2025高考数学第二轮复习专练：数列的综合

2025版新教材高考数学第二轮复习

6.5数列的综合

五年高考

高考新风向

(创新考法、新定义理解)(2024新课标/,19,17分滩)设m为正整数，数列⑶处…以.+2是

公差不为0的等差数列，若从中删去两项0和切(吃)后剩余的4机项可被平均分为m组，且

每组的4个数都能构成等差数列，则称数列内曲,...，如+2是(4)-可分数列.

(1)写出所有的(ij),lWK/V6,使得数列ai,a2,...,ae是可分数列;

⑵当m>3时，证明:数列ai,42,...,“4,”+2是(2,13)-可分数列；

(3)从1,2,…,4机+2中一次任取两个数z和。勺),记数列me,...,a4M+2是(〃)-可分数列的概

率为证明:PQ；.

8

考点数列的综合

1.(2023新课标〃,18,12分，中)已知｛所｝为等差数列,瓦』0n一6工为警记S,4分别为数

为偶数.

列｛丽｝,｛况｝的前n项和S=32,T3=16.

⑴求｛为｝的通项公式；

⑵证明:当n>5时,4>Sm

2.（2022新高考/,17,10分，中）记S”为数列｛板｝的前n项和，已知m=1,修｝是公差为己的等差

数列.

⑴求｛为｝的通项公式；

⑵证明:工+」+…+工＜2.

。2

3.（2021全国乙文,19,12分，中）设｛劣｝是首项为1的等比数歹！J,数列｛瓦｝满足力产等.已知

Qi,3a2,9。3成等差数列.

(1)求｛以｝和｛瓦｝的通项公式；

(2)记S,和4分别为｛斯｝和｛瓦｝的前n项和.证明:力考.

4.(2021浙江,20,15分，中)已知数列｛厮｝的前n项和为S⑷=《,且4s〃+1=3的-9(“£2).

⑴求数列｛板｝的通项公式；

(2)设数列｛为｝满足3况+04)以=0(〃£N*),记｛瓦｝的前n项和为若对任意“GN*

恒成立，求实数丸的取值范围.

5.(2023天津,19,15分，难)已知｛飙｝是等差数列,。2+公=16,。5-。3=4.

2n-l

⑴求｛an｝的通项公式及左=2吁1的(aNW*).

(2)设｛瓦｝是等比数列，且对任意的左©N*,当2"勺区2勺1时也＜服＜"i.

①当k＞2时，求证:2仁1＜从＜2"+1;

②求｛瓦｝的通项公式及前n项和.

三年模拟

练思维

1.（2024甘肃二诊,17）设数列｛如｝的前n项和为Sn,ai=l,2S„=n2+n（n^N*）.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设数列｛瓦｝的前n项和为且b”=「\_，求799；

Van^~-\/an+l

⑶证明:盍+盍+忌+•••+/冷

2.（2024江苏盐城六校联考,18）已知｛丽｝是首项为1的等比数列,｛从｝是首项为2的等差数

歹U,a3=b2且a4=bi+b3.

⑴求｛丽｝和｛瓦｝的通项公式；

⑵将｛词和｛况｝中的所有项分别构成集合A,3,将AU3的所有元素按从小到大的顺序排列

组成新数列｛圆｝,求数列｛c〃｝的前50项和&（）;

⑶设数列｛a｝的通项公式为dn=\bn4/国qzEN*,记｛4｝的前n项和为T”,若

+2,”为偶数,

372„-i>22n+1+3«M4对任意的“GN*都成立，求正数t的取值范围.

3.(2024江苏连云港灌云高级中学模拟)设S”是数列｛m｝的前n项和，已知

(Ia+n,n为奇数,

ai=l,an+i=\zn

an-2n,n为偶数.

⑴证明｛3-2｝是等比数列，并求｛g｝的通项公式；

⑵证明:当n>2时,。2仑S2”.

4.(2024福建三明质量检测,18)已知数列｛&“｝满足0a2..5一15=(/)小+”,〃@2.

