2025年高考数学第一轮复习：平面向量的数量积（学生版+解析）

第02讲平面向量的数量积

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

数量积的运算律

2024年新II卷,第3题,5分已知数量积求模模长的相关计算

垂直关系的向量表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示

利用向量垂直求参数

2023年新II卷,第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算

2022年新H卷，第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

坐标计算向量的模

2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15题,5分数量积的运算律无

2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分

【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积

2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角

4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学

和实际问题中的作用

5会用数量积解决向量中的最值及范围问题

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理

解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1.平面向量的数量积

设两个非零向量。，〃的夹角为仇记作(词，且Oe[O/]

定义二

则数量MMIcos6叫做a与b的数量积,记作ab

|a|cos3叫做向量a在8方向上的投影，

投影

|Z»|cos6叫做向量8在a方向上的投影

几何

数量积ab等于a的长度⑷与8在a的方向上的投影版|cos0的乘积

意义

2.向量数量积的运算律

(l)ab=b・a.

(2)(%)•办=2(。乃)=。•(劝).

(3)(〃+方)c=ac+办c.

3.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,*),a与8的夹角为夕

结论几何表示坐标表示

数量积⑷步|cos（叫a-b=xix2-\-yiy2

模\a\=y[a^a|a|=..+.

ab—+yiy2

aCS

夹角COSu—IIIJI°4?+.々3+次

1ali例

a±b的充要条件ab=0xix2-\-yiy2=0

|a创与同|臼的关系M•臼W|a|一\x1x2-\-y1y2\Wy]（%?+货）（遇+次）

1.数量积运算律要准确理解、应用，

例如，a0=a-c(a#O)不能得出Z>=c,两边不能约去一个向量.

2.a・A=O不能推出a=0或办=0,因为很。=0时，有可能a_LA.

3.在用⑷=而求向量的模时，一定要先求出，再进行开方.

考点一、求平面向量的数量积

典例引领

（2022・全国,图考真题）已知向量满足|a|=1,|）|=。-261=3,贝！Ja%=

A.-2

2.（2024•山东潍坊•三模）已知向量a=（l,2）,b=（4,—2）,c=（l㈤，若。（2。+6）=0,则实数2=

3.（2021,全国可考真题）已知向量a+6+c=0，"=1，忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=-

4.（2024•全国•模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC中，点E为中线3。的三等分点（靠近点B）,

点尸为BC的中点，则FE/8=（）

1.（2023•全国•高考真题）正方形ABC。的边长是2,E是A3的中点，则石。矶）=（

A.75C.26

2.（2024,黑龙江•二模）已知向量。=。,帆），b=（n,6）,若6=3a，贝!1"力=.

3.（2022•全国•高考真题）设向量°,6的夹角的余弦值为g,且口=1,1|=3,贝1］仅4+6）/=.

4.（2024•河北衡水•模拟预测）在中，N2AC=60，kq=6，kc|=3,AM=2"B,CN=7W,则AN-C2=

A.-9D.18

考点二、辨析数量积的运算律

典例引领

1.（2021•浙江•高考真题）已知非零向量a,b,c,则"a.c=c"是"。=b"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2.（湖北•高考真题）已知a,6,c为非零的平面向量.甲：a-b=a-c,乙:5=c，贝U（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.（上海•高考真题）若°,b，c均为任意向量，机eR,则下列等式不一定成立的是（）

A.{a+b）+c=a+{b+c）B.{a+b）-c=a-c+b-c

C.m（a+b）=ma+mbD.（a•b）c=a（b-c）

4.（2023•全国，模拟预测）设a也c是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（

A.B.

