2025届河北省昌黎某中学高三第三次调研考试数学试卷（含答案解析）

2025届河北省昌黎第一中学高三第三次调研考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合&={-2,-1,0,1,2},8=则4口8=()

A.{—2,—1,0}B.{-1,0}C.{—1,0,1}D.{-2,—1,。/}

2.已知复数2=①(i为虚数单位)，则2=()

1-1

A33.n33.厂33.「33.

A.——+-iB.——--1C.—+—1D.--------1

22222222

3.已知等比数列{〃〃}中，％”亍生="公比9=贝!)〃4・。5/6=()

A.32B.16C.-16D.—32

4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，

大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打

洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果

墙足够厚，第〃天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则〃的值为()

A.5B.4C.3D.2

2

+

5.己知数列｛%｝满足％=1,an+1=anni+n则/=（）

25「14「31「17

A.——B.——C.—D.—

95116

6.将函数〃x)=cos(s+"0>O,阐苫J的图象向右平移聿个单位长度，再将所得图象

上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=sinr的图象，则。的值为()

兀c万

A.—B.—c

34-i4

7.已知数列｛%｝满足％=1,2=4,且答=4=+9”(〃22,77eN),则当冬取得最大

n-1n+1n-1n

值时，〃=()

A.1B.2C.3D.4

8.已知数列{%}中，其前〃项和为%且满足S“=2-数列{*的前〃项和为7；,若

际-“TYZ〉。对“eN*恒成立，则实数力的取值范围是()

A.(3,+oo)B.(―1,3)C.D.[W)

9.已知复数Z1=l-i,复数Z2=x+yi,x,yeR,z]，z?所对应的向量分别为西，西,

其中。为坐标原点，则以下命题错误的是()

A.若西//%,贝|x+y=0

B.若西//比'，则也eR

C.若鬲，区，贝上以2=0

D.若西，运，则[Z]+Z2|=|Z「Z2|

二、多选题

10.在等比数列｛q｝中，4>1,。2023a2必>。，纭匚1<0,若S,为｛4｝的前〃项和，7,为

“2023T

｛%｝的前〃项积，则()

A.｛%｝为单调递增数列B.52023<S2024

C.乙23为｛瑞的最大项D.｛瑁无最大项

11.已知数列｛%｝中，q=T，对于任意的〃z,〃eN*,都有金+,=44,则下列说法正确的

是()

A.｛"%｝是单调递减数列

B.｛4｝的前九项和S“<1

C.若正整数/满足见+]+%2+…+七+10U,贝1J%=5

D.存在正整数m,〃,p("z<〃<p),使，，%，%成等差数列

三、填空题

12.已知复数z==^,则三的虚部为______.

2+1

13.已知平面向量4=(1,m)，3=(—2,1),^=(n,2),若M_L5，61口,则m+几=.

试卷第2页，共4页

14.提丢斯一波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由

德国的一位中学老师戴维・提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，

即数列｛%｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太阳系第〃颗行星与太阳

的平均距离(以A.U.为天文单位).现将数列｛%｝的各项乘以10后再减4得数歹!]也,｝,

可以发现｛2｝从第3项起，每一项是前一项的2倍，则%023=.

四、解答题

15.已知数列｛4｝是等差数列，其前〃项和为S,，且2%+%=13,$7=49.

⑴求｛&n｝的通项公式；

⑵设bn=an+》,求数列也｝的前〃项和T„.

16.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2+c2-a2=2^sinC.

⑴求角A；

(2)若AB=30,AC=3,点尸在线段BC上，且CP=gc3,。是线段AC中点，相与8。交于

点M,求cos^AMB.

17.已知S“为数列｛%｝的前〃项和，且弓=1,Sn=an+l-2.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若包=1082*4,求数列1」一的前w项和

3[b„bn+lJ

18.已知函数〃x)=—---(aeR).

⑴若。=0,求函数“X)的单调区间；

⑵若对VxeR,/(x)>0,且在x=0处取得极小值，求。的取值范围.

