第10讲 直线与圆的位置关系（十三大题型）（解析版）

第10讲直线与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数的直线与圆的位置关系题型二：含参数的直线与圆的位置关系题型三：由直线与圆的位置关系求参数题型四：求直线与圆的交点坐标题型五：求过圆上一点的切线方程题型六：求过圆外一点的切线方程题型七：求切线长题型八：已知切线求参数题型九：求弦长问题题型十：已知弦长求参数题型十一：切点弦问题题型十二：最值问题题型十三：三角形面积问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．知识点二：圆的切线方程的求法1、点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．【典例例题】题型一：不含参数的直线与圆的位置关系【例1】（2023·新疆喀什·高二校考期末）直线与圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交但直线过圆心C．相交但直线不过圆心 D．相离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，故圆心到直线的距离为，且圆心不在直线上，所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心.故选：C.【对点训练1】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【答案】A【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则直线与圆相交.故选：A.题型二：含参数的直线与圆的位置关系【例2】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】C【解析】由直线得，令，得，故直线恒过点，又，即点在圆内，故直线与圆的位置关系为相交.故选：C.【对点训练2】（2023·安徽亳州·高二统考开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交【答案】C【解析】因为，所以，即直线恒过定点；因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.故选：C.【对点训练3】（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：与圆C：的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关【答案】A【解析】∵直线l的方程为，即，∴直线l恒过定点，∵，即该定点在圆C：内，∴直线l与圆C相交．故选：A．题型三：由直线与圆的位置关系求参数【例3】（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.联立，解得或，所以直线与有两个交点.所以直线与曲线的交点个数为2个.故选：B【对点训练4】（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】B【解析】因为化为标准方程为，所以圆心，圆的半径，又因为圆心C到直线的距离为，所以，所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.故选：B.【对点训练5】（2023·高二单元测试）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】因为圆的圆心为，半径为，则点到直线的距离大于，，即或；故选：A.题型四：求直线与圆的交点坐标【例4】（2023·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得，即，解得或，故方程组的解为或.故选：C【对点训练6】（2023·高二课时练习）给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】圆心到直线的距离为等于半径，故①满足题意．联立方程，整理得，．△，故②不满足题意．联立方程．整理得，．△，故③满足题意．联立方程，整理得，，△．故④满足题意．故选：D．题型五：求过圆上一点的切线方程【例5】（2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.【答案】【解析】圆的圆心，∵，则点在圆上，即点为切点，则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，故切线的方程，即.故答案为：.【对点训练7】（2023·云南昆明·高二统考期末）圆在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】设圆的圆心，点将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，所以切线斜率，切线方程为，即.故答案为：【对点训练8】（2023·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）圆的过点的切线方程为___________.【答案】【解析】圆心，因为，所以在圆上，则直线与切线垂直，,所以切线的斜率为，由点斜式整理得，故答案为:.题型六：求过圆外一点的切线方程【例6】（2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为_________________．【答案】或【解析】当切线的斜率不存在时，切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意，当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即，∵圆心到直线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程为，综上所述，切线方程为或．故答案为：或．【对点训练9】（2023·高二单元测试）经过点作圆的切线，则切线的方程为_______.【答案】或【解析】圆的半径为，圆心为，当切线的斜率不存在时，方程，与圆不相切，所以切线的斜率存在，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得或，所以切线的方程为或.故答案为：或.【对点训练10】（2023·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）过点做圆的切线l，则l的方程为________．【答案】或【解析】由题可得圆C：.当切线l斜率不存在时，由l到圆心距离为1且过，则满足题意；当切线l斜率存在时，设，因l到圆心距离为1，则，故此时l方程为：.综上，切线l的方程为或.故答案为：或.题型七：求切线长【例7】（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.【答案】【解析】圆的圆心为，在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．在中，．要使最小，则应最小．又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为．

