2025年高考数学复习之计数原理（含解析）

2025年高考数学解密之计数原理

一.选择题（共10小题）

1.（2024•香河县校级模拟）（尤-4）"（〃eN*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常

X

数项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

2.（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名

普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城

东，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.60种C.96种D.180种

3.（2024•市中区校级模拟）若（6+N）"展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

x

A.11B.10C.9D.8

4.（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他

的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同-部影片的选择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

5.（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释

科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘"古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕

共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿

服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

6.（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的

分配方法数是（）

A.300B.240C.150D.50

7.（2024•德阳模拟）在（2+x）（l+x）6的展开式中，含V项的系数为（）

A.70B.60C.55D.50

8.（2024•广东模拟）（2x-y）5的展开式中/J?的系数为（）

A.80B.-80C.40D.-40

9.（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”一科学

点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举

行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖

者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

10.（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已

知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18B.24C.36D.48

二.多选题（共5小题）

11.（2024•城区校级模拟）若%8=a。+q（x—1）+—I）?++（x—I）8,其中%,出，，%为实

数，贝I"）

A.%=1B.4=56

C.%+/+%+出=128D.4+%+4+%=127

12.（2024•长沙三模）瑞士数学家Ja妨Z?Bernoulli于17世纪提出如下不等式：Vx>—1,有

(1+x)r>1+rr,r>1

，请运用以上知识解决如下问题：若Ovavl,0<b<l,aob,则以下不等式正

(1+x)r<1+rx,0<r<1

确的是（）

A.aa+bb>lB.ab+ba>lC.aa+bb>ab+baD.aa+bb<ab+ba

13.（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是（）

88

A.XC8=28B.之C；=C；

k=\k=2

8

c,2=1」D.X(C；)2=C：6

£k\8!k=0

14-（2期•江苏模拟）在二项式（6一》的展开式中，下列说法正确的是（）

常数项是"

A.B.各项的系数和是64

4

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

15.（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

三.填空题（共5小题）

16.(2024•锦州模拟)已知％,a2,a3,a4e(l,2,3,4},N(%,a2,a3,%)为q,a2,a3,火中

2

不同数字的种类，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(1,2,1,2)视为不同

的排列，则（％,a2,a3,%）的不同排列有一个（用数字作答）；所有的排列所得N（%,a2,a3,4）

的平均值为一.

17.（2024•黄浦区校级三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数

的奇数共有一个.

18.（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女

生的选法有一种.

19.（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届

学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的

重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C,。四个不同的区域

参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有一种（用

数字作答）.

20.（2024•闵行区校级二模）如图，设点P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由

点P到四个顶点的距离组成的集合记为如果集合“中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有

个.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后

某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三

名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

22.（2024•黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元〃

次多项式方程在复数域上至少有一根（".」）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基

础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根（重根按

重数计算）.对于〃次复系数多项式/（X）=/+a“T龙"T++”1尤+4,其中an_2,a0&C,若方

程/（x）=0有九个复根占，x2,...,xn,则有如下的高阶韦达定理：

3

Z=1

n

1M<jn

<

y*咨屈=一限,

l^ij<j<kn

xlx2...xn=(-1)〃4•

(1)在复数域内解方程V+4=0；

(2)若三次方程d+加+云+o=0的三个根分别是菁=1-i,x2=\+i,毛=2(，为虚数单位)，求〃，b,

c的值；

2

(3)在〃..4的多项式/(%)=尤〃++qx+〃o中，已知%ax--na,a0=a,〃为非零实

数，且方程/(x)=0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根(用含〃的式子表示).

23.(2022•兰州一模)(1)学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？

(2)从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？

24.(2020•宿城区校级模拟)已知〃为给定的正整数，设(；+%)"=/+卬％+〃2/+.+〃/",xeR.

(1)若〃=4,求小，%的值：

7n

(2)若％=二，£("-4)。/”的值.

3k=o

25.(2022•兰州一模)已知二项式(l+3x)7.

(1)求展开式的第三项的系数；

(2)求展开式的二项式系数之和.

