2025年高考数学二轮复习易错题：不等式

专题03不等式

题型一：等式与不等式性质的应用«易错点：忽略不等式变号的前提条件

题型二：有关一元二次不等式求解

气易错点：遗漏一元二次方法求解的约束条件

集问题

题型三：基本不等式最值问题6、易错点：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性

易错点一：忽略不等式变号的前提条件(等式与不等式性质的应用)

1.比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0@>1(〃，人>0)或@<l(a,b<0)

bb

a=ba—b=0q=is片o)

b

a<ba-b=O—<l(a,b>0)^―>l(a,b<0)

bb

2..等式的性质

(1)基本性质

性质性质内容

对称性a>b<a^a<b<=>b>a

传递性a>b,b>c=>a>c；a<b,b<c=>a<c

可加性a>b<^a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^>ac>bc；a>b,c<0^>ac

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>O,neN^=>an>bn

类型1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是

在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

类型2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的

单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于。或1比较大

小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幕或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法.

易错提醒：（1）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前

提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.

（2）不等式性质包括“充分条件（或者是必要条件）”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后

者一般是解不等式的理论基础.

■

例.“Ovavb”是“一的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由。<。<6,则’成立，充分性成立；

ab

由,>1，若〃=1力=-1,显然0<。<人不成立，必要性不成立；

ab

所以“0<4<6”是“工>上的充分不必要条件.

ab

故选：A

变式L已知a>b>0,则下列关系式正确的是（）

A.若c>0,则a。〉/?。B.若c>0,则

ab

C.若c>0且cwl,则c"><?D.若c<0,则|闻<匠|

【答案】A

【详解】A选项，因为c>0,故y=在（O,+e）上单调递增，

因为a>6>0,所以优>6。，A正确；

11fn

B选项，因为所以0<L；,因为c>0,所以B错误;

abab

C选项，若0<c<l,则y=c*在R上单调递减，

因为d>b>0,所以c"vc“，C错误；

D选项，因为a>Z?>0,所以同〉网，

因为cvO,则M>0,故㈤>国，D错误.

故选：A

变式2.对于实数〃，b,c,下列结论中正确的是（）

A.若。>人则。。2>历2B.若则工〉!

ab

C.若。<b<0,则：<—D.若—>—,则〃/?<0

baab

【答案】D

【详解】解：对于A：c=。时，不成立，A错误；

对于B：若〃>力>0,则,<!，B错误；

ab

对于C：令〃=-22=-1,代入不成立，C错误；

对于D：若。>人，—>7,则〃>0,b<Q,则D正确；

ab

故选：D.

变式3.已知〃，仇x均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A.若"b,则。2024Vz72G24

c什20242024

B.右a〈b7,则niI----<--一

ab

C.若62。24<历泮24,贝|JQ<6

D.若Q〈b,则办2。24<笈2。24

【答案】c

【详解】A,当。=—21=1时，(-2)2024>12024,A错误;

B,当a=O时，把2024/没意义，B错误；

a

C,由。？必<"2。24,知铲24>。，所以。<人C正确;

D,当X=0时，讣2。24<42。24不成立，口错误.

故选：C

1.已知实数a,b,C,若a>b,则下列不等式成立的是（）

A.B.a3-l<b3-l

【答案】C

【详解】选项A：因为a>b,取。=18=-1,则工>:,故A错误;

ab

选项B：因为一1v"一1=片,

与已知条件矛盾，故B不正确；

选项C：因为02+2>0=>-......>0

C2+2

Z7h

所以一故c正确；

c2+2C2+2

选项D：当c=0时，ac2-be1,故D不正确；

故选：C.

2.若b<a<0,则下列结论不正确的是（）

A.工<]B.ab>a2

ab

C.网>册D.|a|+|&|>|a+Z>|

【答案】D

【详解】对于A,因为6<。<0,所以必>0,所以与<《，即所以A正确，

ababab

对于B,因为b<〃<0,所以所以B正确，

对于C,因为y=正在R上递增，b<a<Q,所以四〉四，所以C正确，

对于D,若b=-2,a=-L,Ijllj|a|+1&|=3,|a+/?|=|-3|=3,则同+网=|a+目，所以D错误,

故选：D

3.已知c>d,则下列不等式一定成立的是()

A.ac>bdB.ae0>bd

C.D.aln(c-d)>bln(c-d)

【答案】C

【详解】对于A,令々=2*=1,。=一2,4=—3,显然有a>〃，c>d,而欧=Y<-3=bd,A错误;

对于B,由c>d,知e，>e",令a=-d力=-e。,显然有而ae，=—e，+"=—be",B错误；

对于C,由c>d,得e">e">O,e。>e">0,因此e"-e，>e'•/,C正确；

对于D,若々>人，令c=2,d=\,有c>d,而aln(c-d)=0=bln(c-d),D错误.