C.与％垂直D.||a|-|z?||<|a-Z?|

5.（22-23高三上•江苏扬州•开学考试）（多选）关于平面向量6,c,下列说法不正确的是（）

A.若a,c=b，贝=b

B.（〃+0）•（:=Q.c+万

C.若a2=b?,则Q.c=b.c

D.（a•b）•0=（b••a

考点三、模长综合计算

典例引领

1.（2022•全国,高考真题）已知向量。=（2,1）0=（-2,4）,则1-耳（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024•全国•高考真题）已知向量°,6满足口=1,卜+2*2,且仅-2a），6,则忖=（）

A.|B.—C.3D.1

222

3.（2024•广东肇庆•模拟预测）己知是单位向量，且它们的夹角是60.若a=q+2e2，b=几6-e；,且

\a\=\b\,贝lM=（）

A.2B.-2C.2或一3D.3或-2

4.（2024高三下■全国•专题练习）已知向量。=（-1,2）,向量b满足卜-0=26\且cos〈a,b〉=咚，则|b|=（）

A.非B.5C.710D.25

1.（2024•陕西榆林•二模）若向量4=。%,7找-1）,6=（夜秋,3）,|＜7|=|。|,则冽=（）

A.-4B.-3C.-20D.-2

2.（2024•陕西西安•模拟预测）已知向量£=（“〃），M?GR,6=（0,2）,则卜+b|的最小值为.

3.（2024•广西柳州•模拟预测）已知向量0与6的夹角为60。，且4=（1,⑹，忖=1,贝巾一2同=（）.

A.不B.75C.4D.2

4.（2024・湖南长沙•三模）平面向量a,b,c满足：a±c,且同=卜卜3,忖=2,

贝ijL+z?+c|=_.

考点四、夹角综合计算

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）已知向量a=（3,l）,〃=（2,2）,贝！Jcos（〃+b,a-b）=（）

A-B.姮C.@D.至

171755

2.（2023•全国•高考真题）已知向量。也c满足同=忖=1,同=0,且Q+Z?+C=0,则cos〈a—c,A—c〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

3.（2022•全国•高考真题）已知向量〃=（3,4）,〃=（1,0）,。=。+仍，若＜〃,。＞=＜瓦。＞,则，=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4（2023•河南郑州•模拟预测）已知向量。=（百,1）,。=（根-1,3）,若向量〃，人的夹角为锐角，则实数加的

取值范围为（）

A.(1-后+8)B.^1+3^3,4-coj

C.(1-近1+3百)(1+373,+oo)D.(l+/l+3石)(1+3"+oo)

1.（2024・山东日照•三模）已知〃和人是两个单位向量，若卜力）=三，则向量〃与向量”―匕的夹角为（）

7171兀2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

2.（2024•广东江门•二模）设向量。4=（1,尤）,03=（2,无），则cos〈OA,OB〉的最小值为.

3.（2024•河北•模拟预测）平面四边形A3CD中，点反尸分别为AD,BC的中点，|。|=2|钿|=8,怛产|=5,

则cos(A2,£)C)=()

4.(2024•上海,模拟预测)已知向量d,b,c满足向==1,同=0,且a+b+c=0,贝!Jcos(a-c,6-c)=

考点五、垂直综合计算

典例引领

I__________________

1.(2024•全国•高考真题)设向量2=(x+l,x)出=(苑2),则()

A."x=-3"是"a_L6"的必要条件B."x=-3"是的必要条件

C."x=0"是"66"的充分条件D.“x=T+石"是"a//6"的充分条件

2.(2024•全国•高考真题)已知向量。=(0,1),6=(2,x),若/(方-44),则工=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(2023•全国•高考真题)已知向量a=(l,1),6=(1,-1),若(a+树，,+闻，则()

A.%+//=1B.%+4=-1

C.加=1D.%〃=-1

1.（2024・广西•三模）已知向量a=（-l,3）M，b,那么向量b可以是（）

A.（1,3）B.[C.（3,-1）D.（3,1）

2.（2024•浙江台州・二模）已知平面向量展=（2,1）,U（-2,4）,若（2〃+。）“猫叫，则实数人（）

A.-1B.-2C.1D.2

3.（2023•浙江宁波•一模）若是夹角为60°的两个单位向量，/la+Z?与-3a+2Z?垂直，则4=（

4.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知向量。=（2j）,b=（1,2）,若当£=%时，Q1=问•忖，当，=时，alb，

贝IJ（）

A.%=-4,^=-1B.%=-4,J=1

C.「4,12=-1D.。=4,J=1

考点六、求投影向量

典例引领

1.（2024•山东青岛•二模）已知向量方=（-1,2）,6=（—3,1）,则a在b上的投影向量为（）

311下2小、（3M丽）

A.(-包)B.(--,1)丁FD.