19.如果数列｛%｝,｛%｝,其中y.wZ,对任意正整数〃都有氏-%|<，则称数列｛约｝为

数列｛斗｝的“接近数列已知数列出｝为数列｛%｝的“接近数列

⑴若a“=27z+g(neN*),求仿也也的值;

⑵若数列｛4｝是等差数列，且公差为d(deZ),求证：数列也,｝是等差数列；

731Q57

n

(3)若数列｛%｝满足％=辞，且/=系见+会记数歹皿｝、间的前项和分别为S“工,

_L\J\Ji\J乙U

试判断是否存在正整数〃，使得5“〈/？若存在，请求出正整数〃的最小值；若不存在，请

,14…

说明理由.(参考数据：1工2£。16.7)

10XI

试卷第4页，共4页

《2025届河北省昌黎第一中学高三第三次调研考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BAACBDBDCBC

题号11

答案BC

1.B

【分析】求解分式不等式，再由交集运算即可求解;

【详解】由一二<0易得：-2<x<0

x+2

即3=卜卜2<%叫，

所以4门3={-1,0},

故选：B

2.A

【分析】应用复数的乘法及除法计算即可.

【详解】已知复数Z唱，则3i3i(l+i)-3+3i33.

z--------------F—1

1-i(l-i)(l+i)1-i222

故选：A.

3.A

【解析】由等比数列的通项公式可计算得出代入数据可计算得出

结果.

【详解】由％=4.%V=q.4.%.*=4x(0)=32.

故选：A.

4.C

【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列{%},则q=l，4=g,小老鼠每天打洞的长

度构成等比数列也“},则4=1应=[,再分别求和构造等式求出〃的值.

【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列{%},

贝1」4=1应=2,所以S“=U=2'-L

"1-2

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列{2},

答案第1页，共13页

则4=1应=；1,所以<=-0f-=2[i-（-1ri.

21——2

2

所以S.=4（，即2"-1=81-,化简得4"-9x2"+8=0

解得：几=3或〃=1(舍)

故选：C

5.B

【解析】由%=%+总转化为%利用叠加法,求得右3彳，即

可求解.

22

【详解】由…+―可得％+1—4

n（n+1）

所以4=（凡一%T）+（4一1一。〃一2）+（4—2一q一）3+…+（。2-4）+，

214

所以…记二

故选：B.

【点睛】数列的通项公式的常见求法:

1、对于递推关系式可转化为4+1-。,=75)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其

通项公式；

2、对于递推关系式可转化为如=75)的数列，并且容易求数列｛/(")｝前〃项积时，通常

an

采用累乘法求其通项公式；

3、对于递推关系式形如。向=P%+g的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.

6.D

【分析】先根据条件变换得到g(x),再根据g(x)=sinx列式计算求出9的值.

COCOTl

【详解】由已知得g(x)=cos—X———+^>=sinx,

a）=2

所以CDTI兀_71r，

----------（D--------F2左兀，KGZ

62

答案第2页，共13页

解得9=一4+2配上eZ,又|d<g,

62

所以夕=-3

6

故选：D.

7.B

【解析】先证明数列｛叫J是等差数列，结合％=1,%=4求出｛也.｝的通项公式，可得

%工2,利用配方法可得答案.

nnn

【详解】因为曾=a+N("22,〃VN)

n-1n+1n-1

所以2%=(H_1)an_x+(〃+1)an+i｛nN2,nsN)

所以数列｛〃(｝是等差数列，

又％=1,a2=4

所以数列,凡｝是以1为首项，2x«2-lxfll=7为公差的等差数列,

所以=7〃-6

76/17丫49

所以%------=—OH--------

nnnn2-------------12J24

m、r*<12-ea176Ta、76__.

因为,l<—<2,且丁=1-正=1,3=］一初=2,2>1,

所以当H=2时，冬取最大值2.

故选：B.

【点睛】方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1)定义法：an+l-a„=d(d

是常数)，则数列｛4｝是等差数列⑵等差中项法：2a,用=4+%+2(〃wN*),则数列｛%｝是

等差数列；(3)通项公式：a.=pw+q(p，q为常数),则数列｛4｝是等差数列；(4)前〃项和

公式：S“=Al+为常数)，则数列｛%｝是等差数列.