4

2025年高考数学解密之计数原理

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2024•香河县校级模拟）（x-4"（weN*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常

x

数项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【考点】二项展开式的通项与项的系数

【专题】数学运算；二项式定理；转化思想；转化法

【分析】先求出"的值，再结合二项式定理，即可求解.

【解答】解：（x-2）'（〃eN*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，

贝！J〃=6,

r62r

-2）6的展开式的通项为Tr+l=尸（-知=q（-2）x-,

XX

令6-2厂=0,解得厂=3,

故展开式中的常数项为点（-2）3=-160.

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

2.（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名

普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城

东，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.60种C.96种D.180种

【答案】D

【考点】简单组合问题

【专题】转化思想；计算题；排列组合；数学运算；综合法

【分析】利用分步计数原理分两步：①先安排甲，②再安排其它4名普查员，分为两种情况：1、安排甲

去的小区就甲一个人，2、安排甲去的小区有2人，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：①先安排甲，甲不去城东，有C；=3种，

②安排其它4名普查员，

5

分为两种情况：1、安排甲去的小区就甲一个人，那其它4人按2,1,1分配，有驾G

•禺=36种,

2、安排甲去的小区有2人，则除甲以外4人全排即可，有用=24种，

所以一共有3x（36+24）=180种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.

3.（2024•市中区校级模拟）若（6+与）"展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

x

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析

【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得”的值.

【解答】解：若（&+§）"展开式中只有第6项的二项式系数最大C；最大，则”=10,

厂

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题.

4.（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他

的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同-部影片的选择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

【答案】B

【考点】排列组合的综合应用

【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算

【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.

【解答】解：从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，

2部影片进行全排列，

故共有C2尺=6x3x2=36种情况.

故选：B.

【点评】本题考查了排列组合的问题，属于基础题.

5.（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释

科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘"古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕

共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿

6

服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

【答案】D

【考点】排列组合的综合应用

【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算

【分析】根据排列组合的分组分配问题计算即可.

【解答】解：首先将志愿者分成三组共有C；=6种，安排到三个主题空间有尺=6种，

故不同的安排方式有6x6=36种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题.

6.（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的

分配方法数是（）

A.300B.240C.150D.50

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】综合法；排列组合；数学运算；整体思想

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解.

【解答】解：先将5名志愿者分为3组，

XX

则有C垮C1+C29c2=25种分法，

再将这3组分给三个社区，

有禺=6种分法，

则不同的分配方法数是25x6=150.

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属

基础题.

7.（2024•德阳模拟）在（2+x）（l+x）6的展开式中，含/项的系数为（）

A.70B.60C.55D.50

【考点】DA：二项式定理

【专题】35：转化思想；42?：转化法；5P：二项式定理

7

【分析】根据（l+x）6展开式的通项公式，即可得出（2+x）（l+x）6的展开式中含V项的系数.

【解答】解：（1+X）6展开式的通项公式为

酊=C"，

所以（2+x）（l+x）6的展开式中，含V项的系数为：

2.C；+C；=55.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

8.（2024•广东模拟）（2x-y）5的展开式中的系数为（）

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】D

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中Vy3的系数.

【解答】解：（2x-y）5的展开式的通项公式为小=C「（2x）5-.㈠厂，

令r=3,可得展开式中Vy3的系数为-c；"=-40,

故选：D.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

9.（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学

点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举

行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖

者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】数学运算；排列组合；整体思想；综合法

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解.

【解答】解：要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，

8

CXCXC2c2

则不同的派出方法有当=150种.

故选：c.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题.

10.（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已

知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【考点】部分元素相邻的排列问题

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解

【分析】根据题意，将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，将丙和丁看成一个整体，

分4种情况分析：

①丙和丁的整体分别为第1、2名，有其国=12种情况，

②丙和丁的整体分别为第2、3名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第4、5名，有&禺=4种情况，

③丙和丁的整体分别为第3、4名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、5名，有&&=4种情况；

④丙和丁的整体分别为第4、5名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、3名，有&&=4种情况；

贝1|有12+4+4+4=24种情况.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

二.多选题（共5小题）

11.（2024•城区校级模拟）若无8=4+%（龙-1）+出（元-I）?++%（x-l）8,其中4,q,a2,,%为实

数，贝）

A.4=1B.G=56

C.q+/+%+%=128D.出+/+4+/=127

【答案】ACD

【考点】二项式系数的性质

【专题】综合法；数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题

s

【分析】根据题意，令f=则原式转化为Q+l）8=g+印+出产++ast,结合赋值法，以及二项展

9

开式的性质，逐项判定，即可求解.