2.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量a/满足同=2,6=（3,0）,卜-小师，则向量“在向量B方向

上的投影向量为（）

A.［川B.C.［别D.（1,0）

3.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）已知平面向量4与。满足：a在〃方向上的投影向量为,6在d方向上

4

的投影向量为a,且|4=2,则忖=（）

A.小B.2C.D.4

ABAC1ABAC1

4.（2024•湖南长沙•模拟预测）已知非零向量AB与AC满足rn+i一IBC=0,且则向

〔网|呵\AB\|ACI2

量C4在向量C3上的投影向量为（）

3131

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

2222

1.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知e是单位向量，且|2e-4=a+2e在e上的投影向量为5e,则〃

与©的夹角为（

2.（2024•浙江绍兴•三模）若非零向量a,b满足同=忖=,+可，则。+26在6方向上的投影向量为（）

31r

A.2bB.—bC.bD.—b

22

3.（2024•全国•模拟预测）已知向量。=（2,m），/?=（〃/），c=（m+l,-l）,若a_Lb，bile，贝Ub在a+c上

的投影向量为（）

4.（2024•新疆喀什・二模）在直角梯形ABC。中，4）//8。且5。=24）,46，旬,4?与&）交于点0,则向

量50在向量胡上的投影向量为（）

11?3

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

5.（2024•山东荷泽•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，0A=（1,指），点B在直线x+也y-2=0上，则

在OA上的投影向量为（）

fl回

A.小⑹B.(1,3)HR

考点七、数量积范围的综合问题

典例引领

1.（湖南•高考真题）设db均是非零向量，且忖=2愀，若关于x的方程/+卜卜+。2=0有实根，则°与万

的夹角的取值范围为（）

71712兀71

A.B.3,71C.D.

0

2.（2022•北京•高考真题）在，ABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P为ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则的取值范围是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2023•全国•高考真题）已知O的半径为1,直线B4与CO相切于点4直线PB与。交于2,C两点,

。为BC的中点，若「。|=0,则P4PD的最大值为（

A.21+2近

B.

22

C.1+V2D.2+72

己知同=问=（）（）则卜-的取值范围是（）

4.（2024IWJ二•全国・专题练习）W=2,1,a-c-b-c=0,N

近-1近+1

A.[V6-1,V6+1]

2'2

-s/6-1y[6+1

C.[T7-1,A/7+1]

1.（2024・河北唐山•二模）已知圆C：X2+（J；-3）2=4,过点（0,4）的直线/与无轴交于点尸，与圆C交于A,

3两点，则CP（C4+C8）的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

2.（2024•天津河北•一模）ABC是等腰直角三角形，其中A3,AC』=尸是,ABC所在平面内的一点,

若CP=XCA+〃C8（2>0,//>0>2+2//=2）,则以在门上的投影向量的长度的取值范围是（）

3.（2024•全国•模拟预测）已知a,b,c为单位向量，且13a-5司=7,贝力2a-c|+|b-2d的最小值为（）

A.2B.26C.4D.6

22

4.（2024・山东日照•一模）过双曲线上—匕=1的右支上一点尸，分别向G：（%+4）2+/=3和

412

6：（%-4>+y2=i作切线，切点分别为"，N,贝（）（尸加+9）・碗的最小值为（）

A.28B.29C.30D.32

『I好题冲关

一、单选题

1.(2024•重庆•三模)已知向量a=(3,1),6=(-2,x),若a，(a+b),则18|=()

A.2B.3C.2A/5D.

