2025高考数学二轮复习：解三角形

微专题2解三角形

［考情分析］解三角形主要考查一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角

形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，中等难度.

考点一正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在AA5c中，色二—也二二=2R（R为AA5c的外接圆半径）.

smAsmBsinC

2.余弦定理：在AAB。中，,bz=a1+c1-2accosB,c1-a1-^-b1-labelsC.

3.三角形的面积公式：S=36sinC=%csin8=5csin4

例1（1）（2024.河南省九师联盟模拟）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若念=1

sinC,a=3,b=2y/2,贝！Jsin5的值为（）

sinA+sinB

A.-B.-

25

c.—D.四

23

答案D

解析由高=1高翟力及正弦定理，

得看=1-媪，可得/+C

b2+c2-a2

由余弦定理得COSA二1

2bc~2

又0<A<7l,

所以又a=3,b=2近,

ab

由

sinAsinB

bsinA_y[6

得sinB=-

a3

（2）（2024•广州模拟）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=3,b=2,NA4c的平分线

A。的长为半，则BC边上的中线A"的长等于（）

A.且B”

23

c.姮D”

43

答案A

解析由题意知，ZBAD=ZCAD=a,贝U/5AC=2a,如图所示，

整理得3sin2a=2V6sina,

即sinoc(3cosa-V6)=0,

又因为sin存0,所以cos。二手,

所以cos2a=2cos2a-l=|,

由AH是8C边上的中线，

得用专须+宿，

AH2=^(AB+ZC)2

W(AB2+AC2+2AB-AC)

=^b2+c2+2bccos2a)

=^(b2+c2+1bc)

=*2+32+2x3x|)

=l(4+9+4)=y.

所以中线乎.

［规律方法］(1)三角形边角转化的主要策略

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.

(2)解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性

质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.

跟踪演练1(1)(2024•广州统考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若除萼，则^

cztanc

ABC的形状是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案C

解析在△ABC中,由之岑及正弦定理，

"tanC

2sin8

得笔=箍,而sin00,sinB>0,

sm2csine

cosC

整理得sinBcosB=sinCeosC,即sin2B=sin2C,而0<B<n,0<C<n,

则0<2B<2?t,0<2C<2TT,

因此23=2C或2B+2c=兀,

即8=€：或3+。=三,

2

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

（2）（2024•杭州模拟）若尸为等边△ABC内一点，ZBPC=90°,ZAPC=150°,贝！Jtan/PCA等于（）

BT

D.2-V3

解析设AABC的边长为2.

如图，设NPCA=a,在Rt△尸3c中，PC=BCcos(60°-a)=2sin(a+30°),

4C_PC

在△PCA中由正弦定理得

sinz.APCsin乙PAC

。)

即2_2sin(a+30

sinl50°sin(30°-a)

化为cosi=3百sina,所以tana=—.

9

考点二正弦定理、余弦定理的综合应用

例2在△ABC中，角A,B,C所对的边分别记为a,b,c,且tanA(cosC+sin3)=cos3-sinC.

⑴证明：A+2B=|；

⑵若a=2,求6+c的取值范围.

(1)证明因为tanA(cosC+sinB)=cosB-sinC,

所以釜%C+sinB)=cosB-sinC,

HPsinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cosAsinC,

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB-sinAsinB,

所以sin(A+C)=cos(A+B),

即sin3=sin(]+4+5),

又A£(0,兀),Be(0，兀),

所以B—+A+B或B+-+A+B=TI,

22

即A呷舍)或A+2*,

所以A+23成

⑵解由(1)得A+2B=5,

因为，-二上一工,

sinAsinBsinC

所以j_asinB_2sinB_2sinB_2sinB

sinAsinAsin(/_2B)cos2B'

_asinC_2sinC_2sin(5+B)_2cosB

sinAsinAsin管-2B)cos2B1

l।_2(sinB+cosB)_2(sinB+cosB)_2_V2

✓m\iJDu।CQ,Q./TT、，

cos2BcoszB-smzBcosB-smBcos\B+-^]

0<B<

0<B—2B<n,得0<B<=,

{0<]+B<IT,

所以,

442

所以0<COS(B+^)<y,

所以6+c的取值范围为(2,+oo).

