2025年高考数学第一轮复习 第六章：数列（模块综合调研卷）（学生版+解析）

第六章：数列（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知等差数列｛%｝中，q=3,a2+a6=18,贝！|出。+%+/o+…+%=（）

A.600B.608C.612D.620

则兴=(

2.设等比数列｛%｝的前九项和为S"，若二=5,)

d10

31521

A.-B.—C.D.3

245

3.设等比数列｛%｝中，«3>%使函数/（xb/+S/d+zx+W在x=-l时取得极值0,则%的值是（）

A.土百或±3五B./或3亚

C.±3及D.3亚

4.已知数列｛%｝,也｝都是等差数列，记%7；分别为｛%｝,也｝的前〃项和，且>^则去=（）

8778

A.-B.-C.-D.-

5533

5.已知数列｛%｝的前〃项和为鼠，且S〃+氏=1,设2=匕4,若数列也｝是递增数列，则％的取值范围

an

是（）

A.（YO,2）B.（2,+co）C.（Y°,3）D.（3,-H»）

6."角谷猜想"首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而

人们就顺势把它叫作"角谷猜想"."角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除

以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数旬,按照上述规则实施第n次运算的结果为an（«eN）,

若生=1，且4（i=L2,3,4）均不为1,则4=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

7.已知等差数列｛%,｝和等比数列也｝,q=4=-4,%=2,%=池，根eN*,则满足*心”>1的数值机

)

A.有且仅有1个值B.有且仅有2个值C.有且仅有3个值D.有无数多个

值

告j,则称数列｛%｝为函数f（x）的牛顿数歹U.已知｛%｝为

8.给定函数/（X）,若数列｛%｝满足当包=%

/（"=%2_尸2的牛顿数列，且q=l,x.>2（"eN+）,数列｛叫的前"项和为S”.则S2023

Xn十1

A.B.22024-1

C.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

2an，〃为奇数

9.数列｛a.｝（〃eN*）的前"项和为S“，若q=l,a,1+1=L“为偶数，则下列结论正确的是（）

4，

A.%=2B.S]o=12

C.⑸｝为递增数列D.｛%-｝为周期数列

10.已知数列｛%｝满足4=1,%+1=a“-；a；（weN*）,则（）

A.数列｛q｝单调递减B.4<2%

C.3«„>4a,1+1D.—<lOOt/loo<3

11.如图，片是一块半径为1的圆形纸板，在片的左下端剪去一个半径为1■的半圆后得到图形鸟，然后依次

剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形A,B，L,P“，L,记纸板月的周长为

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知数列｛4,｝的通项公式为：an=2n-\,其前"项和为S,,若S’a,M成等比数列，则6

13.已知数列｛%｝中，q=1,«„+i=|--,若年=」三,则数列也｝的前〃项和5“=.

14.已知函数,数列｛4｝满足%=%=1，a,.=a.(〃eN*),/(a2)+/(o3+a4)=0,则

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.数列｛%｝满足2%+i+%=3,且%=]

(1)证明：数列｛%-1｝为等比数列；

(2)求数列｛4｝的前〃项和S,.

16.已知各项均不为零的数列｛氏｝满足q=1,其前w项和记为且衿迪=2",〃eN*,n>2,数

列｛2｝满足b„=an+an+r>〃eN*.

⑴求出，〃3，$102；

(2)求数列｛(1+3»”｝的前〃项和

17.己知数列｛%｝中，q=2,+=2("+〃)("eM)

⑴证明：数列是等差数列，并求数列｛玛｝的通项公式；

⑵设么=——,数列也｝的前〃项和为小若(<多(〃£乂)恒成立，试求实数丸的取值范围.

anan+ln+1

18.己知数列｛4｝满足：2〃用=a“+a“+2(V〃eN*),正项数列也｝满足：氏।=2心2(取eN*),且2%=4=2,

。4=b?,b§=4b3.

⑴求｛曰｝,｛2｝的通项公式;

a2n-lbn-l9〃为奇数

2〃+1

(2)已知g=\(32-2)〃-2〃为偶数’求：%;

(2+1)(%2+1)'

1/1111

⑶求证：

19.若正实数数列匕｝满足c3V""+2（"eN*）,则称仁｝是一个对数凸数列；若实数列｛4｝满足

2dn+l<dn+dn+2,则称｛4｝是一个凸数歹U.已知｛%｝是一个对数凸数列，b„=lnan.

