2025年高考数学二轮复习重难点专项突破：三次函数图像与性质（原卷版）

专题2-2三次函数图像与性质

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考

年甲卷(文),

2024中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见。

第题分

16,5考点内容：主要考查三次函数的图像特征(如中心对(1)理解三次函数的定义

称性、开口方向)、单调性(通过导数分析)、极值域、值域和图像特点。

2024年新高考I点(一阶导数为零的点)以及图像与性质的综合应用。(2)掌握三次函数的导数

卷，第10题,6分题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，与单调性关系。

涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体(3)判断三次函数的极值

问题。点及其个数。

2024年新高考II难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与(4)探究三次函数图像与x

卷，第11题,6分性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技轴的交点个数。

巧，难度可能略有提升。(5)熟练运用三次函数的

备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵对称中心性质。

2022年新高考I活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样

卷，第10题,5分性和综合应用能力的培养。

模块一热点题型解读(目录)

【题型1】求三次函数的解析式

【题型2】三次函数的单调性问题

【题型3】三次函数的图像

【题型4】三次函数的最值、极值问题

【题型5】三次函数的零点问题

【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题

【题型7】三次函数对称中心

【题型8】三次函数的切线问题

【题型9】三次函数根与系数的关系

模块二核心题型•举一反三(讲与练)

【题型11求三次函数的解析式

/核心•技巧/

(1)一般式：f[x)=axi+bx2-+cx+d(〃丰0)

(2)交点式：/(x)=a(x-^x-x^x-x^(〃羊0)

1.若三次函数外力满足/(。)=。"⑴=1,0(。)=3,4⑴=9,则〃3)=()

A.38B.171C.460D.965

【题型2】三次函数的单调性问题

核心•技巧

三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、

零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析：

1.三次函数的定义与形式

•定义：形如_/（x）=ax3+6x2+cx+d（其中“丰=0）的函数称为三次函数。

・形式：注意系数a,4c,d的作用，特别是。的正负决定了函数的开口方向（a>0开口向上，

a<0开口向下）。

2.函数的单调性

・导数应用：利用导数/（x）=3ax2+2bx+c判断函数的单调性。解不等式了（x）>0和7（x）<0得到函

数的单调递增和递减区间。

•极值点：导数等于o的点（y（x）=o）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小

值点。

2024•广东茂名市•一模

2.（多选）若/（x）=—3*3+；*2+2工+1是区间（机―1,加+4）上的单调函数，则实数用的值可

以是（）

A.-4B.-3C.3D.4

【巩固练习】三次函数=3r在（_QO,+QO）上是减函数，则加的取值范围是（）

A.m<0B.m<lC.m<0D.m£1

【题型3】三次函数的图像

当a>0时，x趋近于+co,则#尤）趋近于+co;x趋近于-oo,则力尤）趋近于-00。

当。<0时，x趋近于+oo,则/（尤）趋近于-oo；x趋近于-co,则段）趋近于+co。

又因为#尤）是连续的函数，且xWR,所以力的的值域为R。

由于三次函数的值域为R,则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个

根。

3.设awO,若。为函数〃%）=々（%-。）2（%-匕）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<alD.ab>a2

4.（2024•全国一卷真题）（多选）设函数“X）=（兀-1）2（%-4）,贝U（）

A.元=3是/（幻的极小值点B.当Ovxvl时，/（x）</（x2）

C.当lvxv2时，-4</（2x-l）<0D.当一1<%<0时，/（2-x）>/（x）

【巩固练习1】（多选题）（2024.湖北武汉•模拟预测）设函数尤）=；/-2/+2%,则下列结论正确

的是（）

A.存在实数%使得〃%）=尸（%）B.方程〃x）=3有唯一正实数解

C.方程/'（力=-1有唯一负实数解D./（力=1有负实数解

【巩固练习2】（2024•全国甲卷（文）真题）曲线y=d-3x与y=+。在（0,+8）上有两个不同

的交点，则。的取值范围为.

【题型4】三次函数的最值、极值问题

核心•技巧

三次函数的极值与最值

・极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）。

・最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局最

值。

5.已知三次函数/（无）=!"3+。/+尤+。无极值，且满足。+.V8,贝1]/一62=____.

3b

6.已知三次函数/）=：/一（4机―1）/+（15M2—2%—7）x+2在定义域R上无极值点，则他的取值

范围是（）

A.m<2或机>4B,加22或%V4

C.2<m<4D.2</n<4

【巩固练习1】己知三次函数/（%）=彳3+凉+cx+d,其导函数为了'⑺，存在fe（l,4）,满足

=/«）=/'⑺=0.记“X）的极大值为则M的取值范围是.