故选：C

4.若!<:<0,则下列不等式中正确的是()

ab

A.a<bB.Id>|/?|C.a+b>abD.—+—>2

ab

【答案】D

【详解】因为!<工<。，所以。<0,6<0,则必>0.

ab

所以或〈半<0即6<a<0,AB错误.

ab

因为Z?<a<0,所以a+b<0,H?>0,则〃+Z?<aZ?,C错误.

因为6<a<0,所以2>0,9>0

ab

则2+旦>2、口^=2,D正确.

ab\ab

故选：D

5.若。、b>ceR,S.a>b,则下列不等式一定成立的是()

2

A.a+c>b+cB.(a—Z?)c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【详解】因为4、b、CGR,且则〃一/?>0,c2>0,

由不等式的基本性质可得a+c>b+c,A错；(tz-/?)c2>0,B对；

2

当c<0时，ac<be,C错；--c-->0,D错.

a-b

故选：B.

6.下列命题中正确的是（）

A.若a>b,贝|。。2>庆2B.若a>b,c<d,则

ca

C.若。>匕，c>d,贝！Ja-c>b-dD.若">0,a>b,贝

ab

【答案】D

【详解】A选项，当c=0时，碇2=宜，故A错误；

B选项，当a=l,b=0,c=-2,d=-l时，—=0,—,故B错误;

c2aca

C选项，当a=l,b-0,c-1,"=O时，a-c=b-d,故C错误；

D选项，若必>0,a>b,则工-1=?<0,即故D正确.

ababab

故选：D.

7.设xeR,则“x<l”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由国〉x,可得x<0,

则x<1是x<0的必要不充分条件.

故选:B

8.已知。，6eR,P：a<b,<?：a2>b（2a-b）,则P是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】解：因为。，6eR,q：a1>b（2a-b）

即"一2。6+户>0,即（a-b）2>0,贝!I”，b,

而〃：a<b,

所以，P是4的充分不必要条件，

故选：A.

9.下列四个选项能推出■的有（）

ab

A.b>Q>aB.a>Q>b

C.Q>a>bD.a>b>G

【答案】ACD

【详角星】—<—<^>---<0<^ab(a-b)>0,

abab

对于A,当时，ab<0,a-b<0f所以必>0,所以A正确，

对于B,当〃>0〉/?时，ab<0,a-b>01所以QZ?(Q—Z?)V。，所以B错误，

对于C,当0>Q>Z?时，ab>0,a-b>0f所以〃仇a—b)>0,所以C正确，

对于D,当3>6>0时，ab>0,a-b>0,所以他(。-6)>0,所以D正确,

故选：ACD.

10.已知a>b>l,G-&=\,贝!J()

A.2~a>2~bB.a2b-ab1>a-b

C.a-b>3D.a1-b1>6

【答案】BCD

【详解】因为所以2a>2J故2一”<2-J故A错误；

c^b-ab1=ab^a-b)>a-b,故B正确；

ct—b=^y[a—y/b^^/a+=\[a+^/b=2>/b+1>3,故C正确；

a2-b2=(t7-Z?)(tz+Z?)>3x2=6,故D正确.

故选：BCD.

11.已知实数。，b满足Ovavb,则下列不等式一定正确的是()

A.2a~b<1B.tantz<tanZ?

aa+1—7iI7

C.—<------D.blna<alnb

bb+1

【答案】AC

【详解】选项A,由。VQVb得。一/?<0,/.2a~b<1，故A正确；

兀3元.

选项B,取〃=—,b=—,可得tana=l,tanZ?=-l,不满足tana<tanb,故B错误;

44

aQ+1_4伍+1)-人(〃+1)_a-b

1人,，bb+16伍+1)〃伍+1)，

a-bc

V0<a<b,所以a—Z?v0,b+l>0,故=伍+1)

,aa+1,,十.

