2025届河北省沧州市沧衡八县联考高三一模数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

2025年高三第一次模拟考试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名及考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1+i

Z---------

1.复数2-3i的虚部为（）

5.口55V13八5V13.

A.—iB.—C.----L).-----1

13131313

2.集合〃={JxeNlog2x<2｝的真子集个数为（）

A.15B.16C.31D.32

3.若变量>与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为_p=2x+&,样本点中

心为（3,6.5）,则样本点（2.5,7）的残差为（）

A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5

4.已知S"为等比数列｛%｝的前九项和,若S.=3—九22"-2,则%=（）

A.72B,-72C.144D.-144

2222

5.已知。〉6〉0,椭圆。：=+二=1与双曲线£：二—与=1的离心率分别为q,e2,若3修=02,

abab

则双曲线£的渐近线方程为（）

A.x±V5v=0B.2x±y=0C.2》±岛=0D.氐±2y=0

_1-1.

6.设48是一个随机试验中的两个事件，若尸（耳）=",P（AB）=—,则尸（2忸）=（）

1223

A.-B.-C.—D.一

2354

在正四棱台刍。。中，则该正四棱台外接球的

7.451GA—422=J5，A2B2=3V2,44=6,

表面积为（）

A.108万B.541C.36万D.27万

8.已知函数/（x）=sin［0x+0+一｝0eN*,O<°<m）在［一巳,《］上单调，且/［普］=0，若将函

数N=/（x）的图象向右平移加（加>0）个单位长度后关于V轴对称，则机的最小值为（）

2兀兀兀兀

A.—B.-C.lD.一

3346

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”

成绩，并统计如下，则（）

成绩(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]

频数61218302410

A.这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成

B.这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85

C.这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85

D.这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间

10.在V4BC中,若内角4B,C满足Vi?lsi/Nsin2c=4:9:10,则（）

A.COSB=^-B.60°<C<75°c.tan（Z+C）=—^^D.tan5+tan3Z=0

85

11.在平面直角坐标系中，若初（％,必），N（x2,y2）,则称“d=|项-/l+l必一歹21”为"，N两点的“曼

哈顿距离”，若动点E到两定点£（0,-。）,鸟（0,c）（c〉0）的“曼哈顿距离”之和为定值2a（a>c）,则称

点£的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点尸为该“曼哈顿椭圆”上一点，贝U()

A.△尸耳片的周长为2a+2cB.A/岑片面积的最大值为c(a-c)

C.该“曼哈顿椭圆”的面积为2(/一。2)D.该“曼哈顿椭圆”的周长为4[、历。+(1-应)c]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

.,-1

12.已知向量1=(sirTa-1,-1),b=(l,cos2«),若tana=5，则鼠6=.

13.将分别标有数字1,2,3,4,5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从

袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大

乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸

球上的数字为.

14.已知函数/(x)满足：VxeR,/(x-1)+6>/(x+5),/(x+l)-3>/(x-2),若/(3)=2,则

7(2025)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.若数列｛%｝的前n项和为Sn,且4>0,-2S,+%=0.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝的前"项和为北，证明：Tn<~.

16.已知函数/(x)=(x-a)ln(x+l).

(1)若4=0,证明：/(x)>0;

(2)若存在过点(-1,0)的直线与曲线y=/(x)相切，求实数。的取值范围.

17.某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了

调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调

查，并得到如下2x2列联表：

单位：人

性别

满意程度合计

男生女生

满意120

不满意150

合计200

(1)请补全上面的2x2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关

系；

(2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至

少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为2，；，；，3道试题答对与否互不影

响.

(i)用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；

(ii)记有〃人进入总决赛的概率为尸(〃)，求尸(〃)取最大值时〃的值.

n(ad-be)2

附：/其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

2706

Xa3.8416.63510.828

jr

18.如图，在三棱锥尸—48C中，AP=AB=AC,D为BC上一点、,ZABC=ZDAC=-,

6

ADLPB.