8

【解答】解：由x*=4+%(x—1)+a,(x—1)~++<2g(x—I),

令f=x-1,则原式转化为Q+1)'=a。+即+a?厂++出产，

对于A中，令7=0,可得g=1,所以A正确；

对于8中，由二项式定理的展开式，可得/=索=28,所以3不正确;

对于C和。中，令7=1,可得%+。]+。2++flg=28,

t=-],1*导％——+ZTg=0»

所以+/+%+%=“0+。2+。4+%+“8=2，=128,所以4,+44+。6+火=127,

所以C、D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

12.(2024•长沙三模)瑞士数学家Bernoulli于17世纪提出如下不等式：Vx>-1,有

r

|(l+x)>l+rx,r>l,请运用以上知识解决如下问题：若0<b<l,a手b,则以下不等式正

[(1+x)r<1+rx,0<r<l

确的是()

A.aa+bb>lB.ab+ba>lC.a"+廿>a"+6"D.aa+bb<c^+ba

【答案】ABC

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算

【分析】选项A中，根据题意得出a">!，bh>~,求和即可；

22

选项3中，根据题意得出/>‘一，6">—也，根据同向不等式相加，求解即可；

a+bb+a

选项C、D,不等式废+廿>/+",可化为廿-屋，构造函数/z(x)=f-V,利用导数判断函

数的单调性，求解即可.

【解答】解：对于A,因为。山勿2,所以a">工，则废+讨>工+工=1；

e222

对于3,因为——i-->±=，一,同理">上，则〃+/>，_+上=1；

(]+丛上-1)1+—a+^b+aa+bb+a

aaa

对于。，要证明优+/,也即证明廿—夕〉才一优，只要证明久x<l时，在区间g,

10

1)上单调递减.

求导数，得〃'0)="1-0/1=0/7(2-靖—,)，由2-x"U=O,得x=(2产,且依修>0,

aaa

结合幕函数y=x””的性质得：当北已产时，h(x)„0,/i(x)在区间心产,+oo)上单调递减，即尤=(2产

aaa

时，函数〃(无)取得最大值，从而只需证明武(2产，变换得：-<^<^->(-)^>因为

aabb

(l)a-fc=(l+l-l)a-fc<l+(l-l)(a-&)=2+^-a<2,故得证；

综上，若0<b<a<l,不等式废+片>〃+〃成立，选项C正确，D错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题.

13.(2024•怀仁市校级四模)下列等式中正确的是()

88

A.之《=2'B.之C；=C；

k=lk=2

8

C,2D.3C)2=C

金kl8!k=0

【答案】BCD

【考点】组合及组合数公式

【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；排列组合；二项式定理；逻辑推理

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的变换求出结果.

8

【解答】解：对于A：Xc；=C；+《+C；+...+琛-「爱->爱，故A错误;

k=l

8

对于B：XC；=C；+C；+...+C；=C；,故3正确;

k=2

对于故1笠111111=1-1

=1------1---------------F...H---------故C正确;

2!2!3!7!8!8!

对于。：(1+4-(1+4=(1+无严，对于(l+x)16,其含有炉的项的系数为C3对于(1+X)8.(1+X)8,要得

到含有要从第一个含有f的项的系数，需要从第一个式子中取出左个X,再从第二个式子中取出8-左个X,

88

对应的系数为-CT=X(C；)2=C：6，故D正确.

k=0k=0

故选：BCD.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

14.(2024•江苏模拟)在二项式(6-工)6的展开式中，下列说法正确的是()

2x

A.常数项是位B.各项的系数和是64

4

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

【答案】AC

11

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；转化法；二项式定理；转化思想

【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断3选项；利用二项式系数的性质可

判断C选项；求出奇数项的二项式系数和可判断。选项.