・—<-—~，故C正确；

bb+1

选项D,设函数〃力=平，尤＞0,贝1」r（6=上詈

当兀£（e,中x））时，/（%）＜0,单调递减,

故evovb时，即电故。lnQ＞alnb,故D错误.

故选：AC

易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解

集问题）

三三

解一元二次不等式的步骤：

第一步：将二次项系数化为正数；

第二步：解相应的一元二次方程；

第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图;

第四步：写出不等式的解集.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出

错；③结果未按要求写成集合.

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

具体模型解题方案：

1、已知关于X的不等式依2+法+。＞0的解集为（形，〃）（其中〃加＞0）,解关于X的不等式

ex2+bx+a＞0■

由以2+bx+c>。的解集为（加，ri）,得：〃（一/+人—1_。>。的解集为（_,—）,即关于次的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集为d，-）.

nm

已知关于无的不等式or?+bx+c>0的解集为（加，几），解关于％的不等式ex?+fcc+a<0.

由以2+汝+C>0的解集为（机，〃），得:〃（一）2+Z?be〈。的解集为（—8,—]U[一，+00）即关于X的不等

xxnm

式小+加+心。的解集为（-8,-]U[—，+8）.

nm

2、已知关于无的不等式依2+云+°>0的解集为⑺，小（其中〃>相>o）,解关于％的不等式

ex2-bx+a>0-

由ox?+"+C>o的解集为（加，ri）,得:〃（一）2—人—1.。>。的解集为（---,）即关于％的不等式

xxmn

5?-法+Q>0的解集为（---，）.

mn

3.已知关于九的不等式依2+6x+c>0的解集为（机，〃），解关于尤的不等式"2一"+〃<0.

由以2+"+0>（）的解集为（加，"），得:a（一）2-/?HC<。的解集为（―8,---]U[--，+00）即关于X的

xxmn

不等式C%2—加一qK0的解集为（―8,---]U[，+8）,以此类推.

mn

>0

4、已知关于X的一元二次不等式+bx+c>0的解集为R，则一定满足

[A<0

则一定满足（a<0

5、已知关于X的一元二次不等式O?+bx+c>0的解集为6，

A<0

jq<0

6、已知关于X的一元二次不等式以2+Zzx+c<0的解集为R，则一定满足•

[A<0

则一定满足]a>0

7、已知关于X的一元二次不等式O?+Zzx+c<0的解集为0，

A<0'

易错提醒：一元二次不等式

一元二次不等式ox?+〃x+c>0（〃。0）,其中A=〃一4〃。，是方程a/+Zzx+c>0（a。0）的

两个根，且王<工2

（1）当。>0时，二次函数图象开口向上.

（2）①若A>0,解集为

②若△=（）,解集为］x|xeR且xw—③若A<0,解集为R.

（2）当。<0时，二次函数图象开口向下.

①若△>（）,解集为{x［不<x</}②若AKO，解集为0。

三9

例.若对于任意实数无，不等式（。-1）彳2-2（。-l）x-4<0恒成立，则实数。可能是（）

A.-2B.0C.-4D.1

【答案】ABD

【详解】当。=1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；

ftz—1<0

当awl时，要满足《，

［A<0

而A=4（Q-I）?+16（Q-1）=4（Q-l）（a+3）,

所以解得一3<a<l；

综上，实数〃的取值范围是（-3』；

所以对比选项得，实数〃可能是-2,0,1.故选：ABD.

变式L已知关于x的不等式加+法+。>0的解集为（—,_2）u（3,y）,则下列选项中正确的是（）

A.a<0B.不等式&r+c>0的解集是{x|x<d}

C.a+/?+c>0D.不等式cf一乐+0<0的解集为（-co,_：）u（；,+oo）

【答案】BD

【详解】不等式a/+/zx+c>o的解集为（-CO,-2）D（3,+OO）,贝!j-2,3是方程依2+法+c=。的根，且a>0,

hc

则——=1,—=一6,Q>0,即:=_〃,C=_6aM>0,A错误；

aa

不等式Z?x+c〉O化为一ar—6a>0,解得了<-6,即不等式Z?x+c〉O的解集是{%1%<-6},B正确；

a+b+c=—6a<0,C错误；

不等式ex?一"+〃<0化为一6办2+改+々v0,即6/-^-1>0,解得一;或%'

所以不等式。%2-云+。<0的解集为（-°0,-；）5；,+8）,D正确.