[规律方法]解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略

(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将与他相互转化求最值或范围.

(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.

跟踪演练2(2024・南充模拟)在①2csinBcosA=b(sinAcosB+cosAsinB)；②sin2JB+sin2C+cos2A-

1=sin(A+B)sin(A+C)；③也也詈詈吧出着sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解

答问题.

在△A3C中，内角A,B,。的对边分别为①b,c,且满足.

⑴求A；

(2)若3c的面积为16祗，。为AC的中点，求AD的最小值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)若选择①：2csinBcosA=b(sinAcos5+cosAsin5),

由正弦定理可得2sinCsinBcosA二sinBsin(A+B)=sinBsinC,

又C£(0,兀)，B£(0,兀)，故sinC#0,sinB柳,

cos,又Ae(0,兀)，故A=^.

若选择②：sin2B+sin2C+cos2A-l=sin(A+B)sin(A+C),

则si/B+sin2csin2A=sin(A+3)sin(A+0=sinCsinB,由正弦定理可得Z?2+c2-^2=Z?c,

又A£(0,兀),故皙

bsinB+csinC-asinA2..

右选择③：-----不靛------=V5sinA，

由正弦定理可得二a2=]sinA,

2bc73

再由余弦定理得cosA=4sinA,即tanA=V3,

V3

VAG(0,71),：.A=^.

(2)SAAsc-|c/?sinA=16V3,又A、,.\cb=64,

2

在△AW中，由余弦定理得必二砂十^^始加叱8=H十仁)-2C-1-COS

=c2+---cZ?^2lc2•—--cb=-cb=32,

427422

当且仅当等=4/时取等号，

."D的最小值为4V2.

考点三解三角形的实际应用

解三角形应用题的常考类型

（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解

够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程

（组）得出所要求的解.

例3（1）（2024・临沂模拟）在同一平面上有相距14千米的A,3两座炮台，A在3的正东方向.某次演习

时，A向西偏北。方向发射炮弹，3则向东偏北。方向发射炮弹，其中。为锐角，观测回报两炮弹皆命

中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北£方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点则3炮台

与弹着点〃的距离为（）

A.7千米B.8千米

C.9千米D.10千米

答案D

解析结合题意作出图形，AC=BC=18,AB=14,ZCBA=ZCAB=e,ZMAB=^,

在△ABC中，由余弦定理得

八182+142-1827

cos0=-------------=——,

2X18X1418

m、［1+cos。25口6c

因为COS-=-----=—,且COS->o,

22362

所以COS,

26

在△ABM中，由余弦定理得

e5142+182-MB2

cos-二一二------------------------,解得MB=10.

262X14X18

（2）（2024•南京模拟）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树

根部C在同一水平面的A,3两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60。的方向上，沿正西方向步行

40米到3处，测得树根部C在北偏西15。的方向上，树梢。的仰角为30。，则红豆树的高度为（）

人.10①米B.20K米

C.—米D.—米

答案D

解析依题意可得如图图形，

在△ABC中，ZBAC=90°-60°=30°,ZACB=75°-30°=45°,AB=40,

由正弦定理得BC40

sin30°sin45°

Eg40X^f—

解得BC=T=2M,

2

在RtABCD中，ZCBD=30°,

所以CD=BCtan30°=20V2x^=^,

所以红豆树的高度为竽米.

［规律方法］解三角形实际问题的步骤

［分析H理解题意，分析已知与未知，画出示意图)

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量

隹西卜尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三

角形的模型

［求解H利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解］

检验上述所求出的解是否具有实际意义，从而

士R得出实际问题的解________________________

跟踪演练3(1)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度

为15。，向山顶前进100m到达3处，又测得C对于山坡的斜度为45。，若CD=50m,山坡对于地平

面的坡度为0,则cos9=.