【解答】解：二项式（石--1-）6的展开式通项为/（&严.（--Ly=/（-%•/次.

2xlx2

令3-弓％=0,可得左=2,故常数项是C，（一3）2=9,A正确；

各项的系数和是（1-1）6=」，B错误;

264

二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；

奇数项二项式系数和为25=32,。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

15.（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，贝U（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

【答案】AC

【考点】排列组合的综合应用

【专题】排列组合；数学运算；定义法；对应思想

【分析】利用分步计数原理直接判断选项A，利用组合、排列的结合判断选项BCD.

【解答】解：对于A：由分步计数原理，

五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，故A正确；

对于8：由排列数公式，

五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C；/种放法，故3错误；

对于C：将其中的4个球投入一个盒子里共有C；C：=20种放法，故C正确；

对于。：全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，

C2c2

共有：C；看+三舁国=150种不同的放法，故。错误.

故选：AC.

12

【点评】本题考查分步计数原理以及组合、排列相关知识，属于中档题.

三.填空题(共5小题)

16.(2024•锦州模拟)已知“，a2,a3,a4e{1,2,3,4},N(q,a2,a3,a&)为%,a2,a3,%中

不同数字的种类，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(1,2,1,2)视为不同

的排列，贝1(%,a2,a3,封)的不同排列有256个(用数字作答);所有的排列所得N(%,a2,%，

a4)的平均值为.

【答案】256；—.

64

【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数

【专题】数学运算；整体思想；综合法；排列组合

【分析】本题首先可以确定N(q,%%，«4)的所有可能取值分别为1、2、3、4,然后分别计算出每

一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可

计算出N(q,a2,a3,aJ的平均值.

【解答】解：由题意可知，(％,a2,a3,%)的不同排歹U有4x4x4x4=256个,

当N(q,%，43，“4)=1时，6=4x；

当N(q,4,4)=2时，鸟=6*(《+£；+84_21

256-64

9

当N(q,a2,4：4)=3时，=4x3(6+3+3)

16

当N(q,a,,%，%)=4时，PA==—<

-3444425632

综上所述，所有的256个(4：%:%，4)的排列所得的N(q,a2,4，/)的平均值为:

ix±+2x21+3x2+4xA175

6464163264

故答案为：256；—

64

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题.

17.(2024•黄浦区校级三模)用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数

的奇数共有奇0个.

【考点】数字问题

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解.

13

【解答】解：用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2

类：

①当数位上数字为奇数且个数为2时，

则有阕=720个；

②当数位上数字为奇数且个数为4时，

则有短=120个，

则各个数位上数字和为偶数的奇数共有720+120=840个.

故答案为：840.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属

中档题.

18.（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女

生的选法有135种.

【答案】135.

【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题

【专题】数学运算；综合法；排列组合；整体思想

【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果.

【解答】解：3名代表中有1名男生，2名女生的选法有CC；=5x容=75,

3名代表中有2名男生，1名女生的选法有C；C：=^x6=60,

所以3名代表中既有男生又有女生的选法有75+60=135.

故答案为：135.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题.

19.（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届

学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的

重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C,。四个不同的区域

参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有276种

（用数字作答）.

【答案】276.

【考点】简单组合问题

【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算

【分析】根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有限制条件的排列问题列式计算即得.

14

【解答】解：依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，

当甲参加时，有C；可种选派方法，当甲不参加时，有种选派方法，

所以不同选派方法种数是C；团+C：禺=180+96=276.

故答案为：276

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

20.（2024•闵行区校级二模）如图，设点P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由

点P到四个顶点的距离组成的集合记为如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有

10个.

【答案】10.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】综合法；整体思想；数学运算；排列组合

【分析】根据分类计数原理求解即可.

【解答】解：符合条件的点P有两类：

一，六条棱的中点；二，四个面的中心；

集合”中有且只有2个元素，符合条件的点P有4+6=10个.