⑴求数列｛板｝的通项公式；

(2)设数列｛丽｝的前n项和为S”,若不等式61)〃祝-14^^对任意的“6N*恒成立，求实数t的

取值范围；

⑶记万尸康，求证管+甘…+罟或（心*）.

练风向

1.（新定义理解）（多选）（2024安徽安庆二模,11）满足0=2e=1,即2=念+1+斯（“©1^*）的数列｛4〃｝

称为卢卡斯数列，则（）

A.存在非零实数/,使得｛斯+1+3｝（“©N*）为等差数列

B.存在非零实数/,使得｛a/i+fa^S©N*）为等比数列

C.3an+2=an+4+an（nGN*）

2024

D£=i023-3

2.（新定义理解）（2024浙江温州第二次适应性考试,18）数列｛或｝,｛为｝满足:｛瓦｝是等比数

列力1=2,<72=5,且<7必1+<72。2+…+<7"瓦=2（。"-3）。”+8（〃©N*）.

⑴求an,bn,

（2）求集合A=｛尤［8由）0。。=0,运2〃/£N*｝中所有元素的和;

⑶对数列｛盘｝,若存在互不相等的正整数匕次2,...A侬2）,使得c的+皿+…也是数列出｝

中的项，则称数列｛为｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛•｝,｛况｝是不是“和稳定数列”.若是,

求出所有j的值;若不是，说明理由.

3.（新定义理解）（2024山东泰安一模,19）已知各项均不为0的递增数列｛或｝的前n项和为Sn,

且。1=2,。2=4,斯斯+1=25“（5"+1+5”-1-2品）（〃£N*,且«>2）.

⑴求数歹!]｛2｝的前n项和Tn.

⑵定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”.证明：

①对任意k<5且左©N*,存在“G-数列”｛加｝，使得bk<ak<bk+i成立；

②当k>6且左©N*时,不存在“G-数列”｛面,使得cm<am<cm+i对任意正整数m<k成立.

4.（新定义理解）（2024河南洛平许济质量检测,19）定义1进位制:进位制是人们为了计数

和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十二

进一，就是十二进制;满六十进一，就是六十进制;等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几

进制的基数就是几,一般地，若左是一个大于1的整数，那么以上为基数的左进制数可以表示

为一串数字符号连写在一起的形式

anan-\...aiao（k）（an,an-i,...,ai,aoGNfi<an<k,O<an-i,...,ai,ao<k）.k进制的数也可以表示成不同位

上数字符号与基数的累的乘积之和的形式.如7342⑻=7x83+3x82+4x81+2x8°.

定义2三角形数:形如1+2+3+...+机，即1・（加+1）（机©N*）的数叫做三角形数.

⑴若叱二3是三角形数，试写出一个满足条件的a的值；

"个a（9）

⑵若nn1（*）是完全平方数，求k的值；

⑶已知c〃=11...1，设数列｛c〃｝的前〃项和为证明:当”>3时$>生了.

⑼2

6.5数列的综合

五年高考

高考新风向

(创新考法、新定义理解)(2024新课标/,19,17分滩)设m为正整数，数列0加…川*2是

公差不为0的等差数列，若从中删去两项。和勾(吃)后剩余的4m项可被平均分为m组，且

每组的4个数都能构成等差数列，则称数列0曲,…⑷加+2是(冰可分数列.

⑴写出所有的(ij),lWgV6,使得数列(21,tZ2,...,<76是可分数列；

⑵当m>3时，证明:数列⑶血…,a4m+2是(2,13)-可分数列；

(3)从l,2,...,4m+2中一次任取两个数i和/(力),记数列。1,。2”.—+2是(4)-可分数列的概

率为证明:Pfn>j.

解析(1)(1,2),(1,6),(5,6).

理由:数列41,“2,…,。6中删去。1,。2后，数列是等差数列，所以数列…,。6是

(1,2)-可分数列，同理数列Q1/Z2,…,06是(1,6)或(5,6)-可分数列.