故选：BD

变式2.已知命题P：关于％的不等式d_2ox-a>0的解集为R,那么命题夕的一个必要不充分条件是（）

12

A.-l<a<——B.——<a<0

23

C.—D.a2—1

【答案】CD

【详解】命题小关于尤的不等式/一26-"0的解集为R,

贝必=4片+4a<0,解得一l<a<0

又(-1,0)[-1,0],(-1,0)[-1,4^),

故选：CD.

变式3.下列叙述不正确的是（）

A.2<2的解是

x2

B.“0是"7渡+7HX+1W0”的充要条件

C.已知xeR,贝是“以-1|<1"的必要不充分条件

D.函数〃尤）=/的最小值是2括-2

【答案】AD

【详解】选项A：工<2的解是无>1或无<。，故A不正确；

__fm>0、

选项B：由y+如+1得A=>一4机，皿2+n+i20恒成立贝或机=0,解得0<m<4,

m-4m<0

所以“0是"mx?+mx+120”的充要条件，故B正确;

选项C：由卜-1|<1得-l<x—1<1,解得0<x<2,所以“x>0”是“卜-1|<1"的必要不充分条件，故C正确;

选项D：由均值不等式得卜二二=2豆，当且仅当/+2=々；时等号成立，此

尤2+2'尤2+2x2+2

时X无实数解，所以〃尤）=«+三七的最小值大于26-2,故D不正确；故选：AD

1.已知加+bx+c>0的解集是（-2,3）,则下列说法正确的是（）

A.不等式Ci+bx+a<0的解集是

B-,+b的最小值是g

2b+4

c.若m一机〉的言有解,则m的取值范围是m<-1或机>2

D.当c=2时，/（x）=3ox2+6te,的值域是,则%-%的取值范围是[2,4]

【答案】ABD

【详解】因62+云+°>0的解集是（-2,3）,则-2,3是关于工的方程62+公+°=0的二根，且“<0,

hr

于是得一巳=1,上二一6,^b=-a,c=-6a,a<0,

aa

对于A,不等式ex?+6彳+“<0化为：6x?+无一1<0,解得一5V尤<3，A正确；

121214

对于B,b>Q,-----+b=--------+-(3Z?+4)——>2,

3b+43b+4333b+4333

I?12

当且仅当丁）=彳（3。+4）,即6时取“=”，B正确；

3b+433

____b+41

对于C,b>0,令Jb+3=t>6,则q~=，+-在才£（石,+8）上单调递增,

7b+3t

8+44Z7+4411「

即有馆>耳’因病一心K有解，则疗一心耳，解得"L1+而16或T心万1+1禁i+1访6'c

不正确；

对于D,当c=2时，b=-a=；,则/(x)=3办?+6a=-犬+2x=-(x-l)z+1,f=/(I)=1,

依题意，由/(x)=-3得，x=-l或x=3,因/(x)在[%,%]上的最小值为-3,

从而得％=T，14%<3或41,%=3,因此24“2-444,D正确.

故选：ABD

2.已知集合4={幻工<-2,或x>2},B={X|X2-2X-3>0},则AU5=()

A.(-oo,T]U(2,+<»)B.(-°o,l]J(2,-KO)

C.(-oo,-2)u[l,+oo)D.(T»,-2)[3,+<»)

【答案】A

【详解】由B={%|x2-2%-3=(x+1)(%-3)>0}={x|x<-la£x>3},

所以A8=(-^,-1]口(2,2).

故选：A

3.已知集合M=L-3X+240},23忙1<1}”则MuN=()

A.{*|。<无<2}B.{邓<x<3}

C.{x|x<2}D.{#43}

【答案】C

【详解】由f_3x+2V0,mi<x<2,所以“={尤|1<尤<2},

因为$1<1=3°，得x-l<0,所以N={x|x<l},

故A/°N={x|xW2}.

故选:C.

