OA-OB不共面，即可得出结论.

［详解］因为0A=；（0A+08）+g（0A-08）,=+,

故。A、OA+OB-04-08共面，OB、OA+OB>OA-08共面，故AB错误；

因为A2=O2-OA=-（OA-O2）,即钻、OA+OB>OA-O8共面，故D错误；

假设0C、OA+OB>OA-OB共面，贝!］存在实数优、n,使得0c=〃2（04+06）+“（04—02）,

所以，OC=（m+n）OA+（m-n）OB,则Q4、OB、0C共面，与题设条件矛盾，

故假设不成立，即OC、OA+OB>OA-O8可构成空间向量的一组基底，故C正确.

故选：C

【题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角】

一、单选题

1.（24-25高二上•广东东莞•阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-ABIGR中，点M为棱CG上任意一点，则

AMBC=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解.

【详解】如图，在正方体ABC。-A冉GR中，M为棱CG上任意一点，

JMCM-CCiAV0W4W1,

所以AM.BC=（AC+CM〉8C=（AB+AO+/LAA）AO=A。2=|何=1.

故选：A.

2.（24-25高二上•贵州六盘水•期中）在空间四边形Q4BC中，OA=a，OB=b，OC=c，且⑷W=2MC,BN=2NO,

则MN=()

112122

A.——a+—bz+—cB.——a+—Zb——c

333333

212112

C.——a+—b7——cD.——a+—7b——c

333333

【答案】D

【分析】以OA=a，OB=b，OC=c为基底，根据空间向量的加减运算，表示出府，即得答案.

【详解】由题意知在空间四边形。4BC中，OA=a'OB=b，OC=c，且AM=2MC,BN=INO，

21

贝!jMN=MA+AO+ON=-§AC-Q4+§O5

=--(OC-OA\-OA+-OB=--OA+-OB--OC

3、73333

1172

=——a+—b——c,

333

故选：D

3.(23-24高一下•吉林延边•阶段练习)平行六面体ABC。-A与G2中

AB=AD=l,AAi=2,ZBAD=^,ZBAA,=ZDAA]=|,IJllJ=()

A.76B.6C.y/2D.V2+1

【答案】A

【分析】先表达出加LYB+AD+",两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到明2=6,从而求出模

长.

【详解】由题意得

,,-2/\2-2-2.2

故BQ=^-AB+AD+AA]j=AB+AD+9-2AB-AD-2.AB-A^+^AD-AA1

7171

=1+1+4—0—2x1x2cos—F2x1x2cos—=6,

33

故畋卜面.

故选：A

TT

4.（24-25高二上•江苏南通•阶段练习）在棱长均为1的三棱柱ABC-4B|G中，ZA.AB=Z^AC=-,则异面直线A片

与BG所成角的余弦值为（）

A.逅B.且C.逅D.也

6633

【答案】A

【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底

表示，最后利用夹角公式求异面直线A片与BG所成角的余弦值即可.

【详解】如图，设胡=右，AB=a,AC=b，棱长均为1

111

贝J]a♦b=_b'c=_fa•c=一,

22f2

AB{—a-\-c9BCX-BC+BBX=b—a+c,

二.AB{-BCX=(a+c)•(Z?-a+c)

=a'b-az+a-c+b-c—a-c+c2

=a'b—a2+b-c-\-c2

=--1+^+1=1,

22

|ABX|=+cl=Jl+1+1=y/39

|BCt|=«b-a+c¥=Vl+1+1-1-1+1=&,

4Vg1：.

/.cos<ABBC

X1IAB,I-IBC,IV2x^/36

.,・异面直线A与与BG所成角的余弦值为四.

6

故选：A.

5.（24-25高二上•山东烟台•期中）在平行六面体ABC。-AB'C'D'中，底面ABC。是正方形，NA'AB=NA'AD=60。,

AB=2,4T=4,M是棱的中点，AC与平面AMD交于点H,则线段A月的长度为（）

A.@B.迪C.72D.还

232

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得IHC1=2后，利用共面定理，即可求解2=9得解.

4

【详解】在平行六面体ABCD-AB'C'D中，取=AD=b，AAl=c,

AB=2,AA'=4,ZA,AB=ZA'AD=60°,

IfUA'C=A'A+AB+BC=-AA'+AB+AD=a+b-c