3

2.（2024•北京大兴•三模）已知平面向量a=（l,〃z）,b=（2,-2m）,则下列结论一定错误的是（）

l

A.allbB.aLbC.W=2忖D.a-b=（l,-3m）

3.（2024•黑龙江•模拟预测）已知向量|a|=3,|a-6=|。+26|,则|2+加=（）

A.gB.2C.6D.3

4.（2024・湖南•模拟预测）已知平面向量a=（-l,2）,6=（3,4）,则°在》上的投影向量为（）

5.（2024・陕西安康•模拟预测）已知向量为单位向量，|c|=唐且a+6+c=0，则a与b的夹角为（）

6.（2024•陕西安康,模拟预测）若平面向量满足时=0料=1,卜+川=百，则向量。力夹角的余弦值为

7.（2024,江苏泰州•模拟预测）在平行四边形ABCD中A=45,AB=1,AD=0,若4尸=AB+xAD（xeR）,则

网的最小值为（）

A—B.专

C.1D.0

二、填空题

8.（2024•陕西・模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若。是正八边形ABCOEFGH的中心，=1,

则ACCO.

9.（2024•四川内江•模拟预测）已知向量2=（-4,附,6=（1,-2）满足（0-26），》，则机的值为.

10.（2024・重庆三模）已知正方形ABC。，边长为1,点E是8c边上一点，若BE=2CE,贝！］AE.CE=.

一、单选题

1.（2024・福建泉州•模拟预测）若平面向量a,b满足卜卜W,且，=g时，口-H取得最小值，则@6）=（）

2.（2024・天津北辰•三模）在ABC中，=。为，ABC外心，且AO.AC=1，则，ABC的最大值

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.（2024•四川内江•模拟预测）曲线C的方程为y2=4x,直线/与抛物线C交于A,8两点.设甲：直线/与

过点（1，。）；乙：OAOB=-3（。为坐标原点），则（）

A.甲是乙的必要不充分条件B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

4.（2024•四川成都•模拟预测）设向量6满足（a-+且2同=3,卜0,则cos<a/>=（）

1313

A.—B.—C.—D.—

6868

5.（2024•陕西铜川•模拟预测）在ABC中，BABC=-BC,^a=-AB+-AC,b=-AB+-AC,

23344

25

c=-AB+-AC,贝！|（）

77

A.码>间>同B.|i|>|a|>|?|C.|d|>|c|>|z?|D.同>同>网

6.（2024•四川成都•三模）在矩形A3CD中，AB=5,AO=4,点E满足2AE=3EB,在平面ABCD中，动

点尸满足尸E•尸8=0，则DP-A3的最大值为（）

A.我+4B.741-6C.2而+4D.2713-6

二、多选题

7.（2024・浙江,模拟预测）已知向量a,b的夹角为三，且同=1,忖=2,贝I］（）

A.(a-b^LaB.|d+/?|=V7

在的方向上的投影向量为

C.|24+,=网D.ab36

4

8.（2024•新疆•三模）已知点0（0,0）,A（2,l）,8（1,2）,尸（cosa,sina）（OWa<2;i）,则下列结论正确的是

兀_3兀

A.若"=3，则B.若M//OP，则”彳

124

C.若A30P=——，sin2a=—D.的最大值为6+1

525

9.（2024•广东江门•三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，*扇联|山，心［〉，其中〈。,力表示的

夹角，则对于两个非零平面向量3,6,下列结论一定成立的有（）

A.“在b上的投影向量为|a|sin〈a,»-2

\b\

B.斜力了+而办/口加

C.X(Q*8)=(2a)*办

D.若〃*Z?=0,则allb

三、填空题_

10.（2024•天津河东•二模）如图所示，正方形ABC。的边长为历，正方形EFGH边长为1,则AE-AG的

值为.若在线段上有一一个动点M,则ME.MG的最小值为.