4.已知函数/(x)=f+依若不等式/⑺归2在xe[l,5]上恒成立，则满足要求的有序数对(。㈤有()

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】B

【详解】由题意若不等式|〃力归2在xe[l,5]上恒成立，

-2</(l)<2f-2<l+a+&<2,(l)

则必须满足一2W43)42,即-249+3a+b42,(2),

-2</(5)<2[-2<25+5a+&<2,(3)

由1_249+3a+642,；2)'两式相加得*8+2U<a=2,(4),

再由1一2<25+50+6<2)3［两式相力口得-4，：^+2”<，0一!。*“，一，,。)，

-24-5+642,(1)

结合(4),(5)两式可知。=-6,代入不等式组得，一24-9+b42,仅)，

-2<-5+Z?<2,(3)

解得6=7,

经检验，当a=-6,6=7时，/(x)=x2-6.x+7=(x-3)2-2,

有［〃x)L=/⑴="5)=2,"(切1nm=/'⑶=一2,满足|〃刈<2在》目1,5］上恒成立,

综上所述：满足要求的有序数对(“，切为：(-6,7),共一个.

故选：B.

5.设集合A={H(x+l)(x-4)<0},3={X|2%+〃<0},>AnB={x|-l<x<3},则”()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

【详解】A={xH〈尤<4},S=

VAr>B={x|—1<x<31,/.—=3,♦,.〃=—6,

故选：D.

6.若两个正实数x,y满足4x+y=2*,且不等式1+苏—根有解，则实数机的取值范围是（

A.—l<m<2B.机v—2或勿>1

C.-2<m<1D.加<一1或加>2

【答案】D

4rv12

【详解】根据题意，两个正实数X,y满足4尤+y=2个，变形可得丁+六=1,即丁+—=1,

2xy2xy2xy

贝口+』=[+2丫2+2]=1+且+221+2^11=2,

414人2%yj8xy\8xy

当且仅当4%=y=4时等号成立，贝卜+4的最小值为2,

若不等式工+4〈川-加有解，则4-相>2,可得用<-1或机>2,

4

即实数机的取值范围是（f,T）（2,+co）.

故选：D.

7.“不等式0^+2依_i<o恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A.—1KQV0B.C.—IVQWOD.-1<。<0

【答案】D

【详解】当〃=0时，—lvO恒成立，

fa<0,

当awO时，则L2/八，解得一1<。<0,

[4a+4a<0

综上所述，不等式办2+2G；_I<。恒成立时，-lva<0,

所以选项中“不等式ax2+2ax-l<0恒成立”的一个充分不必要条件是-l<a<Q.

故选：D.

8.已知当兀>0时，不等式：炉一如+16>0恒成立，则实数加的取值范围是（）

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+oo)

【答案】C

【详解】当x>0时，由％2一如+16>0得加<%+3，

X

因x>0,^x+—>2AL—=8,当且仅当％即x=4时等号成立，

X\XX

因当兀>。时，M<工+3恒成立，得根<8,

X

故选：C

9.已知集合A=｛x|a2-a<x<2,xwZ｝中恰有两个元素，则。的取值范围为()

A.[0,1]B.(0,1)C.(1,2)D,[1,2]

【答案】B

2

[详解]由集合4=｛尤|/_a<x<2,xeZ｝中恰有两个元素，^-l<a-a<0,

解得ae(0,1).

故选：B.

10.不等式炉+4元—2140的解集为()

A.(-CO,-7]U[3,-H»)B.[-7,3]

C.H，-3]u[7,y)D.[-3,7]

【答案】B

【详解】易知方程Y+4x—21=0可化为(x+7)(x—3)=。，方程的两根为国=一7,%=3；

所以不等式d+4x_21<0的解集为[-7,3].

故选:B.

11.若不等式212+"+0<0的解集是(0,4),函数/0)=2%2+a+。的对称轴是()

5c3

A.x=2B.x=4C.x=—D.x=一

22

【答案】A

【详解】解：•・・不等式2f+"+cv0的解集是(。,4),

**•%=0和％=4是方程2炉+Z?x+c=0的两个根，

b

：.——=0+4,,・・〃=—8,

2

b

，函数/（x）=2Y+foe+c的对称轴是x=—w=2.

故选：A.

易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问

题）

1.几个重要的不等式

（1）/>O（6Ze>0（<7>0）,|^|>O（tze/?）.

（2）基本不等式：如果〃1£氏+,则，痣（当且仅当“〃=。”时取"二”）.