P

(I)证明：平面尸45,平面NBC；

(2)若PB=BC,AB=2,求：

(i)三棱锥尸-的体积；

(ii)平面尸4D与平面尸5C夹角的余弦值.

124

19.经过圆C:(x+2)2+/=r2(r>0)上一点(一《,小作C的切线I,I与抛物线「：/=2Px(p>0)也相

切，P为r上一点.

（1）求r和0的值;

（2）若点尸（1,2）,不经过P的直线4与：T交于不同两点4,B（位于x轴两侧），与x=-1相交于点。,

若直线P/,PB,尸。的斜率分别为左一k2,左3，且占为左，左2的等差中项，证明：直线4过定点;

（3）若。为坐标原点，尸为「的焦点，求△尸。尸内切圆面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1+i

z二-----

1.复数2-3i的虚部为（）

5.5C55

A.——1B.——D.河

1313'1313

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部的定义求解.

1+i(l+i)(2+3i)-l+5i15.5

【详解】因为z=———=-7T+-1-所以复数z的虚部为7.

2-3i(2-3i)(2+3i)T

故选：B.

2.集合/={xeNJog?x<2}的真子集个数为（）

A.15B.16C.31D.32

【答案】A

【解析】

【分析】先解对数不等式，用列举法写出集合M即可求解.

【详解】不等式log2X42的解为0<x44,因为xeN,所以M={1,2,3,4},

所以集合拉的真子集个数为24-1=15.

故选：A.

3.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为_p=2x+&,样本点中

心为(3,6.5),则样本点(2.5,7)的残差为()

A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5

【答案】B

【解析】

【分析】先求出线性回归方程，再由残差的定义求解即可.

【详解】依题意，6.5=2x3+&,所以&=0.5,即经验回归方程为夕=2x+0.5,

又当x=2.5时，v=2x2.5+0.5=5.5,所以样本点(2.5,7)的残差为7-5.5=1.5,

故选：B.

4.4知徐为等比数列｛4｝的前〃项和,若邑=3_大""-2,则%=()

A72B,-72C.144D.-144

【答案】D

【解析】

【分析】利用给定的前"项和公式，求出卬,。2，生，再利用等比数列意义列式求解.

【详解】依题意，=511=3-A,a2=S2-Sl=(3-42)-(3-2)=-32,

a3=S3-S2=(3-162)-(3-42)=-122,由｛4｝为等比数列，得

即(—34)2=(3—几)(_124),解得几=12或4=0,由%=-3/1片0,得XWO,

则4=12,所以生=T44.

故选：D

2222

5.已知。〉6〉0,椭圆C：t+[=1与双曲线£：j—勺=1的离心率分别为6，e2,若3q=e2,

abab

则双曲线E的渐近线方程为()

A.x±A/5v=0B.2x±j=0C.2x±45y=0D.yf5x+2y-0

【答案】C

【解析】

【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可.

【详解】依题意，"J",02="2+/,又3,=02，

aa

b2

所以9(/—/)=/+〃，整理得4/=5/,所以,=忑，

2广

所以双曲线£的渐近线方程为^=土正x,即2x土逐y=0，

故选：C.

6.设/,3是一个随机试验中的两个事件，若尸(3)=：,尸(48)=—,则尸(2忸)=()

33

1223

A.-B.—C.lD.一

2354

【答案】A

【解析】

【分析】由题意求出尸(4§),再结合互斥事件的概率公式即可求解.

【详解】因为P(B)=g,所以0(8)=1—0(8)=1—§=],

-2-1

又因为P(B)=P(AB)+P(AB)=-,P(AB)=-,

所以尸(4S)=；,

所”(如篇二起4

故选：A.

7.在正四棱台ABGD1—A2B2c2D?中，0,A2B2=372,44=6,则该正四棱台外接球的

表面积为()

A.108/B.541C.361D.27万

【答案】B

【解析】

【分析】根据正棱台中的直角梯形求得棱台的高，利用勾股定理建立外接球半径的方程，求出半径，从而

利用公式计算球表面积.