(2)证明:帆=3时，

成等差数列；

的,〃6,。9,。12成等差数列；

成等差数列.

m>4时，从05开始每连续4项成等差数列,05前12项分组同上，

即—47,010成等差数列;

03,06,09,012成等差数列；

05,08,011,014成等差数列；

ai5,ai6,ai7,ai8成等差数列；

(24m-1,tZ4m,6Z4m+1,6Z4m+2成等差列.证明毕.

⑶证明:从4m+2个数中任取两个数i和刀勺)有C乳+2=8加2+6加+1种，

①首先证明(4p+1,4q+2)(/?<q)一定符合题意,p,q£N,且q<m.

4/2+1与4q+2之间有4q+2-(4p+l)-l=4(q-p)个数,按从小到大的顺序每4个一组.

4/2+1前的4P个数按从小到大的顺序每4个一组.

初+2后的4(力/个数按从小到大的顺序每4个一组.

故(4p+1,4q+2)(0g〈把用)的不同取值有C^+1+(m+1)=#加2+3加+2)种.

②其次证明(4p+2,4q+1)(/?<饮1)一定符合题意,£N,且q<m,

4/2+1前的4P个数,按从小到大的顺序每4个一组，

4q+2后的4(用-/个数按从小到大的顺序每4个一组，

对4p+l,4p+2,4/7+3,…,4q,4q+l,4q+2,一共有4(q-p)+2个数，

去掉其中第2个与第4(q-p)+l个数，即4“+2与4q+L

下面证明去掉后剩下的4(q-p)个数可以分成q-p组，每组4个数构成等差数列.

该证明实际上为⑵的推广.

令k=q-p>2,

4p+1,4p+1+k,4p+1+2左,4夕+1+3左成等差数列；

42+3,42+3+左,4/7+3+2左,4/7+3+3左成等差数列；

4P+2+左,4p+2+2£4/7+2+3匕4p+2+4左成等差数列，

得证,.•.②得证.

故(4p+2,4q+l)的不同取值有窿(m2_附种，

由①②，分组方法共有?"/+3〃2+2)+3m2_m)=?2冽2+27n+2)=兀2+"计1种,

hm2+m+l12m+7八.八1

叩----------=---------->0,••Pm>~.

8m2+6m+l88(87n2+6m+l)8

考点数列的综合

1.(2023新课标〃,18,12分，中)已知｛服｝为等差数列,瓦/册一6了为了数记s〃,4分别为数

为偶数.

列｛丽｝,｛瓦｝的前n项和,54=32,乃=16.

⑴求｛斯｝的通项公式；

⑵证明:当n>5时,4>的.

解析(1)设数列｛或｝的首项为初公差为d,

a-6,n为奇数,

*.*bn=n/2=2。2/3=43-6,

2G.n为偶数,

又乃二16,且61+历+63=。1+2。2+。3-12=4〃2-12,

/.4<72-12=16,/.6/2=7,BP〃i+d=7,①

又S4=32,・・・4〃i+6d=32,②

由①②得ai=5,d=2,

Q〃=5+2(〃-1)=2〃+3.

(2)证明:乃〃=4+历+…+岳〃-1+岳+匕4+..・+历〃

=。1+。3+・・.+〃2%1-6〃+2。2+2〃4+.・・+2。2〃

=S2〃+〃2+.・・+侬-6〃

=S2〃+&詈立6,

=S2〃+2〃2-〃.

乃〃+1=小〃+62〃+1=52几+2〃2-〃+。2九+1-6=52九+1+2〃2-〃-6.

当n>l时,2-S2〃=2后心0,故不〃>S2〃,当n>2时，乃〃+i-S2九+尸2-6>0,故乃九+1>52九+1.综上，当

n>5时

2.(2022新高考/,17,10分，中)记S”为数列｛斯｝的前n项和，已知0=1,僵｝是公差为I的等差

数列.

⑴求｛a〃｝的通项公式；

⑵证明:工+2+...+三<2.

ala2an

解析(1)依题意得,S1=Q1=1,

=n+

—-+(n-l)x-=^?3Sn—(n+2)6Z«,

an133

贝!J3s〃+i=(〃+l+2)即+I=(〃+3)Q〃+I,

・・3S〃+i-3S九=(〃+3)。九+1-(〃+2)。小

即3an+1=(n+3)an+1-(n-\-2)an.