故答案为：10.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后

某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三

名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

【答案】7.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】逻辑推理；排列组合；转化法；转化思想

【分析】利用图表列举所有情况，结合排列组合公式计算求解即可.

【解答】解：设该队有〃名选手，分别记为%,%，…，an,记6道题的编号依次为1,2,6,以编

15

号为行、选手为列作一个的方格表，

如果选手％(i=l,2,〃)答对第八=1,2,6)题，就将方格表中第j行第i列的小方格(j,i)的中心染成红

点，

•----Q

iq--1；*

1।1,

我们的问题就是在6x〃的方格表中，不存在“横”6点矩形：一•一，和“纵”6点矩形的情况，且

至少有23个红点时，求，的最小值.

如第1列有6个红点，那么，后面各列至多有2个红点，

因为C；=15>9,于是，取第2至10列，其中第2至9列每列有2个红点，第10列1个红点(如图)满

足题设，这说明〃的最小值不大于10.

ala2a4a5a6a7a8a9aio…an

1***

2•***

3•*•*•

4•***•

5•*•*

6**

我们发现，可通过将第1列中某点移到此点所在行的其他列中来减少图6的列数，

如作移动(6,1)-(6,2),可同时作移动(4,10)->(6,3),(3,9)-(6,4),(5,9)->(6,7),这

样便得到有23个红点的图甲,

类似地可得图乙，这说明〃的最小值不大于7.

aaaaaaa

%23^5678.%.a2..3,.16;7

*•••*•

****•**o

***•*•*•

*******0

***0•*

©oo*o◎©o*Q

图甲图乙

下面证明：”的最小值大于6.

对于一个恰有6列的方格表，由抽屉原理知至少有一列红点数不少于4,不妨设第1歹!J,且第1列的前4

行的小方格的中心是红点，

如果某列有2个红点，则称其为某列上的一个红点“行对”，这样在前4行中，除第1列外的5列中每列

16

只能有一个行对.于是，前4行中总共有C：+5=11个行对.

考虑最后两行：若第1列还有红点，那么，有红点的这一行不能再有其他的红点，如第1列还有2个红点，

这时能增加9个行对，6x6方格表中共有11+9=2。个行对；

如第1列还有1个红点，不妨设第1列第5行的小方格有红点，

这时即使第6行除第1列外的其他小方格都有红点，那么，可增加C：+5x2=14个行对，6x6方格表中共

有11+14=25个行对；

如第1列没有其他的红点，那么，在最后两行中最多还有两个行对，这两个行对占去了两列，在余下的三

列中，每列最多有1个红点，

于是，可增加行对2x5+3x2=16个，这时，6*6方格表中最多有11+16=27个行对.这说明27是可能

的行对总数的最大值，

66

设第i列的红点数为%(i=1.2,,6),且5＞,=左，则所有行对的总数＜27,

z=li=l

_6_6

即Ev-Sv-54，

i=lz=l

6161

由柯西不等式有＞l(yXf)=Sk2t

,=i6,-=16

k2

所以一V上+54,

6

解得3用VAW3+3历，

由左为正整数知人,21,这说明6x6方格表中红点个数最多为21个，

又当凡5时，方格表中红点总数不大于4者=2。个，这说明”的最小值不小于7.

综上，该代表队至少有7名选手.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于难题.

22.(2024•黔南州二模)1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元〃

次多项式方程在复数域上至少有一根(九.1).此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基

础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根(重根按

重数计算).对于〃次复系数多项式f(x)=x"+a"T无"T++a1x+a0,其中a,—,an_2,a0eC,若方

程/(x)=0有〃个复根%，…，左，则有如下的高阶韦达定理：

17

Z=1

n

1M<jn

<

n

y卒屈=一限,

j<kn

xlx2...xn=(T)"g-

(1)在复数域内解方程f+4=0；

(2)若三次方程x3+加+6尤+c=o的三个根分别是占=1_j,%=1+,,忍=2(7为虚数单位)，求a,b,

c的值；

(3)在〃..4的多项式f(x)=x"++%无+/中，己知a"_]=-l,%=-〃，，a0=a,a为非零实

数，且方程/(x)