1.（2024•北京•高考真题）设a,b是向量，贝广（。+6｝（"6）=0"是"。=_6或a=b"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024・天津・高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段。的三等分点，

1uuruuruufl

CE=-DE,BE=ABA+^BC,则彳+〃=；/为线段BE上的动点，G为AF中点，则A尸.OG的最小值

为.

3.(2023•天津・局|考真题)在dABC中，BC=1,NA=60,4。=/24仇。石=5。£),记245=〃,4。=/2，用Q,Z?

表示AE=;若BF=3BC,则A/的最大值为.

4.（2023•全国•高考真题）已知向量〃，力满足,一司=6,k+司=卜〃一W,则忖=

5.（2023•北京•高考真题）已知向量4,6满足。+>=（2,3）,。-6=（-2,1）,则|〃|2一|切2=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022•全国,高考真题）已知向量。=（九3）,。=（1,机+1）.若0，人贝打”=.

7.（2022•全国•高考真题）设向量°,6的夹角的余弦值为g,且忖=1,1|=3,贝l］（2a+6）・6=

8.（2022•全国•高考真题）已知向量之6满足|a|=l,g|=g,|a-2/=3,则°力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（2022・天津•高考真题）在ABC中，C4=a,C5=。，。是AC中点，C5=23石，试用表示O石为

若AB工DE，则/ACB的最大值为

10.（2021•全国•高考真题）已知向量Q=（1,3）,〃=（3,4）,若（a_L〃，则2=.

11.（2021•全国•高考真题）若向量4,6满足卜卜3,卜一0=5,〃・。=1,则网=.

12.（2021•全国•高考真题）已知向量a=（3,l）,b=（l,0）,c=a+H?.若〃_Lc，贝!!左=

13.（2021•浙江•JWJ考真题）已知非零向量〃，反则"a.c=〃.c"是"a=心"的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

14.（2021•天津•高考真题）在边长为1的等边三角形A5C中，。为线段5C上的动点，且交A3

于点E.。尸〃且交AC于点尸,则|25月+OF|的值为；的最小值为.

15.（2021•全国司考真题）已知向量a+0+c=0，忖=1，"二=2,a-b+b-c+c-a—-

16.（2021•浙江•高考真题）已知平面向量〃）,（?,（°力0）满足卜|=1刎=2,〃・〃=0,（4-6卜。=。.记向量1在。*

方向上的投影分别为％,乃d-4在c方向上的投影为z,则V+y2+z2的最小值为.

17.（2021•全国•高考真题）（多选）已知。为坐标原点，点《（cosa,sina）,鸟（cos⑸-sin/?）,

4（cos（a+/?）,sin（a+£））,A（l,0）,则（）

A.|。耳=|网B.\AP］=\AP2\

C.OXOP^=OPxOP2D.OAOP^OP^OPi

18.（2020•全国•高考真题）设向量a=（1,-1）,万=（m+1,2根-4）,若］_LZ>,则机=.

19.（2020•全国•高考真题）设〃力为单位向量，且|〃+切=1,贝!J|a-口=.

20.（2020•全国•高考真题）已知单位向量〃，匕的夹角为60。，则在下列向量中，与匕垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a-b

21.（2020・北京•高考真题）已知正方形ABC。的边长为2,点P满足AP=g（A5+AC）,则|尸。|=：

PBPD=

22.（2020・浙江・高考真题）设c,02为单位向量，满足|2q-e2|v0,a=ex+e2,b=3q+e；,设°,b的

夹角为。，则cos?。的最小值为.

23.（2020・山东•高考真题）己知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

24.(2020•全国•高考真题)已知向量a,6满足|a|=5,\b\=6,d-b=-6>贝1kos<a,a+b>=()

31-19-17-19

AA.——B.——C.—D.——

35353535

3

25.(2020・天津•高考真题)如图，在四边形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC^6,S.AD=ABC,ADAB=——,

2

则实数4的值为，若KN是线段2c上的动点，且|MN|=1,则O0.DN的最小值为.