(1)证明：a&Na5a6；

(2)右生。2…"2024=1，证明:“1012Toi341；

(3)若瓦=1,%24=2024,求九的最大值.

第六章：数列（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知等差数列｛%｝中，％=3,a2+a6=18,贝！|%。+&+%（）+…+%5=（）

A.600B.608C.612D.620

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出等差数列｛%｝的公差，进而求出通项公式并求出和.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,由％=3,%+4=18,得3+d+3+5d=18,解得d=2,

因止匕+（"一l）d=2〃+1,%。=2x20+1=41,a55=2x55+1=111

显然。20，%5，。30，“35，。40，。45，。50，。55构成等差数列，

a

所以々20+。25+。30--------55=,%5xg=4（41+111）=608.

故选：B

2.设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若言^5,则茬=（）

^10

31521

A.—B.—C.—D.3

245

【答案】c

【分析】

根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可；

【详解】

法一：设等比数列的公比为4,若4=1,则富=L=2N5,所以4*1；

用54

由*5,得=5x"j5)，即1-力=5(1-/，所以i+/=5,

d

5i-qi-q

q(i-ds)3

%=l—q75>3]>431-64=21

解得q5=4,

'几q"/。)l-(^)21-421-165-

i-q

故选：c.

法二：设等比数列的公比为4,若4=1,则亲=，%=2*5,所以qwl；

JcDd'i

由等比数列的性质知&,几一％几-几，…成等比数列，其公比为邑?邑=1=4,设工=乙显然言0,

d5d5

2

则S]o=5r,S15-S10=r4=16f,

S21

所以几=21乙所以”=三.

»io3

故选：C.

3.设等比数列｛q｝中，。3，%使函数/（尤）=丁+3/炉+%了+存在x=_i时取得极值0,则处的值是（）

A.土道或±3&B.有或3后

C.±3A/2D.3亚

【答案】D

【分析】根据〃x）在尸-1时取得极值0,可求得出，%,代回验证可得4=2,%=9,再根据等比数列

的性质即可求解.

【详解】由题意〃%）=3彳2+6/彳+%,

因为〃x）在》=-1时取得极值0，

—

f(-1)—1+3a3-%+a；=0

所以

/'(—1)=3—6<23+a7=0

%二:或。3=2

解得

%=3%=9

当〃3=1,%=3时，

/,(X)=3X2+6X+3=3(X+1)2>0,

所以f(x)在R上单调递增，不合题意，

当%=2,%=9时，

/f(x)=3x2+12x+9=3(x+l)(x+3),

所以xe(YO,-3)U(-L+8)时，制%)>0,

光£(一3,—1)时，

所以/(X)在(-8,-3),(T+⑹上单调递增，在(-3,-1)上单调递减,

所以当x=-1时/(%)取得极小值，满足题意，

所以=〃3，。7=18,

又〃3，〃5'%同号，

所以为=30.

故选：D.

4.已知数列E｝,｛〃｝都是等差数列，记%7；分别为｛玛｝,但｝的前〃项和，且，=卷三则去=()

8778

A.—B.-C.-D.一

5533

【答案】C

【分析】利用等差数列前"项和的性质及和与项的关系即可求解.

因为数列｛%｝,但｝都是等差数列，

所以不妨令5“(=5/-2沙,7；=3后，

所以。7=57—S6=(5x7?-2x7-5x6?+2x6)f=63r,

22

b5=7；-7；=(3X5-3X4)/=27/,

的63/7

所以了=万7=

b527t3

故选：C

5.已知数列｛q｝的前〃项和为S〃，且S〃+4=l,设么=—,若数列｛2｝是递增数列，则力的取值范围

an

是()

A.(-co,2)B.(2,+8)C.(田,3)D.(3,+co)

【答案】C

【分析】利用的关系式可得数列｛凡｝是以3为首项，3为公比的等比数列，再由｛2｝是递增数列可得

(几+1—4)・2"+i>(〃—4)•2"恒成立,即可得X<3.

【详解】当〃=1时，H+q=2%=l,解得q=；；

当“22时，由Sa+a“=l,得S,T+4T=1,

两式相减得2。“-a„_i=0,

所以子=；,即数列｛4｝是以《为首项，5为公比的等比数列，

可得%=工，所以为二土"乂"，)，？"；

a

2n

因为数列｛"｝是递增数列，所以6用＞6”对于任意的〃eN*恒成立，

即(〃+1-彳)•2向＞(〃-4•2”,即几＜〃+2恒成立，

因为〃=1时，”+2取得最小值3,故彳＜3,

即2的取值范围是(f,3).