8.D

［分析］由题意得出数列｛4｝，｛"｝均为等比数列，从而求得S”与4,代入S；-4(-1)%,>0,

对〃分奇偶分类讨论，将问题转化为恒成立问题，结合数列的单调性，即可求得九的取值范

答案第3页，共13页

围.

【详解】因为5"=2-凡，所以当〃=1时，S[=2-G，得4=1,

当“22时，Sn=2-an,S“T=2-4T，两式相减得‘工=；（常数），

an-\」

所以数列｛g｝是以1为首项，《为公比的等比数歹IJ.因为&=;,则华=;（常数），

a

-n-\乙14

又a；=l,所以｛"｝是以1为首项，（为公比的等比数列,

2

4

由七-"-1）"/>0,>0,

所以3i-Qji-Qj>o,

所以3l-1|j-A（-l）"1-

又〃eN*,所以1一]]>0,所以31-g1-2（-1）-1+Qj>0,

即3（2"-l）-2（-D"（2"+1）＞0对〃eN*恒成立,

当〃为偶数时，3（2n-l）-2（2M+l）＞0,则彳J'“；）,即彳＜

in

所以心…1（2"+1）一6壬一。

2〃+12〃+12〃+1

令"二3一品，贝1^"+「2=3_（3一用）二岛一高，

因为2向+1＞2"+1，所以七一手看＞°，则所以数列也｝是递增数列，则也｝

的最小值为％,则见＜a=3--69所以丸＜a=3—号6=（9;

乙IJ.J乙IXJ

3（2"-1）

当"为奇数时，3（2"-1）+几（2"+1）＞0,所以-2＜

2"+1

答案第4页，共13页

则彳<3(2'T)_3(2"+1)-66,

2〃+12〃+12〃+1

因为数列也｝是递增数列，所以｛2｝2的最小值为4,所以T<4=3-券=3-2=1,

所以；1>-1,

综上，实数％的取值范围是

故选：D.

9.C

【分析】根据向量平行的坐标运算公式从而判断A；根据x+y=O代入三运算进而判断B；

根据向量垂直的坐标运算公式，结合复数乘法和复数模的运算从而判断C和D.

【详解】A选项：易知鬲区=(%4),又药//区，则一x=y,即x+y=O,

故选项A正确；

,.,___►___»,x+yix-xi-，、一入

B选项：当OZJ/OZ2,贝*=儿一=7一=不一=xeR,故选项B正确；

12Zj1—11—1

C选项：由于西^上函>,则％_,=0,Z]Z2=(l_i)(x+M)=(l_i)(x+xi)=2x,X不恒为0,

故选项C错误；

D选项：由于鬲，电，贝Ijx—y=。，

2

|zj+z2|=|1-i+X+yi『=(1+%)2+(y_l)2=(]+%)2+(1_])2=2(l+f),

222222

|zj-22|=|l-i-x-yi|=(l-%)+(l+y)=(l-x)+(1+%)=2(1+£),

故|zi+Z2|=|zi—Z2],选项D正确.

故选：C

10.BC

【分析】由4>1,%必％必>0,可得4>。，。“>。，结合0y<°分析可得。<4<1,

“20231

%侬>1,0<«2024<1,则｛%｝为单调递减数列，故选项A错误.选项B正确.白=%，根据

'〃一1

｛可｝单调递减和的023>1，。<的024<1可知写23为｛北｝的最大项，则选项C正确，选项D错

误.

【详解】由a2023a24Haxa；因此

2020232023xq=a02sxq>0,g>0.

答案第5页，共13页

又因为外>1则为>。.

a—1

当q21时，贝1]%023>1，%。24>1，则3七〉。，与题意矛盾.

“2023—1

因此。<4<1.则｛%｝为单调递减数列,故选项A错误.

而S?024-$2023="2024>°，故^2023<§2024，选项B正确.