故答案为：.【对点训练11】（2023·上海杨浦·高二校考期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．【答案】【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，圆的圆心为，半径为，则，当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，所以，，即切线长的最小值为.故答案为：.【对点训练12】（2023·河北邢台·高二统考期中）过点作圆的一条切线，切点为，则___________.【答案】【解析】由圆的方程知：圆心，半径，，.故答案为：.【对点训练13】（2023·四川绵阳·高二校考期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________．【答案】【解析】，即，圆心为，半径，，即最小时，面积最小.，故四边形面积的最小值为.故答案为：题型八：已知切线求参数【例8】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．【答案】或【解析】因为曲线，所以，解得，，曲线可化为，两边同时平方有：，即，所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分，而直线，所以是斜率为1的直线，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得：，当直线过时，即，解得：，由图象可知，当直线与圆相切时：，解得或，而即为在轴上的截距，由图象可知，综上：或.故答案为：或【对点训练14】（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考期中）若A为射线上的动点，B为x轴正半轴上的动点．若直线AB与圆相切，则的最小值为________．【答案】/【解析】设，则直线AB的方程为，整理得．因为直线AB与圆相切，所以，化简得，利用基本不等式得，即，从而得，当，即时，|AB|的最小值是．故答案为：【对点训练15】（2023·高二单元测试）已知圆与直线相切，则___________.【答案】【解析】，圆的圆心为(2，－2)，半径r＝1，∵圆和直线相切，∴.故答案为：.【对点训练16】（2023·福建漳州·高二校联考期中）已知过点的直线与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为___________.【答案】【解析】当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，不相切，舍去当斜率存在时，设直线为，则由，解得：，又与直线垂直，所以，解得：故答案为：题型九：求弦长问题【例9】（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）若直线与圆相交于两点，则弦的长为______．【答案】【解析】由圆的方程得：圆心为，半径，圆心到直线的距离，.故答案为：.【对点训练17】（2023·山东菏泽·高二统考期末）以点为圆心，3为半径的圆与直线相交于A，B两点，则的取值范围为________.【答案】【解析】对于直线l：有，令，解得，所以直线l过定点，又当时，不存在，所以直线l不过圆心，，所以点Q在圆P内，当是A，B的中点时，最短，又圆的直径为6，.故答案为：.【对点训练18】（2023·高二课时练习）直线：被圆截得的弦长是______．【答案】【解析】圆，即圆，圆心为，半径为，直线过圆心，故弦长为.故答案为：【对点训练19】（2023·湖南永州·高二统考期末）已知直线与圆交于，两点，则__________．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以.故答案为：【对点训练20】（2023·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，则直线l的方程为______.【答案】或．【解析】圆的圆心为，半径，当直线的斜率不存在时，直线方程为，联立，得或，直线被圆所截得的弦长为8，成立；当直线的斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离，过点的直线被圆所截得的弦长为8，由勾股定理，得，即，解得，直线，整理，得．综上直线的方程为或．故答案为：或．题型十：已知弦长求参数【例10】（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）设直线与圆相交所得弦长为，则_____【答案】0【解析】依题意，圆心到直线的距离，由圆的弦长公式：，可得，解得.故答案为：0【对点训练21】（2023·高二单元测试）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是________.【答案】【解析】将圆的方程整理成标准方程得，则圆心的坐标为，，所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线垂直时，弦最短，此时所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：【对点训练22】（2023·高二课时练习）直线截圆所得弦长为2，则的最小值为______．【答案】【解析】由题意知圆的圆心为，半径为1，因为直线截圆所得弦长为2，所以直线经过圆心，即，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.故答案为：6．题型十一：切点弦问题【例11】（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．【答案】【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：【对点训练23】（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．【答案】/【解析】圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，所以，所以的最小值为故答案为：【对点训练24】（2023·江苏·高二专题练习）过直线l：上任一点P向圆C：作两条切线，切点分别为A、B两点，线段AB的中点为Q，则点Q的轨迹方程为________________【答案】【解析】依题意，设点，则直线AB的方程为，注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是，又因为直线AB的方程为，即，则直线与的交点，又因为，则点Q的轨迹是以ON为直径的圆除去原点，其中该圆的圆心坐标为，半径是，过点Q的轨迹方程为．故答案为：【对点训练25】（2023·高二单元测试）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】【解析】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线.故答案为：.