故选：C.

6."角谷猜想"首先流传于美国，不久便传到欧洲I,后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而

人们就顺势把它叫作"角谷猜想"."角谷猜想"是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除

以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数旬,按照上述规则实施第n次运算的结果为an(〃6N),

若%=1，且q(i=L2,3,4)均不为1,则4=()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

［分析］根据“角谷猜想"的规则，由。5=1侄甘隹«o的值.

3an+1,。”为奇数

【详解】由题知％，上,为偶数因为。5=1，则有:

若为为奇数，则生=3%+1=1，得。4=。，不合题意，所以如为偶数，则。4=2%=2；

若。3为奇数，则4=3。3+1=2,得4=g，不合题意，所以为偶数，%=2%=4；

若出为奇数，则％=3。2+1=4,得电=1,不合题意，所以。2为偶数，且的=2%=8；

7

若见为奇数，则。2=3q+l=8,得4=］,不合题意，所以为为偶数，且4=2%=16；

若g为奇数，则q=34+1=16,可得％=5；若旬为偶数，则。o=2%=32.

综上所述：4=5或32.

故选：B

7.已知等差数列｛4｝和等比数列出｝,%=4=-4,4=2,%=地，根eN*,则满足。“也”＞1的数值机

)

A.有且仅有1个值B.有且仅有2个值C.有且仅有3个值D.有无数多个

值

【答案】A

【分析】根据题意求公差和公比，令j=a,“•粼=16（利-3）I,分情况讨论，结合数列单调性分析判断.

【详解】设等差数列｛0｝的公差为d,等比数列也,｝的公比为4,

因为q=4=-4,%=2,%=砌，

-4+36?=2d=2

则一4+41=8x（一4）尸解得‘1，

q=F

m—\

令％=仆4=[-4+2（山-1）]-4-=16（m-3）

可得C]=16勺=-4,C3=0,此时满足C”>1只有m=1成立;

若机>4,贝1]加一3>0,

（1）若加为奇数，则%,=16（机-3）1<0,不满足>1；

m+2

（2）若加为偶数，则%,,%+2>0,且~=2m-111+二<b

C,nJ4（m-3）4m-34

即C"+2<C,“，可得1=。4>。6>。8>…，即％,>1不成立;

综上所述：满足q•鬣>1的数值机有且仅有1个值，该值为1.

故选：A.

8.给定函数〃尤），若数列｛斗｝满足斗+i则称数列｛七｝为函数f（x）的牛顿数列.已知｛尤"｝为

/（力=/一%-2的牛顿数列，a=In,且q=1,尤“>2（”eN+）,数列｛4｝的前”项和为3.则423=

n斗+1

）

A.22023-1B.22024-1

20222023

C.1-1D.-1

【答案】A

【分析】根据定义求得数列｛玉｝的递推公式，然后代入。油可得｛见｝的递推公式，根据递推公式可知｛q｝为

等比数列，然后由等比数列求和公式可得.

X；-/-2_4+2

【详解】由/（力二/一彳一？可得尸（x）=2x—1,七包=%

2元“一12%-1

片+2

------------N/\2

x〃+i_2=2玉-1=|%-2]x1—2

,则两边取对数可得In口勺

当+1+1%+2门（%+Ux,+i+l

2%一1

即45=2““，所以数列｛q｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

lx（1-22023

所以$2阳=22。23一1.

1-2

故选：A.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

2an，〃为奇数

9.数列｛q,｝（〃eN*）的前几项和为S“，若q=l,a„+1=L”为偶数，则下列结论正确的是（）

A.a3=2B.I。=12

C.｛$,｝为递增数列D.｛%-｝为周期数列

【答案】BCD

【分析】根据题意，分别求得的,出，令…，得到数列｛%｝构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可

求解.

2a“，〃为奇数

【详解】解：由题意，数列｛%｝满足q=1,a„+1=La为偶数，

an'

11

==

当”=1时，。2=2%=2,当”=2时，«3->A错误；

当〃=3时，a4=2a§=1；

若"为奇数，贝|"+1,〃+3为偶数，n+2,〃+4为奇数，

则an+l=2a,,an+2=---=--,an+3=2alt+2=一,an+4=----=an.

%2ananan+3

若〃为偶数，贝U〃+l,"+3为奇数，n+2,”+4为偶数，

1c21a

aa2aa=~,«„=2«„+3=.