又因为｛风｝为单调递减数列，则“2023>“2024，

a—1

由20_,<0可知,4023>1，。<%°24<1，

“2023—1

所以当“W2023时，,=4>1,则（>7；…

当〃,2023时,广=。〃<1,则北<.

4-1

因此｛（,｝的最大项为盘23,则选项C正确，选项D错误.

故答案为：BC.

11.BC

【分析】根据给定条件，判断数列｛4｝为等比数列，求出通项％,再逐项判断作答.

【详解】数列｛%｝中，q=g，对于任意的他,〃eN*,都有。“+.=%"“，

则取利=1,得％包=4%=!”,，因此数列｛《｝是首项为:，公比为J的等比数列，4=1，

对于A,nan=白,显然｛"〃“｝的前3项分别为：:，■!,则｛〃q｝不是单调递减数列，A错误；

222X

1（1」）1

对于B,S,=2-/二=1_<1,B正确；

1——义

2

对千「a+a++a—^+^++1—2t+121°）_（]y（]y+io

对于C,分+]+，+2+…+4+io-+2^+2+…+/+1。-J一（，）（/），

1-2

于是（：）"一（；）"|°=（55-（；尸，解得左=5,C正确；

对于D,若存在正整数（机<〃<P）,使3“，4成等差数列，即2]=导5，

整理得2x2。-"=2人'"+1，显然。-"，。-加均为正整数，则2x2%",2。”均为偶数，

2。力+1为奇数，矛盾，因此不存在正整数十",pO<〃<p）,使%,%,成等差数列，D错

答案第6页，共13页

误.

故选：BC

12.-1

【分析】由复数的除法运算结合共辗复数的概念即可求解;

【详解】”割=冒蛊卜也

所以z=-1—i，

所以z的虚部为-1，

故答案为：—1

13.-2

【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.

【详解】因为@=(1，机)出=(-2,1),万_1_5,所以1X(-2)+1X7%=0,加=2,

因为^=(",2),5=(-2,1)忑//5,所以lx〃=2x(_2),〃=-4,

所以〃?+〃=2-4=-2.

故答案为：-2.

一3x22°"+4

14.

10

【分析】由题意得到数列也,｝从第二项起是等比数列，由题意写出打，即可写出当“22时,

数列的｛〃｝的通项公式，然后得到数列｛4｝的通项公式，从而知道。2023.

【详解】由题意可知数列｛2｝从第2项起，是以4为首项，2为公比的等比数列.

bx=10^—4=0,b2=10a2—4=3,

・，.当〃N2时，bn=10%-4=3x2〃-2,

.3X2/2+4

―L，

.一3x22021+4

,•〃2023=历，

3x22021+4

故答案为：-.

10

15.(l)an=2n-l

答案第7页，共13页

Q2/1+1r\

⑵北=1人

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前九项和公式求解；

（2）分组求和方法求解.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,又2%+%=13,$7=49,

2（q+d）+q+3d=13

所以|7x6dc，解得％=1，d=2,

lax+---=49

所以｛%｝的通项公式q=q+（〃一l）d=l+2（"-l）=2"-l.

(2)由(1)知a=。“+2"”=2〃一l+22"T,

所以＜=4+4+&+…+或=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2〃-l+22"T)

2n+1

/\/35In\\〃(1+2〃—1)2x(1—4〃)2-22

=(l+3+5+---+2n-l)+(2+23+25+---+22n-1)=-^--——+—；4-=——+〃.

冗

16.（1）A=-；

⑵-冬

2

【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得tanA=l,即得；

（2）利用余弦定理可得，=3,进而可得C=],然后利用和角公式可得

cos/AAffi=cos（NQ5C+ZAP5）,即得.

【详解1(1),**b2+c2—a2=2absinC,

・，b2+c2-a22absinC..