•••〃〃〃+i=(〃+2)o%即+1二竺£,

ann

由累乘法得—=S+DS+2)

1X2

T71・(71+1)0+2)

乂QI=1,・・a〃+i=-----------------,

2

「・〃〃='(；+i)(〃N2),又a\-\满足上式，

所丝罗(〃©N*).

⑵证明:由⑴知白品=2(：^)，

=2(---)+2(i-i)+...+2(---)=2(1--)=2—<2.

ara2an\12/\23/\nn+1/\n+1/n+1

3.(2021全国乙文,19,12分，中)设｛z｝是首项为1的等比数列，数列｛为｝满足为普已知

。1,3。2,9。3成等差数列.

(1)求｛〃"｝和｛仇｝的通项公式；

(2)记S,和T”分别为｛a.｝和｛况｝的前n项和.证明:〃有

解析(1)设等比数列｛劣｝的公比为q.

•「。1,3。2,9。3成等差数列，

6。2=。1+9。3.即6aiq=ai+9aiq1.

又•••｛z｝是首项为1的等比数列,

6q=l+9/,解得^i=^2=|,

nln-l

an=ai-q~=(^

*.<瓦=号\bn=n-Q).

⑵第一步:用等比数列前n项和公式计算Sn.

由等比数列｛为｝的首项和公比知，前〃项和为

订1

1-q2-@1

第二步:用错位相减法求Tn.

•.•加=婕)：

.".Tn=bl+bl+...+bn=1X+2XQ)+...+“0，①

2唔)＞窃+..•+◎”

①-②可得IT削…+(丁述r

1n

3

1号二(广心+9(”

•••4=0+；1n3

+-4.

第三步:表示争并利用作差法证得结论.

••Sn_31p\n-1_33/l\n

4色=3.(邛<0,Tn<~.

22\372

4.(2021浙江,20,15分，中)已知数列｛外｝的前n项和为S〃,ai=《,且4Sw+i=3Sw-9(n£N*).

⑴求数列｛板｝的通项公式；

(2)设数列｛为｝满足3加+(止4)a*0(〃eN*),记｛仇｝的前n项和为若丁£为对任意〃©N*

恒成立，求实数丸的取值范围.

解析⑴由4sI+I=3SL9,得4S"=3S”-9(稔2),则4a〃+i=3见稔2),又4(ai+a2)=3a「9,ai=」,所以

4

4〃2=3QI,所以｛斓是以［为首项］为公比的等比数列,

44

n

⑵由题意得瓦=S-4)x(1)n则

7]i=(-3)x-

得；T〃=(-3)x|+Q)2++—+(£)"-("-4)xQ)n+1,所以£=-4nxQ"*】，由题意得

4啕”+)(〃一4)乂(丁恒成立，所以(在3)〃-%0,记刎=q+3)”MCN*),所以[铝；

解得-3tWL

5.（2023天津,19,15分，难）已知｛z｝是等差数列而+化=16,。5-。3=4.

2n-l

⑴求｛an｝的通项公式及若=2吁1的（“NG*）.

klk

⑵设｛及｝是等比数列，且对任意的左CN*,当2-<n<2-l^,bk<an<bk+i.

①当k>2时，求证:2仁1（儿<201;

②求｛瓦｝的通项公式及前n项和.

解析（1）设｛。〃｝的公差为d

由题意得工:丁:如解得吃二2工

所以〃〃=3+2("-l)=2〃+l.

2n-l

j=2?i—1。，二口2九—1+。2九-1+]+02九—1+2+..,+02九一]

_2n-1[2-2n-1+l+2-(2n-l)+l]

2

_2n-1-(2n+l+2-2n-l)

2

2n-1-3-2n3o1cc1

=----------=-x22n-1=3x22n_2=3x4"-I.