【详解】设正四棱台上底面4片。。1的中心为。1，下底面2c202的中心为02，因为4片=正，

A2B2=3V2,所以Q4=l,Q4=3.

过4作4£，。24于E，易得&E=2,

设该正四棱台外接球的球心为O,则。在直线。。2上，O。?=&E=以m-4炉=4后,设

OOt=x,则0Q=|4后_厘

设外接球的半径为R,则R?=0。；+0国；MOO"。?#，即/+12=(4亚—X＞+32,解得

X=还，则火2=(m)2+1=工，所以外接球的表面积为4万&=54».

222

故选：B.

13兀兀717兀

8.已知函数/(x)=sin|tyx+e+(0eN*,O<°<_1)在上单调，且/0,若将函

65612

数J=/(x)的图象向右平移制加＞0)个单位长度后关于〉轴对称，则用的最小值为()

2兀nH71

A.—B.—C.—D.一

3346

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数周期性将函数/(x)化简，再结合单调性计算出。的取值，逐个验证后确定。和。

的值，即得到函数/(x)的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质

解得比的最小值.

【详解】因为函数/(x)=sin[0x+0+与＞cos(0x+0),又函数/(x)在，上单调，所以函

2兀兀(兀)2兀

数/(x)的最小正周期丁=—＞2x----=—,所以刃＜3,又GEN*，所以切=1,2,3.

①6\6J3

7兀cosf+=又则710无解;

若①=1,则/(x)=cos(x+0),且/

~n2

则/(x)=cos(2x+0),5.ffj=cosf+(p\=Q,X0<«9<|,则0=1；

若0=2,

若⑦=3,则/(x)=cos(3x+°),5./I—l=cosl—+1=0,又0<0<.,则。无解.

综上,/(x)=cos2x+—.

I3j

所以函数/(x)的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为

71

/(x-m)=cos2(x-m\\+—=cost2x-2m+y1,

)3

jrjrKTT

因为关于7轴对称，所以——2m=hi,左eZ.所以m=---------,左eZ,又m>0,所以当k=0时,

362

71

m取最小值为二.

6

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”

成绩，并统计如下，则()

成绩(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]

频数61218302410

A.这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成

B.这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85

C.这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85

D.这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间

【答案】AB

【解析】

【分析】根据频数分布分析数据即可.

【详解】选项A：这100名学生的，综合体能测试”成绩高于80的学生人数为18+30+24+10=82,所以A

选项正确；

选项B：成绩不超过85的学生人数为6+12+18=36,所以B选项正确；

选项C：成绩分布在(85,90］的人数为30,但不一定成绩的众数为85,所以C选项不正确；

选项D：由于自(75x6+80x12+85x18+90x30+95x24+100x10)=89.2,所以D选项不正确.

故选：AB

10.在V4BC中,若内角4,B,C满足sin2N：sin28:sin2c=4:9:10，则()

A.cos5=^^B.60°<C<75°c.tan(Z+C)=—^^D.tan5+tan3Z=0

85

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理，结合三角恒等变换逐项求解判断.

【详解】设V45C内角/,B,C的对边分别为a,b,c,由sii?Z：sin?8:sin2c=4:9:10，

得sinN:sinB:sinC=a:c=2:3:VI5，不妨令a=2,b=3,c=VlO>

4+10—9Vio丁市

对于A,由余弦定理得cos8=-----,A正确；

2x2xV108

对于B,cosC=4+9-10cos75°=cos(45°+30°)=-(—--)=，C>75°,B

2x2x3422244

错误；

对于C,cos5=@0，2e(0,兀)，则sinB=Jl—cos?B=3屈，

88

tan(Z+C)=—tan8=—%=—士叵，C正确;

♦105

5,10+9-4V10,10,1

对于D,cos/=----,=—=-------，cos2/=2cos2A-l=2nx--l=—=cosC,

2xV10x34164

JT

又2Z,Ce(0,5),则2N=C,由/+8+C=7i,得32+8=兀，即5=兀一32,

因此tan8+tan3Z=0,D正确.