【巩固练习2】（2024.全国.模拟预测）已知三次函数〃司=2/+依2+6X+I的极小值点为人极大

值点为2b,则a+b等于（）

A.472B.-472

C.±4^/2D.±5A/2

【题型5】三次函数的零点问题

嬴、・赢7

三次方程/(X)=0的实根个数

设三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)

其导函数为二次函数:/■'(》)=3G?+2bx+c(a0),

(2)若从一3四＞0,且/(西)"(芍)＞。,则f(x)=。恰有一个实根；

(3)若庐—3ac＞0,且/(占)"(%)=0,则f(x)=。有两个不相等的实根；

(4)若片一3砒＞0,且/(%)"(2)＜0,则f(x)=0有三个不相等的实根.

说明:⑴⑵“X)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=/(%)与X轴只相交一次，即/(无)在R上为单

调函数(或两极值同号)，所以廿一3农40(或/一3呢＞0,且〃不)"(%)＞。);

(5)f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=/(x)与无轴有两个公共点且其中之一为切点，所

以廿一3改＞0,且/(西)"(%)=0；

(6)/(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线＞=/(无)与X轴有三个公共点，即/(X)有一个极

大值，一个极小值，且两极值异号.所以一3a＞0且/(西)"®*。.

7.(2023•全国•高考真题)函数/口)=/+如+2存在3个零点，则。的取值范围是()

A.(-℃,-2)B.(^»,-3)C.(T,T)D.(-3,0)

8.已知三次函数八%)有三个零点小巧，不，且在点(4/(动)处切线的斜率为匕1=123),则

111

—+——+——=

k]k2k3

9.已知加，〃，peR,若三次函数/(X)=X3+如2+m+P有三个零点〃，b,c,且满足

3111

/(-l)=f(l)<^,〃0)=/(2)>2,则上+；+上的取值范围是()

2abc

A.S'l)CI*］D.

【巩固练习1】已知三次函数的零点从小到大依次为优，0,2,其图象在尤=-1处的切线/经过

点(2,0),则加=()

B.-2

32

【巩固练习2】(2024•全国•一模)已知三次函数70)=%尤3+仿/+<?］戈+1,g(x)=a2%+b2x+c2x+d

(6的W0),且f(x)有三个零点.若三次函数p(x)=3/(x)+g(x)和q(x)=/(x)-g(x)均为R上的单调函

数，且这两个函数的导函数均有零点，则g(x)零点的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.2个或3个

【巩固练习3】已知…，晨d,为三次函数’其图象如图所示若y"(g(x))f

有9个零点,则m的取值范围是.

A

X

【巩固练习4］已知三次函数/(%)=、+"2一3/x+b(a>0)有两个零点，若方程尸"(创=。有四个

实数根，则实数。的范围为()

\[630

守'丁

【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题

10.（24-25高三上•云南•阶段练习）（多选）已知函数元）=V一3%+2,则（）

A.〃尤）有两个极值点

B.点（0,2）是曲线y=/（x）的对称中心

C.无）有三个零点

D.直线＞=0是曲线y=/（x）的一条切线

11.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=V+办2+bx+c下列结论中正确的是（）

A.若r（x0）=0,则X。是/（X）的极值点

B.3X0GR,使得〃X0）=0

C.若与是Ax）的极小值点，则f（x）在区间尤。）上单调递减

D.函数＞=/（x）的图象是中心对称图形

【巩固练习1】函数〃了卜加+苏+⑦+刈。,"c,deR）的图像如图所示，则a+6+c的取值范围

是.

【巩固练习2】（23-24高三・广东清远・期末）（多选）已知函数/（%）=，-3尤+4,xe[0,2],则下列选

项中正确的是（）

A.Ax）的值域为[2,6]

B./（X）在x=l处取得极小值为2

C.Ax）在[0,2]上是增函数

D.若方程/(x)=。有2个不同的根，则“e［2,4］

【巩固练习3】2024•金华联考模拟(多选题)已知函数/(x)=gx3-4尤+4(xe［0,3］),则()

A.函数AM在区间。2］上单调递减

B.函数Ax)在区间［0,3］上的最大值为1

C.函数/(%)在点(1,7(1))处的切线方程为y=-3x+1

D.若关于X的方程〃x)=a在区间［0,3］上有两解，则

【题型7】三次函数对称中心

核心•技巧

二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即/"(不)=0则(%,/(%))为函数/(%)的对称中心

bb

设三次函数/'(尤)=63+6/+cx+d(aw0),则对称中心是；(---，/(------))

3a3a

三次函数#x)的对称中心为(/，k),则/(r-x)+/(r+x)=2%

12.已知三次函数〃"=2/+加+6x+l的极小值点为6,极大值点为如贝然+人等于()

A.472B.一4应

C.±472D.±5^/2

13.人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数f(x)都有对称中心，其对称中心为(％,/(%))(其

中/"(尤0)=。).已知函数/(无)=尤3-3彳2+4%+5.若fO)=4,/(〃)=10,则〃/+〃=()

3.