答案V3-1

解析在AABC中,ZACB=45°-15°=30°,

由正弦定理知BCAB

sinz.BACsinz.ACB

100X^2

ABsinz.BAC

故BC=4

sinz.ACB1

2

=50(V6-V2),

BC_CD

在△BOC中，

sinzBDCsinz.DBC

4^50(V6-A/2)_50

/•sinZBDC=V3-1,

sinz.BDC返

2

即sin(0+9O°)=V3-l,即cos6»=V3-1.

(2)(2024•黄冈模拟)“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.

李时珍是湖北省新春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著

《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的新春县独山修建了一座雕像，如图

所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A,B,C,分别测得雕像顶的仰角

为60。，45°,30°,且A3=3C=等米，则雕像高为米.

答案20.1

解析如图所示，设雕像的高为PO=h,

因为地面上选取共线的三点A,B,C,分别测得雕像顶的仰角为60°,45°,30°,

则。4=弓〃，OB=h,0C=®,其中08为△OAC的中线，

在△0A8中，由余弦定理得。42=OB2+AB2_2OBA8COSNOBA,

在△OBC中，由余弦定理得OCZnO3+BcZ-ZOBBCcosm-NOBA),

两式相加，可得OA2+OC2=2OB2+AB2+BC2,

fiP(y/I)2+(V3/Z)2=2/?2+2AB2,

解得经纪20.1(米).

2210v7

专题强化练

（分值：90分）

IE素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024.赣州模拟）在△A3C中，AB=y/7,AC=2,C=120°,则sinA等于（）

A2B.叵

1414

C5ac3VH

C.L）.----------

1414

答案B

解析'：AB=y/7,AC=2,C=120°,

，由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACCOSC可得BC2+2BC-3=0,

解得BC=\或3C=-3（舍去），

由正弦定理可得sinA=^iH£=—.

AB14

2.在△A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-6=2as喏，则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形或直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

答案B

解析2m

二〃-acosC,

故b=acosC,

由正弦定理得sinB=sinAcosC,

其中sin3=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC,

故cosAsinC=0,

因为C£（0,兀），所以sinC^O,故cosA=0,

因为46（0,兀）,所以4=],

所以△ABC的形状为直角三角形.

3.（2024•西安模拟）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且△A5C的面积52*士日=上,

64sinB

则sinC等于（）

A三B二

46

V13V13

C.-----D.

46

答案C

解析由余弦定理可得公/+c2_2AccosA,

所以Z?2+c2-tz2=2Z?ccosA,

贝ij5=d+c~a=-bccosA.

63

又因为S=|/?csinA,艮IlfcsinA=步ccosA,

所以3sinA=2cosA,显然cosA>0,又sin2A+cos2A=l,所以cosA备负值舍去）•

所以S=4^bc,

又因为S=-^--,所以上加=三,

4sinBV134smB

所以旦=j=，

sinBV13sinC'

所以sinC=—.

4

4.（2024•赤峰模拟）为了测量被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式，测量

人员从山脚开始，直到到达山顶.分段测量过程中，已知竖立在8点处的测量觇标高20米，攀登者们在A

处测得到觇标底点8和顶点C的仰角分别为45。，75°,则A,8的高度差约为（）

C

A.7.32米B.7.07米

C.27.32米D.30米

答案A

解析根据题意画出如图的模型，则8c=20,N048=45。，ZOAC=15°,

c

所以NC43=30°,ZACB=15°,

在△ABC中，由正弦定理可得

sinz.CABsinC

可得BCsinC20xsinl5°

sinz.CABsin30°

20xsin（45。-30°）

所以在RtZXAOB中，BO=ABsin45°=（10V6-10V2）Xy=10V3-10-7.32（7K）.

5.（2024•全国甲卷）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=:b2^34-ac,则sinA+sinC

34

等于（）

D等

答案C

解析因为B=^,b'=-ac,

则由正弦定理得sinAsinC=-sin2B=-.