故选：ACD

11.在平面直角坐标系中，若M(X1,必)，N(x2,y2),则称“d=ki—X2|+|弘一%|"为跖N两点的“曼

哈顿距离”，若动点E到两定点E(0,-月(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值2a(a>c),则称

点£的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点尸为该“曼哈顿椭圆”上一点，则()

A.△尸£鸟的周长为2a+2cB.△尸片片面积的最大值为c(a—c)

C.该“曼哈顿椭圆”的面积为2(/一02)D.该“曼哈顿椭圆”的周长为4［、历。+(1-a)可

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及x轴和了

轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解.

【详解】设点P的坐标为(xj),

则P，片两点的“曼哈顿距离"dx=|x|+|v+c|,p,乙两点的“曼哈顿距离"d2=|x|+|j-c|,则

=2|X|+|J+C|+|J-C|,

易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点(0,0)及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x轴和〉轴非负半轴上点

的轨迹,

…=2x+2…2x+2y=2a.x>0,y>c

作曲线<

[2x+2c,x>0,0<y<c[2x+2c=2a.x>0,0<j<c

根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则4(0,。)，C(a—c,0),B(a-c,c),

对于A,B,当点尸与C重合时，△尸TA的周长为2+仅—c)2+2cW2a+2c,

此时△尸月片的面积最大为:x山鸟|x|OC|=c(a—c),故A不正确，B正确；

对于C,梯形OABC的面积为+忸|OC|=匚J,所以该“曼哈顿椭圆”的面积为

2112

2(a2-c2),故C正确；

对于D,又以创+\BC\—A/2(a-c)+c=+(1—V2)c,

所以该“曼哈顿椭圆”的周长为4［、历a+(l-血)可，故D正确.

故选：BCD.

小

Ic【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据“曼哈顿距离”的定义，表示出“曼

o\X

V

哈顿距离”，根据对称性画出图象求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

.,-1

12.已知向量万=(sin~a-1,-1),b=(l,cos2tz),若tana=—,则鼠6=.

7

【答案】一—

5

【解析】

【分析】由向量数量积的坐标表示以及同角三角函数商的关系计算求解即可；

【详解】依题意a-b=sin2a-l-cos2a=sin2«-1-(2cos2«-1)=sin2a-2cos2a

_sin2a-2cos2a_tan2a-2_7

sin2a+cos2atan2a+15

7

故答案为：-一.

5

13.将分别标有数字1,2,3,4,5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从

袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大

乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸

球上的数字为.

【答案】3

【解析】

【分析】阅读题意，再结合合情推理即可得解.

【详解】若甲摸出的球上面的数字为1或5,则可以推断两人摸出球上面数字的大小，

所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；

同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；

若乙摸出的球上面的数字为2,甲摸出的球上面的数字可能为3或4,此时乙可判断大小；

若乙摸出的球上面的数字为4,甲摸出的球上面的数字可能为2或3,此时乙可判断大小，所以乙摸出的

球上面的数字为3.

故答案为：3.

14.已知函数/(x)满足：VXGR,/(x-1)+6>/(x+5),/(x+l)-3>/(x-2),若/(3)=2,则

7(2025)=.

【答案】2024

【解析】

【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出/(x)>/(x-3)+3,再赋值法结合应用不等关系计算求解即

可.

【详解】依题意，因为/(x—l)+6»/(x+5),则/(x)+62/(x+6),

令x=-3,则/(—3)+62/⑶，因为/(3)=2,所以/(—3)2—4,

又因为/(x+D—32/(x—2),则/(x)—32/(x—3),即/(x)3/(x—3)+3,

令x=0,则/(0)2/(—3)+3,即/(0)2-1,

令x=3,则/⑶-32/(0),所以/(0)4—1,故得〃0)=-1,

又/(2025)=/(2019+6)</(2019)+6</(2013)+6+6<

…<”3)+337x6=2024；

又“2025”/(2025-3)+3=/(2022)+3>/(2019)+3+3>•••

>/(O)+675x3=-l+2025=2024,

所以2024</(2025)<2024,即/(2025)=2024.