特例：a>0,6/H—>2;—+—>2同号）.

aba

（3）其他变形：

①/2S+”）（沟通两和。+人与两平方和片+〃的不等关系式）

2

②abMcr+b'-（沟通两积ab与两平方和cr+b2的不等关系式）

2

③（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：即

ab

调和平均值<几何平均值<算数平均值<平方平均值（注意等号成立的条件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），则孙=*（当且仅当“x=y”时取即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果取=尸（定值），则x+y»2而=2介（当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：mx+—>24rnn（m>0,n>0）,当且仅当尤=J'■时等号成立；

xVm

模型二：mx+——=——-——\-ma>l4rrni+ma(m>0,n>0),当且仅当％-a=J，时等号成立；

x-ax-aVm

x11

模型三：办2+"+c=gW互二^("°，一°),当且仅当尤=E时等号成立；

X

模型四：一如)•("V竺了=£(机>0,”>0,0<x<‘)，当且仅当x=a时等号成

mm24mm2m

立.

易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突)

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如，=兀+幺(。>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解.

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面

的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足

使用基本不等式条件的可通过“变形，，来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个

数，“1”的代换法等.

三9

例.函数y=logaX+Q“7+2(。>0且awl)的图象恒过定点(%,b),若加+〃=/?一人且机>0,n>0,则？

mn

的最小值为()

95

A.9B.8C.—D.一

22

【答案】B

【详解】函数y=log“x+ai+2（a>0且"1）的图象恒过定点。,3）,所以〃叶〃=3-1=2,

2|<—+->|=（7?I+M）（—+-）=10+—+—>10+2-79=16,

n）mnmn

（）〃

「•239+—1216,.•.9二+1—28,当且仅当9丝TTI即〃=1二根=士3等号成立

\mnJmnmn22

故选：B.

变式1.已知a>0,6>0,2a+6=“6,则^^+上一的最小值为（）

a-1b-2

A.4B.6C.4A/2D.3+2忘

【答案】D

b

【详解】由。>0,0〉0,2Q+Z?=Q。，a=-~~->0,即Z?>2,易知Q>1,

b-2

所以用-+）-=用-+。=3+?-+。-123+2/二一（"1）=3+2夜，

a-1b-2a-1a-1\a-l

当且仅当。=返+1时等号成立，此时6=2+收，

所以乌■+1”的最小值为3+2a.

a-1b-2

故选：D

变式2.已知命题p：在，ABC中，若sinA>sinB,则Z>氏q：若a〉0,则（1+。）（1+工）N4,则下列命

a

题为真命题的是（）

A.p^qB.p八rc.nP△夕D.

【答案】A

【详解】命题p：在一ABC中，若sinA>sinB,由正弦定理得a>。，所以4>6，为真命题，

当〃〉0,对于（1++—]=2+aH—>2+2.a•—=4,当且仅当a=1时等号成立，

Va）aVa

所以命题q：若〃>0,则（1+。）（1+：）>4,为真命题，

所以〃A4为真命题，假命题，r7Aq假命题，力人^假命题，

故选：A.

变式3.设”。，,>0.加=必等±4则加有（）

A.最小值3B.最大值3

C.最小值D.最大值T+6^

【答案】B

【详角军】x>0,丁>。，故20孙=2%・&yK炉+2/，

故m=2"+叩？+V42Y+y：+工+2尸=3,当且仅当x=0y时成立,

x+yx+y

AD错误，B正确；

、［,八:1口』2x0.52+2A/2x0.5+121.5+V264K3r-「去珏、口

当％=0.5,y=l时，m=-------------------=----^―=—+—J2<—+,2,C错误.

0.25+11.25552

故选：B.

三9

.12

1.已知ABC,点。在线段BC上(不包括端点)，向量AD=xA8+yAC,一+一的最小值为()

尤y

A.2A/2B.20+2

C.20+3D.273+2

【答案】C

【详解】ABC,点。在线段8C上(不包括端点)，

故存在4,使得8D=/12C，即AD-AB=/L4C-九42，即AD=；L4C+(1-X)AB,

因为向量AO=xA8+yAC,所以y=4,x=l—2,

可得x+y=1,

x>0,y>0,由基本不等式得

-+-=^-+->1(%+^)=1+2+^+—>3+2口.生=2拒+3,

xyyxy)xyxy

当且仅当y=y/2x,即y=2-0,x=时等号成立.

故选：C.

2.已知正数次，〃满足加+2〃=3,则()

414132

A.—H丁的最小值为3B.—^