93

由余弦定理可得，

b1=a1+c1-2accosB=a2+c2-ac=^-ac,

根据正弦定理得

sin2A+sin2C=—sinAsinC=—,

412

所以（sinA+sinC）2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=^,

因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0,

贝!]sinA+sinC=，.

6.（2024・聊城模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,ZB=2ZD=120°,记△ABC与△ACD的面积

分别为Sl，S2,则S-Si的值为（)

A.2

C.1

答案B

ab2+bc2ac2

解析在△A3C中,由余弦定理得cosb=-,即工匕空二”1,

2AB,BC24BC

得BC2-AC2=-2BC-4,

在△ACD中，由余弦定理得

AD2+CD2-AC2

cosD=

2ADCD

□l4+CD2-AC2

即n一二---------

24CD

得CZ>2-AC2=2CD-4,②

又Si=|AB-BCsin120°=yBC,

S2=^ADCDsm60°=yCZ>,

所以S2-SI[CD弓BC】(CD-BC),③

2

由②-①，得CD--BC=2(CD+BQ,由CD+BOO,得CD-BC=2，代入③得S2-SI=V3.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2024•兰州模拟）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化

完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有（）

A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角a,p,再测量A,3两点间距离

B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端

的仰角a和£

C.在地面上任意寻找一点4测量旗杆顶端的仰角a,再测量A到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角/3

答案BCD

解析对于A,如果A,8两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；

图1

对于B,如图1,在△43。中，由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=h+ADsmp，故B正确；

对于C,如图2,在中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高OC=ACtana，故C正确；

A

对于D,如图3,在△ABD中,由正弦定理求AO,则旗杆的高CD=ADsina,故D正确.

8.（2024・郑州模拟）已知△48C的内角AB,C所对的边分别为a,6,c,若皿,且余力康则

下列结论正确的是（）

A.44BC的三边a,b,c一定构成等差数列

B.△ABC的三边a,b,c一定构成等比数列

《△A3C面积的最大值为2g

□.△ABC周长的最大值为6V2

答案BC

111

解析在△ABC中，由---二----1-------

sinBtanAtanC

得sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.

所以sin8修+sinAsinC

\C0Si4C0Si4cosC

所以sinB(sinAcosC+cosAsinC)二sinAsinC,

所以sinBsin(A+Q=sinAsinC.

又A+B+C=7T,所以sin(A+C)=sinB,

所以sin2B=sinAsinC.

由正弦定理得b2=ac，即〃"，c成等比数列.

取a=2,c=4适合题意，但此时三边a,6,c不构成等差数列，A错误，B正确；

由心双及余弦定理得cos2竽竺=：当且仅当a”时取等号）.

2ac2ac2

因为0<B<7T,所以

所以B^—.

0<sin2

又b=2y[2,所以ac=b2=S,

所以△ABC的面积S=^acsinB^|x8Xy=2V3,C正确；

由b1=cr+c1-2accosB及ac=b'=S,

可得8=(a+c)2-2oc-2accosB,

即8=(<2+C)2-16-16COSB,

所以(a+c)2=24+16cosB.

因为,

所以32<m+c)2=24+16cosB<40,4V2^a+c<2V10,

所以6V2a+Z?+c<2V10+2V2,D错误.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2024.安徽省皖北五校联盟联考）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=f,c=3,

相左=3,则就扁=

答案w

解析因为A,为锐角三角形，sin,所以4=60。，

^AB-AC=cbcosA=3,得6=2,

由余弦定理可得2+/3CCOSA=7,即a母,由正弦定理可得就嬴啧告字

2

10.（2024・六安模拟）在3c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且gsing^=sinC,若c=7,。是

边AB的中点，且CDLC8,则CD的长为.