故答案为：2024.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对赋值法及不等式的综合应用.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.若数列｛4｝的前n项和为S”,且%〉0,a；-2Sn+%=0.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若〃=至，数列｛4｝的前"项和为北，证明：Tn<~.

【答案】(1)an=n

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用S,和％的关系求解即可；

(2)利用错位相减法求解即可.

【小问1详解】

当〃=1时，a；-2S]+%=0,%=1,

因为片一2s“+a”=0,当"22时，-2Sn_1+an_{=0,

两式作差得：a：-2Sn+an—(%t—2S_i+%_J=0,

即a：-ah-an-an_x=0,故{an+an_(){an-an_x-1)=0,

又因为4〉0,所以aa=1(〃N2),且%=1

所以%=〃.

【小问2详解】

由(1)可知，bn=—,

.,123n-1n

故(——I—7H—TH---1-----H-----,

"332333〃T3〃

12n-1n

=---1----F

3233F，

211111nA。—A

两"式"作付差得..—3T"=-33-"----3-用--=-,1

1-----

3

所以北=；(3-12)，因为罗〉0,所以(<1.

16.已知函数/(x)=(x-a)ln(x+l).

(1)若a=0,证明：/(x)>0;

(2)若存在过点(-1,0)的直线与曲线y=/(x)相切，求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(-00,-e2-1]U(-1,+«2)

【解析】

【分析】(1)利用导数只需证/(x)mm20即可；

(2)设切点为(%,%),求出切线方程为=/'(%)(Xf),又切线经过点(-1,0)得

1ln(xn+1)—1InX—1

(x0-a)ln(x0+1)=(l+x0)ln(x0+l)+x0-aBP------=-------,-,令g(x)=-------,利用导数求

Q+1Xo+1x

g"x，只需—♦平(X)max即可•

【小问1详解】

当a=0时，/(x)=xln(x+l),xe(-l,+co),

x

贝If\x)—ln(x+1)H-----,xG(―1,+00),

x+1

Y11x+2

令/z(x)=ln(x+1)+----,XG(-l,+oo).则h'(x)=-----+-_-y=-_-y>0,

x+lX+l(x+l)"(x+l)-

所以函数〃(x)在(-1,+8)上单调递增，

又力(0)=0,所以当xe(—1,0)时,h(x)<0,即/'(x)<0,

所以函数/(X)在(-1,0)上单调递减；

当xe(0,+8)时,h(x)>0,gpf\x)>0,所以函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

所以当x=0时，/(^)min=/(0)=0>所以/(X)》/(“„疝=5

【小问2详解】

设过点(-1,0)的直线与曲线y=/(x)相切于点(X。,%),

八x)=ln(x+1)+二^,贝I]/Vo)=Ing+1)+配一,

x+lx0+1

则切线方程为广%=/'(%)(xf),又该切线经过点(—1,0),所以0-%=/'(%)(—1-%),

+1

即一(%-。)3%)=[ln(x0+1)+^-^](-l-x0).

%+1

整理得(x0-a)ln(x0+1)=(1+x0)ta(x0+1)+x0-a,

即XQ+(1+a)1H(XQ+1)—<2=0,即+1+(1+a)ln(Xg+1)—(a+1)=0,

即[ln(xo+l)-l](a+l)=—(xo+l),显然当a+l=O时，不合题意;

.1ln(x+1)-1lnx-1,、..2-lnx

则n-----r=-----0--.—，令g(x)=------，xe(0n,+oo),则ng(x)=——-—

1

a+1x0+xX-

当xe(0,e2)时，g'(x)>0,函数g(x)在(04)上单调递增;

当xe(e2,+oo)时，g'(x)<0,函数g(x)在(e2,+oo)上单调递减；

所以函数g(x)在x=e之时取得最大值g(e2)=4,

e

且当xf0时，g(%)-—8,当X—+8时，g(%)f0,所以g(x)«4_,

e

即———<4-解得。>一1或aW—e?—1，所以实数。的取值范围为(一叫―e2—1]U(—1,+s).