则„+l=—,n+2=n+l=~,n+3=---+4

aaa

nnn+2乙

所以数列｛q｝是以4为周期的周期数列.

=

故S[0=〃]++。3+,,,+%o2（q+。2+/+能）+%+40=2M+2+—+1J+1+2=12,B正确:

又由4>0,故⑸｝递增，C正确;

由上述讨论可知，｛2的项为1,1,1....故是周期数列，D正确.

故选：BCD.

10.已知数列｛%｝满足q=1,an+l=an(neN,),贝lj()

A.数列｛%｝单调递减B.an<2a„+l

C.3a.>4a“+iD.—<100a100<3

【答案】ABD

【分析】对A：通过计算得到%>0,则有%+「%<0,即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；对

C:通过计算的、的找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得.

1c2

【详解】对A选项：由4=1,an+l=an--a；,则％e(。,1)，

依次类推可得当〃N2时，有可«0,1),

即A正确

对B选项：由q+1=%-

由4=1,当"22时，anG(0,1),

故2…wj+m：+|=(

),

即％<2*故B正确；

114委>2,

对C选项：%=。2-]"2=5y,则3〃2=2,4a§=

27

即3%<4%,故C错误；

113

对D选项：由铲“9，故/-%(3-%)

an3-a〃

1111

即=2>“

%+14,3-%3

111111111/、

故有-------,-------------,L,---------->§,("22)

a

n%3an_xan_23a2at

111,，、112

累加有------gp—>-«+-,故a,<(n>：

an43an33n+2

又小1一1_丁1=<不1力_1J+1/)，叱)

故当〃23时，—

an

累…加—有H1<1/T1/)八+Q"1+§1+…+//(心小3)，

即^--1<-(100-1)<33+-|-x4+-x961=39,

%0033(26J

即。100>!,故1。。600>'!，

故!<100%。。<3,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用.

11.如图，片是一块半径为1的圆形纸板，在片的左下端剪去一个半径为|■的半圆后得到图形然后依次

剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形A,匕，L,匕，L,记纸板匕的周长为4,

【答案】ABD

【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出人，再求和，判断C；利用S”与S用的

关系，即可判断D.

【详解】根据图形生成的规律可知，

rCr兀131r=7171I71.,A十也

4l=兀+2,7^2=7TH--F1=—7l+l,L2Tl~\---1---1=-71H,故A正确；

兀

故B正确;

2

根据题意可知，图形4中被剪去的最小的半圆的半径为（J"”,

所以当4=兀+二+¥+...+”『［'+2乂『［'

〃24UJ

2

故C错误;

根据题意可知，图形匕+1中被剪去的最小的半圆的半径为§）",

故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计

算.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知数列｛4｝的通项公式为：an=2n-\,其前〃项和为S“，若又,品成等比数列，则h

【答案】6

【分析】根据等比中项结合等差数列的前〃项和公式求出&=36,再解方程，即可求得答案.

【详解】因为S“既,跖成等比数列，所以S,xSgnS；,

由于数列｛%｝的通项公式为：an=2n-\,

故｛%｝是首项为L公差为2的等差数列，且前几项和为S"=

所以0+7）X4X（1+17）X9=S,所以s36（舍去负值），

22

所以----——=36,=6（舍去负值），

2

故答案为：6

13.已知数列｛4｝中，q=l,,若2:一^,则数列也｝的前〃项和S〃=.

2an一,

n

【答案】4+6n-l

9

,1

【分析】根据条件，先构造等比数列求出%，再由么=一得口，从而可求和.

氏一2

51--

【详解】由。向=3―一，有〃1-21-2」a2,

2aan+\'一乙一NX

2anan

o111a„-2g+「2」一“-2

〃“+i-2=5=-x^—，两式相除得至IJ141,

a+la,

2%2an"~2,~2

所以『是以:为公比，“1_2__2

一T-为首项的等比数列,

a「5

凡-23

所以1r一周‘贝"2一",

124〃-1

所以「二一3

"T

二匚/2n14n-l2n4"-1_4"+6〃-1

所以S=----------x--------

〃33319~~9

4"+6〃-1

故答案为:

~9

14.已知函数=,数列｛%｝满足%=%=1，4+3=a”("eN*),f(a2)+f(a3+a4)=0,则

【答案】2

【分析】根据函数性质分析可知：/(X)在R上单调递增，且为奇函数，进而可得。2+4+g=。，结合数列

周期性分析求解.