答案子

解析在△ABC中，由A+B+C=n,

.IT—CC

可得sin等=sin----二cos-

22

因为V^sin^^二sinC,

®V3cos-=2sin-cos-,

222

因为0<C<7i,则0<|<^,

所以cos|^0,

故singt",

22

所以,则C专

233

因为。是边A3的中点，所以S^ADC=S^BCD,

XZACB=—,CDLCB,

3，

所以NOCAW,

6

1TT*1

^-b-CDsm-=-a-CD,故b=2a.

262

由余弦定理得c2=a2+b2-2abco^-=a2+b2+ab=la2,

故c-yHa,因为c=7,所以a=y/7,b=2小.

在RtABCD中,BD=-=-=^-,

222

BC=a=中,

所以CD=y/BD2-BC2=，即CD的长为学.

四、解答题（共28分）

11.（13分X2024.新课标全国I）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=&cos8,

a2+b2-c2=y/2ab.

⑴求&（5分）

（2）若△人与。的面积为3+百，求c.（8分）

解⑴由余弦定理有/+层C2=2HCOSC,

因为a2-^-b2-c2=V2ab,

所以cosC=Y，

因为C£（0,7i）,所以sinC>0,

从而sinC=V1—cos2C=J1—（?）=y-,

又因为sinC=V2cosB,

即

cosB=2-,

又3£(0,兀)，所以B.

(2)由(1)可得B=^,cosC*,Ce(0,71),

从而C=^,sinA=sin(B+C)=sin(]+B)

V3V21V2V6+V2

二一x—i—x一=-------.

22224

方法一由正弦定理有当=人，

sin-sin-

34

从而Z?=Y,V2C=YC>

由三角形面积公式可知，

△ABC的面积可表示为S/\ABc=^bc-SinA

1V6V6+V23+V39

=---C-C-----=----C,

2248

由已知AABC的面积为3+V3,

可得过a2=3+75,所以C=2V2.

8

方法二记我为△ABC外接圆的半径，

由正弦定理得

S^ABc=^ab-sinC=27?2sinAsinBsinC

=2H2迎+鱼V3V2

—422

=--7?2=3+V3.

4

所以R=2.

所以c=2R.sinC=2X2X^=2V2.

12.(15分)(2024・济南模拟)如图，已知平面四边形ABC。中，AB=BC=2y[2,CD=2fA£>=4.若A,B,C,D

四点共圆.

B

A<C

D

(1)求AC；(6分)

(2)求四边形ABCD面积的最大值.(9分)

解⑴在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+3C2-2AB3CCOSNA3C

=8+8-2x8xcosXABC=16-16cosAABC,

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AZ)2+C£)2_2A£).C£)COSNAOC

=16+4-2x8xcosXADC=20-16cosAADC,

因为A,3,C,。四点共圆，所以乙43C+NADC=7r,

因此cosZADC=-cosZABC,

上述两式相加得2AC2=36,所以AC=3VI(负值已舍去).

(2)由(1)得16-16cosZABC=20-16cosZADC,

化简得COSNADC-COS/ABC=L,

4

则cos2ZADC-2COSZADCcosZABC+cos2ZABC=—,①

16

四边形的面积

ABCDS=2-ABBCsinZABC+-2AD-CDsinZADC

=|x2V2x2V2sinZABC+|x2x4sinXADC

=4(sinZADC+sinZABQ,

整理得sinZADC+sinZABC=-,

4

q2

贝ijsin2/Ar>C+2sinNADCsinNA5C+sin2/A3C=J,②

16

-1IQ2

①②相加得2-2(cosNADCcos/ABC-sin/AOCsin/ABC)=^^,

16

-i_i_c2

即2-2cos(NAOC+NABC)=U,

由于0<NADC<兀，Q<ZABC<n,

当且仅当NAOC+NA8C=7T时，cos(NADC+NABC)取得最小值-1,

此时四边形ABCD的面积最大，由空=4,解得S=3V7,

16

故四边形ABC。面积的最大值为3V7.

IW思维创新

每小题5分，共10分

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SE0M=