••cosA===sinAA,BR|nJtanA=1,

2bc2bc

又Ae(O㈤,

⑵由题可知c=3®6=3,A：5,

***a2=/+c2-2Z?ccosA=9+18—18=9,

:・a=3,又c=3A/2,b=3,

C=-

2

答案第8页，共13页

13

•：CP=-CB=1CQ=-AC=3

329f

o

.・・AP=M,BQ=3后,

cosZAPB=-cosZAPC=-叵,sinNAPB=,

AP1010

sinZQBC=丝=好,cosNQBC=*,

BC55

cos^AMB=cos(/QBC+ZAPB)=cosNQBCcosZAPB+sinNQBCsinAAPB

275(VHH753丽A/2

=-------x-------------------X---------=--------

5110J5102,

|l,n=

()a"-[3x2"-2,n>2

n

2n+l

【分析】（1）由己知得当〃22时，a,=S,「S,_a“,即有嗅=2（”22）,从而有数

an

列｛4｝从第二项起成等比数列，由等比数列的通项公式可求得答案;

（2）由（1）得b“=2n-1,运用裂项相消法可求得答案.

【详解】（1）解：因为S“=%+「2,所以当”=1时，%=H=%—2,所以%=3,

当心2时，an=Sn=（a„+1-2）-（a„-2）=an+1-an,

所以%M=2q（*2）,所以凡包=2（在2）.

an

因为£=3,所以｛%｝从第二项起成等比数列，

所以当刀之2时,%=3x2"".

所以""一［f3l,xn2="』l""

答案第9页，共13页

（2）解：由（1）得，b=log2----------=2n—1,

3

所以」_=_____1_=ip---

HHH

bnbn+l（2-1）（2+1）2（2〃-12+1J

6斤以1--------------F•••H-----------------1---------------1-,,•+-------------------------------r

I1-bb

加“〃姑223么A+11x33x5（2n-l）（2n+l）

1

2n+l

1-14-1

—F...+

23352〃-12n+lJ

n

所以q=

2n+l

18.（1）/（X）的单调递减区间为（-1,0）；单调递增区间为（o,+e）.

⑵（1,2）

【分析】（1）求出导函数广（x）,由广（尤）＞0得增区间，由尸（幻＜。得减区间;

（2）首先由4x）＞0恒成立得出。＞1,然后求出了'（尤），求出/'。）=0的根，根据根的大小

分类讨论得出单调性及极值，从而得参数范围.

【详解】（1）当。=0时，/（x）=Az，定义域为（F,T）U（T,”）.

,、ev（4x+4）-4e%4xex

/⑺=（©+4）2=逋牙,

令尸（x）=0,可得x=0,

当尤变化时，/⑺和/'⑺的变化情况如下:

X㈠，。）0（0,+oo）

/‘（X）--0+

单调递单调递单调递

/W

减减增

故函数〃x）的单调递减区间为（-1,0）；单调递增区间为（0,+8）.

x

（2）因为=e-----＞0对VxeR恒成立，所以依2+4犬+4＞0对X/xeR恒成立,

'7ax2+4x+4

答案第10页，共13页

八一、A\a>0A,

显然〃=0=>4x+4〉0不怛成山不合题思，贝时24/八，解得々>1.

[A=4-4x^x4<0

­(eA(ox2+4x+4)-eA(2«x+4)_eRax+4—2〃)

(ox?+4x+4)[ax1+4x+4)

令尸(x)=0,可得％=0或2-，

4

当〃=2时，2—=0,

a

2exx2

因为广(司=(2/+©+4)"°'(当且仅当*=°时，/'(x)=°)

所以函数f（x）在R上单调递增，无极值，不满足题意;

4

当lvav2时，2—<0,

a

/（X）和广（X）的变化情况如下:

ST

X2--0(0,+8)

a

/'（X）+0-04-

“X)单调递增单调递减单调递增

函数/（X）在x=O处取得极小值，满足题意；

当a>2时，2-1>0,〃龙）和/'⑺的变化情况如下:

X(-℃,0)02--

a1-2J

广⑺+0-0+

单调递增单调递减单调递增

函数/（尤）在x=。处取得极大值，不满足题意.

综上，实数”的取值范围为（L2）.

19.(1)4=3,4=5,4=7