【对点训练26】（2023·高二校考单元测试）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=________．【答案】4【解析】连接，，，，设与相交于点，易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为，中，有，即，∵圆心O到直线的距离的最大值为，则的最小值为，依题意，知的最小值为点到直线的距离，∴，即，∵，∴.故答案为：4.题型十二：最值问题【例12】（2023·山东聊城·高二校考期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，(1)求圆的方程.(2)点在圆上，求的最大值.(3)直线当为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于3.【解析】（1）法一：设圆的方程，由题意得，解得：，所以圆的方程；法二：,，所以弦的垂直平分线的斜率为，线段的中点，所以弦的垂直平分线为，由，得，即圆心为，半径，所以圆的方程为；（2）设，表示直线的斜率，设，即，直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离，解得：，所以的最大值为；（3）当圆心到直线的距离等于2时，圆上有3个点到直线的距离等于3，所以，解得：时，圆上恰有3个点到的距离等于3.【对点训练27】（2023·浙江杭州·高二期末）已知圆C的方程为．(1)直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；(2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．【解析】（1）圆C的圆心为坐标原点O，半径为.设圆心O到直线l的距离为d，则．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线l的方程为．综上所述，直线l的方程为或．（2）方法一：设.联立可得，.因为直线与圆有交点，所以.又，所以，解得.所以的最大值是，最小值是；方法二：因为，当且仅当等号成立，所以．所以的最大值是，最小值是．方法三，换元：令，，.则，因为，所以，所以.所以的最大值是，最小值是．【对点训练28】（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知圆C经过点和且圆心在直线上．(1)求圆C的方程；(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．【解析】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离.所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为.【对点训练29】（2023·高二课时练习）若点在圆上运动，求：(1)的最大值；(2)的最值．【解析】（1），圆心为，半径.设，表示的斜率，即，当直线与圆相切时取最值，此时圆心到直线的距离为，解得，故的最大值为（2）设，则，化简整理得到，，解得，故的最小值，最大值【对点训练30】（2023·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知圆，点.(1)求过点的圆的切线方程；(2)求的最小值.【解析】（1）由，得，所以圆的圆心坐标为，半径，所以,所以点在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为，圆心到切线的距离为，所以，符合题意，当切线的斜率为，则切线的方程为，即，由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，解得，所以，故过点的圆的切线方程为或.（2）由（1），得，即，解得，由，得，所以，因为，所以，故的最小值为.题型十三：三角形面积问题【例13】（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.(1)求圆的标准方程；(2)求的面积.【解析】（1）设圆,则∴圆（2）因为到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故弦长，所以.【对点训练31】（2023·湖南岳阳·高二校联考期中）已知直线交圆于两点.(1)当时，求直线的斜率；(2)当的面积最大时，求直线的斜率.【解析】（1）设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为，半径，直线，当时，三角形是等边三角形，，于是（负根舍去）.（2），等号当且仅当时成立，当时，（负根舍去）.【对点训练32】（2023·浙江杭州·高二统考期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为(1)求圆C方程;(2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.【解析】（1）设圆心，则圆的方程为，或舍去圆的方程为（2）①当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，令代入圆方程得或，，满足题意.此时方程为②当斜率存在时，设直线l的方程为，圆心到直线l的距离，原点O到直线l的距离，整理，得，此时k无解．综上所述，所求的直线的方程为【对点训练33】（2023·辽宁·高二校联考期中）已知圆，直线过点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率.【解析】（1）圆的圆心为，半径为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意知，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，可得直线的方程为，当直线与圆相切时，直线的方程为或.（2）若直线与圆相交，由（1）可知，直线的斜率必定存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离.的面积为，当时，面积的最大值为，即，可得，解得，故面积的最大值为，此时直线的斜率为.【对点训练34】（2023·安徽亳州·高二校联考期末）已知圆，直线l过原点．(1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程；(2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．【解析】（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l为，显然符合直线与圆相切，②当斜率存在时，设直线为，圆M的圆心坐标，圆心到直线的距离，由题意得：直线l与圆M相切，则，解得：，所以直线l的方程为：，综上所述，直线l的方程为：或（2）直线l的斜率不存在时，直线l为与圆相切，不符合题意，故直线l斜率必存在，设直线l的方程为：，圆心到直线的距离，弦长，所以，当时，面积S最大，这时，整理得，解得，或，所以直线l的方程：或．【过关测试】一、单选题1．（2023·重庆·高二统考学业考试）直线被圆截的的弦长为（