<2+1e'

17.某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了

调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调

查，并得到如下2x2列联表:

单位：人

性别

满意程度合计

男生女生

满意120

不满意150

合计200

(1)请补全上面的2x2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关

系；

(2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至

少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为2,y,y,3道试题答对与否互不影

322

响.

(i)用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；

(ii)记有"人进入总决赛的概率为尸(〃)，求尸(〃)取最大值时"的值.

小2n(ad-be)2"上

附：Z=---------------------------------------，其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】(I)列联表见解析，推断犯错误的概率不大于0.001

35

(2)(i)—；(ii)12

3

【解析】

【分析】(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可；

(2)(i)由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的

数学期望公式进行计算即可；(ii)写出尸(〃)的表达式，列出不等式组进行求解即可.

【小问1详解】

2x2列联表如下：

单位：人

性别

满意程合

男女

度计

生生

满意12030150

不满意8070150

合计200100300

零假设为名：满意程度与性别无关，ZU。：；。嚷靠鼠-4—

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断〃。不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯

错误的概率不大于0.001.

【小问2详解】

(i)依题意，设4="答对第，道题””=1,2,3)；B="某同学进入总决赛”,

则尸(4)=：,P(4)=1.尸(4)=；，

3乙乙

所以尸尸

P(B)=P(A1A2A3)+(4H4)+(444)+0(444)

21121八1、2八1、1八2、117

=-X—X——I——X—X(1)H——X(1)X——1-(1)x—X—=—,

32232232232212

7735

依题意，X〜8(20,丘■),所以E(X)=20XQ=§；

(ii)依题意,〃=0,1,2,…，20,

77

C2oX(-rx(l--)2O-->C-'

若尸(〃)最大,

则77

qox(-yx(i--)2O-^c^

解得一V〃W一,因为〃£N*，所以〃=12,

44

所以尸(〃)取最大值时〃的值为12.

71

18.如图，在三棱锥尸—Z5C中，AP=AB=AC,。为8c上一点，ZABC=ZDAC=~,

6

ADLPB.

(1)证明：平面尸45,平面N2C；

(2)若PB=BC,AB=2,求：

(i)三棱锥尸-Z5C的体积；

(ii)平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

所

⑵(i)1；(H)

7

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明；

(2)(i)过点P作尸于。，由(1)可知，点尸到48的距离即为点尸到平面48c的距离，结

合三棱锥体积公式计算即可求解；(ii)连接OC,以OB,OC,。尸所在直线分别为x,丹z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法即可求解面面角的余弦值.

【小问1详解】

在V/3C中，AB=AC,ZABC=~,所以NNC5=百，所以NA4C=女，

663

IT7T

又/。/C=—,所以=—,即

62

又因为40,尸8,ABcPB=B,所以40,平面尸48,

又4Du平面4BC,所以平面尸481.平面48c.

【小问2详解】

(i)因为尸8=5C,所以A4BC三A4BP,则/尸48=与，NAPB=三

36

?V3

ABsmZPAB

所以在中，PB==_/_=26，

sinZAPB1

2

如图，过点尸作尸于0,P0=PB-sin-=2y/3x-=y/j

62

由(1)可知，点尸到43的距离即为点尸到平面45。的距离，

所以三棱锥尸—46C的体积％=gx(gx2Gxl)x百=1.

(ii)如图，连接OC,则。。人。2,OC=—AC=43，

2

以05,OC,。尸所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

当，所以。(1,孚,0),

则8(3,0,0),C(0,V3,0)，尸(0,0,6),4(1,0,0)，又BALAD,AD

P2=(1,0,-V3)-丽=(1,孚，—6)，丽=(3,0,一百)，

设平面PAD的法向量为力=(x,J,z),

PA-u—x—VJz=0,

则__.2J3r-令z=也,则x=3,>=0,所以"=(3,0,百)，

PDH=x+y-V3z=0

3?

设平面P8C的法向量为旧=(加7,/),

PB-v=3m—Gt—0,

则一.2也l令，=