第02讲平面向量的数量积

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

数量积的运算律

2024年新II卷，第3题,5分已知数量积求模模长的相关计算

垂直关系的向量表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示

利用向量垂直求参数

2023年新II卷，第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算

2022年新II卷，第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

坐标计算向量的模

2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2021年新H卷，第15题,5分数量积的运算律无

2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分

【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积

2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角

4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学

和实际问题中的作用

5会用数量积解决向量中的最值及范围问题

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理

解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1.平面向量的数量积

设两个非零向量a,方的夹角为仇记作(叫，且Je[o，T

定义

则数量MMIcos3叫做a与b的数量积，记作ab

|a|cos6叫做向量a在万方向上的投影，

投影

|Z>|cos6叫做向量〃在a方向上的投影

几何

数量积ab等于a的长度⑷与8在a的方向上的投影版|cos0的乘积

意义

3.向量数量积的运算律

(2)(4。)•办=%>》)=a•(劝).

(3)(a+》)c=ac+"c.

3.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi,yi),8=(x2,>2),a与1的夹角为夕

结论几何表示坐标表示

数量积|a||Z>|cos（叫a-b=xiX2+yiy2

模\u\=7|a户.%?+完

_ab%1.2+11月

夹角COSu—IiiiiC°S山?+.々二+贡

a±b的充要条件ab=0xix2~\-y\y2=0

|a•臼与|a||臼的关系|a创W|aM|\x1x2-\-y1y2\（%?+丁彳）（送十支）

2.数量积运算律要准确理解、应用，

例如，a^=a-c(aWO)不能得出8=c,两边不能约去一个向量.

2.a仍=0不能推出a=0或8=0,因为a仍=0时，有可能a_LZ>.

3.在用⑷=诉求向量的模时，一定要先求出解再进行开方.

考点一、求平面向量的数量积

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)已知向量°力满足|a|=l,|b|=6,|a-2b|=3,则1%=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：回|。一2切2=|°|2-44力+4网2,

又即。|=1,闻=后|。-26|=3,

09=l-4fl-&+4x3=13-4a-Z?，

团〃力=1

故选：C.

2.(2024•山东潍坊•三模)已知向量a=(l,2),b=(4,-2),c=(l,X),若c(2a+6)=0,则实数2=

【答案】-3

【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.

【详解】2办)=(2,4)+(4,-2)=(6,2),

c(2a+6)=(l">(6,2)=6+22=0,

解得4=-3.

故答案为：-3

3.(2021•全国考真题)已知向量〃+b+c=0，=1，"=k|=2,a-b+b-c+c-a=.

9

【答案】-耳

【分析】由已知可得(〃+b+c『=0,展开化简后可得结果.

【详角军】由已知可得(Q+0+c)=J+//+J+2(Q.b+b.0+c.Q)=9+2(a./?+b.c+c.Q)=0,

————9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

a

故答案为：-彳.

4.（2024•全国•模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC中，点E为中线3。的三等分点（靠近点B）,

点厂为BC的中点，则（）

【答案】D

【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.

【详解】由已知有18Al=2,|BC|=2,ZABC=60°,

所以BABC=|BA||8C|COS/ABC=2X2XL=2.

2

已知。是AC的中点，则3。=」（胡+20，BE='BD=L（BA+BC）,BF=FC=LBC,

2362

所以尸£=防-8/=」（胡+36-』"」班-！8。，

6263

RllJFEFB=|-BA--BC||--BC|=-—BABC+-BC2=--x2+-x4=-.

（63八2J1261262

故选：D.

1.（2023•全国•高考真题）正方形ABC。的边长是2,E是的中点，则石（：矶）=（）

A.小B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【分析】方法一：以为基底向量表示EC,即，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知/4=/。|=2,45乂。=。，

umuurumiuunuumuunuiruumiuunuum

则EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

22

mmUUBI（iuuauumA（iuuauumAiuun?uum2

所以EC・ED=5A5+AO]—2A