【详解】由题意可知：/(X)的定义域为R,

口，，、型、3*-13X-13-11-3、门口口,/、_举,、

且f(x)+f(-x)=-------1----------=---------1--------=0,§Pf(x)——f(-x),

3'+13-'+1y+\1+3%

可知f(x)为定义在R上的奇函数；

且f(x)=」3*-1=l一-2—,

3'+13%+1

因为＞=3,在R上单调递增，可知f(x)在R上单调递增；

综上所述：AM在R上单调递增，且为奇函数.

因为/(%)+/(/+%)=。，则/1(/+%)=-/(生)=/(一。2)，

可*Q3+〃4=—〃2，即％+%+。4=0，

由。用二见伍已^^^可知：3为数列｛4｝的周期，则。"+。"+1+。,+2=0，

2024

且2024=3x674+2,所以=2.

«=1

故答案为：2.

【点睛】易错点睛：本题分析〃x）的奇偶性的同时，必须分析了（无）的单调性，若没有单调性，由

■/■（%）+/（%+。4）=。无法得出。2+“3+。4=。.

四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.数列｛a“｝满足2%+1+%=3,且％=]

（1）证明：数列为等比数列；

⑵求数列｛%｝的前〃项和S”.

【答案】⑴见详解

(2电=呜1+；2

【分析】（1）利用定义法即可证明等比数列.

（2）利用等比数列求和公式化简即可.

【详解】（1）由已知，2a„+l+a„=3,所以2（*「l）+（a“—1）=0

故」62\,1—1=一1孑，又因为q=3],所以％=31

an-l2222

所以数歹式。“-1｝是首项为:，公比为-1的等比数列

（2）由（1）知，令”,=4-1

所以5“=%+%+…+%

故S=n+—+—

"33

16.已知各项均不为零的数列｛4｝满足q=1,其前w项和记为S“，且ST-=2〃2,〃eN*,n>2,数

列也〃｝满足2=。〃+凡+r,〃£N*.

⑴求。2,〃3，S]02；

⑵求数列｛（1+3"）〃'｝的前〃项和7“.

【答案】⑴4=6,4=4,10507

J28”=1

（2）"­|2»-3,,+1+2n2+4??+4n>2

2

【分析】(1)首先利用数列与S"的关系,求得S„+S,T=2n,再赋值求a2,a3,再利用此2时，氏=Sn-S-,

即可求得S@;

,、[28,77=1

（2）由⑴可知，g=（l+3"）b"="i+3“）（4〃+2）〃>2'再利用分组转化，以及错位相减法求和.

【详解】⑴因为蹬-S，=2眼=2»（S“-Si）,九22,又数列｛4｝各项均不为零，所以S“+S“T=2〃2.当

〃=2H寸，§2+S]=%+%+%=8,所以a?~6

当”=3时，S3+§2=2（%+4）+%=18,所以％=4,

2

S„+5„_1=2n,/7>2

.立，两式相减可得%+1+a”=4"+2,北2,

k+1+5„=2（»+l）-,«>l

回S]（）2=（4+aJ+（%+4）H-----F（%（）]+卬02）=1+6+4（3H—，101）+2x50

=7+4x^1^x50+100=10507；

2

7,〃二1

(2)由(1)可知，bn=

4n+2,H>2

28/=1

（1+3"）（4«+2）,«>2

当”=1时，数列匕｝的前”项和为28,

当”22,数列｛5｝的前九项和为，

7；=28+（1+32）（4X2+2）+（1+33）（4X3+2）+...+（1+3,,）（4»+2）

=28+10+14+...+（4«+2）+[32X10+33X14+...+3H-（4«+2）]

设方=3~10+33xl4+...+3"x（4〃+2）

37；；=33xlO+34X14+...+3"x（4n-2）+3"+1x（4/z+2）,

两式相减得一21=90+403+34+…+3）-3,,+1x（4〃+2）,

27（1-3"-2）

-2[=90+4x—；§-3x（4〃+2）,

解得：看=-18+2〃-3向，

10+14+...+（4“+2）=（1）（1；+4〃+2）=（2“+6）（“_1）=2/+4〃_6,

所以7；=28+2〃2+4〃-6—18+2小3"包=2〃-3"M+2/+47Z+4,n＞2,

、_J28,n=l

所以l'-j2〃•+2/+4〃+4,在2.