22-

(注:项数为(2〃-1)一2"+1=2"-2""=2"」)

klkkk+i

⑵①证^;2-<n<2-ln2y2〃W2奸1-202&+1W2〃+1W2H11,IP2+l<an<2-l,

•**bk<an<bk+i成立，

...心<Mmin，.•也<2e且以+>2附口,则加>2口.

综上,2口<。区201,证毕.

②设｛瓦｝的公比为％前n项和为S„,

；｛况｝为等比数列，且左©N*,2口加<2"+1,

k+1k+l

：.2-l<bk+i<2+l,

k+1k+1-l

pbk+1.2+lc32

又疔丁,••q<^r=2+药,q>-=23，

2k+l_%卜+1

•左©N*,...q=2,：.2k-l<bi2k-l<2k+l,：.bi=2,

A(^-Qn)_2(l-2n)

bn=2n,=2〃+i-2.

1-Q1-2

三年模拟

练思维

1.(2024甘肃二诊,17)设数列｛如｝的前n项和为Sn,ai=l,2S„=n2+n(n^N*).

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设数列｛瓦｝的前n项和为且b”=「\_，求799；

Van^~-\/an+l

⑶证明:盍+盍+忌+•••+/冷

解析(1)因为2s后层+凡所以s后?，

当n>2时.二『等-空与0=〃，

因为。1=1也满足上式，故〃,二〃(〃£N*).

(2)因为bn=I—且a=n(n£N*),

yjan^~yJan+ln

所以为=赤+v^=(诉+1-加

所以799=(72-V1)+(V3-V2)+(V4-V3)+...+(V100-V99)=V100-l=9.

即799=9.

(3)证明:由于不三=2=:尸>/-'_K71+1-伤,

2y/an2y/nVn+Vny/n+yjn+1

故二+...+-^>V2-l+V3-V2+...+V100-V99=V100-l=9.

2、La*+.27>a22,6X32'CI99

所以原不等式成立.

2.(2024江苏盐城六校联考,18)已知｛而是首项为1的等比数列,｛瓦｝是首项为2的等差数

歹|,。3=》2且a4=bi+b3.

⑴求｛m｝和｛瓦｝的通项公式；

⑵将｛丽｝和｛况｝中的所有项分别构成集合A,3,将AU3的所有元素按从小到大的顺序排列

组成新数列｛为｝,求数列｛为｝的前50项和&o;

(an+i，n为奇教

⑶设数列｛4,｝的通项公式为dn=\bn妫〃GN*,记｛a｝的前n项和为T”,若

(y+2,R为偶数,

3T2止仑22"+1+3*14对任意的“GN*都成立，求正数t的取值范围.

解析⑴设｛酸｝的公比为式#0),｛况｝的公差为公

因为<73=岳且。4=51+。3,所以q2=2+d,q3=4+2d,

nl

解得q=2,d=2,所以an=2~,bn=2n.

⑵由⑴知an=2nl,bn=2n,

因为数列｛儿｝是正偶数构成的等差数列，数列｛或｝除首项外，其余项都是2的倍数,

所以数列｛为｝的前50项和S50=1+2x49+竺fx2=2451.

为奇数,

(3)因为“尸“GN*,

n+2,n为偶数,

所以

T2n-i=di+d2+d3+d4+...+t/2n-i=(2+23+25+...+22W-1)+(4+6+8+...+2n)=2^\4+^n(n-1)="|+-y-

+n2+n,

2n+12

由3T2„-i>2+3nM4得3(-|+彳+n+同涉叫?〃…,即t<n+^+l对任意的“©N*

都成立，

因为〃+分1之2鱼+1,〃©犷,等号取不到，

n

当n=l时,1+2+1=4,当n=2时,2+1+1=4,

所以正数t的取值范围是0</<4.

3.(2024江苏连云港灌云高级中学模拟)设S”是数列｛丽｝的前n项和，已知

Gan+n,n为奇数,

ai=l,an+i=\2

an-2n,n为偶数、

⑴证明｛如-2｝是等比数列，并求｛如｝的通项公式；

(2)证明:当n>2时,。2仑S2〃.