）A． B． C．【答案】B【解析】的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则被圆截的的弦长为.故选：B2．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）如图，从外一点引圆的切线和割线，已知，，的半径为4，则圆心到的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】连接，过点向引垂线，垂足为，如图所示，

，，由切割线定理可得，，，，，由垂径定理得．又，．故选：B．3．（2023·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（

）A． B．8 C． D．10【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，所以为直角三角形，所以过三点的圆的圆心，半径为，所以过三点的圆的方程为，令，则，得，所以，故选：C.4．（2023·高二课时练习）若直线与圆相交，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直线，可化为，因为直线与圆相交，可得，整理得，所以.故选：B.5．（2023·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D6．（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】B【解析】因为化为标准方程为，所以圆心，圆的半径，又因为圆心C到直线的距离为，所以，所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.故选：B.7．（2023·高二单元测试）直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定【答案】A【解析】由直线，得，令，则，所以直线过定点，因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.8．（2023·上海宝山·高二统考期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得为恒过定点的直线，由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得，即的取值范围是．故选：B．二、多选题9．（2023·湖北·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（

）A．曲线的方程为 B．直线与曲线的位置关系无法确定C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D．的最大值为3【答案】AD【解析】设动点，由，则，化简得，A选项正确；直线过定点，点在圆内，直线与曲线相交，B选项错误；弦长为4，等于圆的直径，圆心在上，代入直线方程得，C选项错误；由，圆心，半径为2，，D选项正确.故选：AD10．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知圆的方程为，则关于圆的说法正确的是（

）A．圆心的坐标为B．点在圆内C．直线被圆截得的弦长为D．圆在点处的切线方程为【答案】BCD【解析】由圆的方程为，知圆心为，半径为1，选项A错误；点到点的距离为，选项B正确；点到的距离为，所以，选项C正确；由于点在圆上，点与圆心在垂直于坐标轴的直线上，所以圆在点的切线直线与轴平行，其方程为，选项D正确；故选：BCD.11．（2023·山东日照·高二校考阶段练习）实数x，y满足，则的值可能为（）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】令，可得，则直线与圆，将代入方程，得，解得，即，故选：ABCD.12．（2023·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知圆，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则下列各选项正确的是（

）A．四边形面积的最小值为4B．四边形面积的最大值为8C．当最大时，D．当最大时，直线的方程为【答案】ACD【解析】由圆的几何性质可得，圆，半径为2，如下图所示：

对于，由切线长定理可得，又因为，所以，所以四边形的面积，因为，当时，取最小值，且，所以四边形的面积的最小值为，故A正确；对于，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误；对于，因为为锐角，，且，故当最小时，最大，此时最大，此时，故C正确；对于D，由上可知，当最大时，且，故四边形为正方形，且有，直线，则的方程为，联立，可得，即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．（2023·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______.【答案】或【解析】圆化为标准方程为，圆心，半径为1，当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，由题意，所以，平方化简得，解得或.故答案为：或.14．（2023·高二课时练习）已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是____．【答案】【解析】由圆的方程，可得圆心坐标为，因为圆关于直线成轴对称，即圆心在直线上，可得，解得，由圆的方程化为标准的方程，可得，所以，可得，所以，即取值范围为.故答案为：.15．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________.【答案】【解析】由圆方程得：圆心，半径，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最小值为.故答案为：.16．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）以原点O为圆心作单位圆O，直线l与直线平行，且过点，P为直线l上一动点，过点P作直线与圆O相切于点B，则面积的最小值为____________．【答案】/【解析】由题知，圆的圆心为，半径为．设直线，将点代入，得，所以直线，所以点O到直线l的距离