17.已知数列｛%｝中，q=2,〃a“+]+=2（»+〃）（〃eN+）

⑴证明：数列是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）设勿=型立，数列也“｝的前〃项和为（，若北＜々5€、）恒成立，试求实数4的取值范围.

4A+in+1

【答案】⑴证明见解析，。“=2〃2

3

⑵人W

【分析】⑴对因向-5+1）。“=29+1）两边同时除以〃（〃+1）,即可证明数列是等差数列，再由等差

数列的通项公式求出数列｛%｝的通项公式；

（2）由（1）求出口，再由裂项相消法求和求出1,则北＜々，即彳＞＜[1+—，求解即可.

〃+1141”+14mx

【详解】（1）•.,%+1-（〃+1）%=2〃（〃+1）,两边同时除以“（〃+1）,

n+1n

.••数列詈]是首项：=2,公差为2的等差数列,

—=2+(n-l)2=2n,

n

a“=2,r.

2w+lB_2〃+l_2〃+l_111

(2)'口待”-2«22(/1+1)2-4n2(n+l)2~4(n+1)2

++_L__UJl―_J_1n2+2n

222222—x---------

4k2J(23Jn(n+1)J4[(»+l)4(n+1)2

2

TAn1n+2nn.1n+2卜一―一

T<-即nn:乂7——<--A,即nn:x一恒成乂.

nn+145+1)n+14n+1

13

2>=114

89

Zn+1max42

-■-2>r

(eN*),正项数歹u他,｝满足：配包=b-2+2(V〃eN*),且2/=4=2,

18.已知数列｛%｝满足：2an+l=an+an+2n

a4=b2fb5=4b3.

⑴求⑷,也｝的通项公式;

?”也I，”为奇数

2n+l

⑵已知g=\（3%-2也-2，〃为偶数’求：Sq；

〔(2+1)闻2+1)

11111

⑶求证:——<---------1----------F,••H<-

16-(3%+1)2(3%+1)2------(34+1)23,

n

【答案】⑴。bn=2

2〃+1(12w-l)4),+12”+283

(2)S.---------------:----1---

+1

k=l94"+l45

⑶证明见详解

【分析】（1）由题意可得数列｛%｝为等差数列，数列｛〃｝为等比数列，再分别求解公差与公比即可求;

（2〃-1""一,"为奇数

（2）代入化简可得q,=nn+2，〃为偶数’再分组根据错位相减与裂项相消求和即可;

2〃+12n+2+l

11111

（3）放缩可得（3〃+I）2<（3”_2）（3"+l）=—x,再裂项相消求和即可.

33n-23n+l

【详解】（1）因为2a0+i=a“+a”+2（V〃eN*）,所以数列｛%｝为等差数列，设公差为d,

bb（VneN*）,所以数列也｝为等比数歹U,

因为Kl=n-n+2设公比为4,且4>0,

I大I2al=b[=2,=b、,=4b3,

ct[+3d=t\q1+3d=2q

所以74A12，即

八4『，

bxq=4biq

q=2

解得

d=1

所以=l+(〃—l)xl=〃，=2X2〃T=2〃.

(2f2"T,伪奇数(2〃-l)2"T,w为奇数

（2）由（1）可知，由g=<(3"-2)2"-2

，"为偶数=nn+2"为偶数'

(2"+l)(2,,+2+l),2,,+l-2,,+2+l，

记4+1=G+G+,5+…+C2n-1+C2n+1

=1X20+5X22+9X24+---+(4；7-3)X22,,-2+(477+1)X22"

=1x4°+5x4'+9x42+---+(4/7-3)x4,i-1+(4M+l)x4n

2H+1

4An+l=1X41+5X4+……+(4n-3)x4+(4/7+l)x4"

23+lre+1

作差,得：-3A+1=1+4+4+•••-4"-(4n+1)x4

,16-4"+2〃八13(1-12«)4"+1

=1+--------(4〃+l)x4'=——+-------——

1-433

所以，心=引曲”

令纥=C2+C4+C6+---+C2„

-P___M+MM+M/2n2〃+2)

U2+l24+lJl^24+l26+lJU6+l28+lJU2，'+l22"+2+lJ

_22n+2

一歹4叫1

沿“c13(12M-1)4,,+122n+2(⑵-1)4用2n+283

回学=%+纥=§+—9—+丁E=-9—一E+后

⑶令服二小子,

11111

因为-。，且4飞，所以而产而可+…+即产而成立；

、1