解析⑴由已知得02〃+2二32〃+1+2〃+1=/〃2〃-4〃)+2几+1二32〃+1,所以〃2/+2-2=:(。2"-2).

因为s乎n+l=|q2=#0,所以『安，

222%1-22

所以｛。2广2｝是以，为首项年为公比的等比数列，

所以。2"-2=-/0，所以a2〃=-(m+2,

所以｛々2〃｝的通项公式为42“=-。+2.

(2)证明：由侬=拈)+2知。2"-2=拈)+2,

所以。2〃-1=。2止2-2(2〃-2)=6-4"-0,

z1\n

所以〃2九-1+。2后8-4〃-315),

所以S2〃=(ai+O2)+(Q3+〃4)+.・.+(。2个1+。2〃)

-8-4xl-3xQ)1J+L8-4x2-3xQ)2J+...+L8-4H-3X_=8止4(1+2+...+〃)-3

_o4n（n+l）3]

—------Dx----i---

21-2

=-2〃2+6〃-3+3x（|）"=-2（n-|）2+|+3xQn.

当疟2时的-S2“=-g）+2+2（律一|）-|-3x（|）.

令於曰（一沪

根据函数的单调性可知，当x>2时,1Ax）单调递增.

又42）=0,

所以它2时，有犬x）N0,即2（%-|）2+j-4x（|）X>0,

所以当n>2时,G2”-S2仑0,即当ri>2时,。2仑S”

4.（2024福建三明质量检测,18）已知数列｛或｝满足ms…即is=（e）M+%〃GN*.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

⑵设数列｛丽｝的前n项和为S”,若不等式对任意的“©N*恒成立，求实数t的

取值范围；

（3）记。后1T，求证:练丝+签空+...+组等<鱼（〃EN*）.

Iog2璐Vbiy/bn

解析（1）因为ai・ai…an-i・an=G[^）M+九①，

所以当n>2时⑷・〃2..5M1=（金）6-1）2+"-1②.（1分）

n

由米得at,=2,（2分）

因为几=1时<71=2也符合上式，

所以z=25£N*.（4分）

⑵由⑴知,的=与等=2/1-2,（5分）

因为不等式（-1产外〃-14^^对任意的“©N*恒成立，

又S〉0且S,递增，

所以（-1）小仁工+芳对任意的〃GN*恒成立，（7分）

因为SI=2,52=6,S3=14,S4=30,（8分）

所以当n为偶数时,对任意的“©N*恒成立，即江回+当

Sn'Wmin

因为S2=6>W4所以kg,（10分）

当n为奇数时,-出的+芹对任意的“GN*恒成立，即-4sli，

因为邑=2<旧<53=14,所以（5陞+=9,-t<9,

'5n/min

所以t>-9.（12分）

综上可知,-把烤.（13分）

1

（3）证明:因为bn=2=^-,（14分）

log2aq2n

所以｛况｝是递减数列，

所以J1+1<J，，（15分）

所以巧誉=2（b萨力<2先烂=2（五一倔二）,

VDnZVDn'Dn~rDn+l

若+黄+…+^32（亚-倔+倔-倔+.•・+西-河二）<2'/=鱼,

原不等式得证.（17分）

练风向

1.（新定义理解）（多选）（2024安徽安庆二模,11）满足ai=2,a2=l,a"+2=a〃+i+a"（〃©N*）的数列｛加｝

称为卢卡斯数列，则（BCD）

A.存在非零实数f,使得｛。〃+1+勿〃｝（“©2）为等差数列

B.存在非零实数/,使得｛丽+5｝（〃©2）为等比数列

C.3an+2=an+4+an（nGN*）

2024

D.2i=i（-1）七尸。2023-3

2.（新定义理解）（2024浙江温州第二次适应性考试,18）数列｛〃〃｝,｛如｝满足:｛瓦｝是等比数

歹U,bi=2,〃2=5,且〃仍1+。2历+…+Z瓦=2（痴-3）力1+8（〃£N*）.