A.1B.—C.2D.3

2

14.己知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点.若/(X)=X3-3X2+3X+1,则

15.(2024.全国2卷・高考真题)(多选)设函数/。)=2三-3尔+1,则()

A.当时，Ax)有三个零点

B.当a<0时，x=0是/（x）的极大值点

C.存在。，6,使得x=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在。，使得点。，/⑴）为曲线y=/（x）的对称中心

16.对于三次函数/（力=加+京+6+4（"0）,给出定义:尸（1是函数y=〃x）的导数,/ff（x）

是函数/（无）的导数，若方程/（力=0有实数解%,则称&,/（%））为函数y=的“拐点”.

某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”

749

就是对称中心.若函数〃尤）=；丁-尤2_12尤+一，则下列说法正确的是（）

36

137

A.〃x）的极大值为多

O

B./（x）有且仅有2个零点

C.点是〃尤）的对称中心

D.表卜《急1+4翥卜/噩］=4046

【巩固练习1】已知三次函数/（X）=X3+2X-1,若再+无2=。，则〃下）+〃马）=.

【巩固练习2】己知所有的三次函数〃"=加+加+9+/"0）的图象都有对称中心卜而

右函数y(x)=—x+3x,则，［20231+，］2023J［20231+4045V

2023厂

【巩固练习3】（2024.四川成都.模拟预测）（多选）已知函数/a）=V+x+l,则（）

A.Ax）有两个极值点

B.Ax）有一个零点

C•点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

【巩固练习4】（多选题）（2024•江苏•模拟预测）已知三次函数/5）=加+/+5-1,若函数

g（x）=/（-尤）+1的图象关于点（1,0）对称，且g（-2）<0,则（）

A.a<0B.g（无）有3个零点

C.7(%)的对称中心是(-1,0)D.12a—4Z?+cvO

【题型8】三次函数的切线问题

核心•技巧/

一般地，过三次函数f(无)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区

域，有以下结论：

(1)过区域I、IV内的点作/(X)的切线，有且仅有3条；

(2)过区域II、III内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条；

(3)过切线L或函数/(无)图象(除去对称中心)上的点作了(无)的切线，有且仅有2条.

17.已知函数/(尤)=加+加-3X(4,。€/?)在点(11(1))处的切线方程为了+2=0.若经过点

M(2,〃z)可以作出曲线y=/(x)的三条切线，则实数加的取值范围为.

18.(多选题)(2024•山西晋中•二模)对于三次函数/(力=加+凉+0：+1(<7H0),给出定义：设

/'(X)是函数y=/(x)的导数，尸⑺是函数((X)的导数，若方程/"(x)=0有实数解%,则称

(%,/(%))为函数y=/(x)的“拐点某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任

何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数〃X)=gx3一;尤2+尤+6色€口)，

则()

A.一定有两个极值点

B.函数y=/(x)在R上单调递增

C.过点(0⑼可以作曲线y=/(x)的2条切线

D.当6=，时，/——+/——+/——++/——=2022

12（2023）U023J（2023）（2023）

【巩固练习1】（2022•新高考一卷真题）（多选）已知函数/（刈=丁-x+1,则（）

A.f（x）有两个极值点B.f（x）有三个零点

C•点（0,1）是曲线y=/（尤）的对称中心D.直线y=2尤是曲线y=/（x）的切线

【巩固练习2］（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数

/（X）=（X-1）3-（U-Z7+1,则下列结论正确的是（）

A.当“=3时，若/（x）有三个零点，则b的取值范围为（-4,0）

B.若/⑴满足〃2-2=3-/⑴，则a+b=-i

C.若过点（2,〃。可作出曲线8（%）=〃耳-3%+依+/的三条切线，则-5<-4

D.若/（尤）存在极值点%,且〃占），其中七片网，则%+2%=3

【巩固练习3】（多选题）下列关于三次函数〃力=加+凉+5+1（4工0乂左©2叙述正确的是（）

A.函数的图象一定是中心对称图形

B.函数/⑴可能只有一个极值点

C.当无时，/（X）在尤=不处的切线与函数y=/（x）的图象有且仅有两个交点

D.当天/-9时，则过点卜。,/（5））的切线可能有一条或者三条

【题型9】三次函数根与系数的关系

/核心•技巧/

三次函数根与系数关系：对于/（%）=♦+加+c%+d,若/（%）=♦有3个交点工1，%2，兀3，则

方程办3+乐2+5+2=/可以写为4（%一%）（%一％2）（%一%）=。，

2XXX

展开后得以3_Q(%]++X3)X+〃(玉]2+玉%3+23)~〃%1工2工3=0