（1）求an,bn；

（2）求集合A=｛%|O㈤⑴瓦）=0,运2〃/£N*｝中所有元素的和;

⑶对数列｛品｝，若存在互不相等的正整数代危，…为（心2）,使得%+C&+...+%.也是数列｛品｝

中的项，则称数列｛0｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛斓,｛为｝是不是“和稳定数列”.若是,

求出所有j的值;若不是，说明理由.

解析（1）V〃山1=2（。1-3）"+8/i=2,:.ai=2,

又。也+。2岳=2（。2-3）历+8/1=2,〃2=5,:.Z?2=4,

•••｛况｝是等比数列,｛%｝的公比为淀=2,：.bn=2n,

当n>2时，。仍1+。2历+..・+。沱i⑤-1=2（。个i-3）瓦-1+8,

则a〃从=2（。〃-3）a-2（。〃-卜3）瓦-1,

将瓦二2〃代入,化简得公=2（加3）-（厮-卜3）,

得^a〃-i=3（〃N2）,

・•・｛〃〃｝是公差为3的等差数列，，丽=ai+（〃-l）d=3〃-L

⑵记集合A的全体元素的和为S,

集合小…,。2九｝的所有元素的和为42〃=2九（6；1+2）=6几2+%

a2

集合N=｛玩。2,…,。2”｝的所有元素的和为B2n==22n+1-2,

1~—2y

集合MCN的所有元素的和为T,则有S=A2n+B2n-T,

对于数列｛仇｝:当〃=2hl伏WN*）时力2-=22"=（3-1产i=3p-l（peN*）是数列｛词中的项（由二

项展开式的特征得到），

当〃=26左©N*）时/2k=2历2=2（3?1）=3饮2（q@N*）不是数列｛斯｝中的项，

a

%-1$2n>^Iog2（6n-l）-l.^ogzCen-lj+l】嘀（6广1）+1］（其中

:.7="+。3+—+。2/1,其中

印表示不超过实数X的最大整数）.

..7;2（1一小）1。82（6九-1）+1一

.•.S=6〃2+〃+22，F3.4[F"L±

⑶当户3双加GN*）时,%+*+...+%是3的正整数倍，

故一定不是数列｛板｝中的项；

当/=3"l（mCN*）时,*+*+•••+%除以3余1,不是数列｛词中的项；

当尸3冽+l（m@N*）时,*+*+…+%除以3余2,是数列｛a〃｝中的项.

综上，数列｛词是'和稳定数列"，此时j=3加+1（加6N）

数列｛为不是“和稳定数列”，理由如下:

不妨设:l<h<k2<...<kj,则bkl+bk2+...+bk.>bk.,且

瓦广电+…+%劭i+"2+…+%=21+22+...+2勺=2号+1一2<2芍+J%+i，

故如+也也,.+%不是数列｛%｝中的项.

数列｛况｝不是“和稳定数列”.

3.（新定义理解）（2024山东泰安一模,19）已知各项均不为0的递增数列｛词的前n项和为S*,

且ai=2,a2=4,aQi+i=2S〃（S"+i+S止i-2SQ（〃GN*,且n>2）.

⑴求数歹U目的前n项和Tn.

⑵定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”.证明：

①对任意k<5且左©N*,存在“G-数列”｛况｝，使得bi^ak<bk+i成立；

②当k>6且左©N*时,不存在“G-数列”｛面,使得cm<am<cm+i对任意正整数m<k成立.

解析（1）。“如+尸2&（8+1+为一1-25〃）=2的（呢+1/"）（〃之2）」..｛z｝各项均不为0且递

增，・・Ctn+1-Cln^Q^

•。。_anan+l

（2分）

an+l-an

：.2S-i=an-ian（n>3）,，2a,尸3+」。…一

nan-an-lan+l-anan-an-l

化间得I-2Q〃）=0（〃N3）,

an+1+an-1=2an（n>3）,（4分）

*.*41=2,32=4,/.a2〃3=2S2（S3+Sl-2s2）,・'・43=6.

・・・｛斯｝为等差数列,（5分）

1

/.an=2n,Sn=n+n,（6分）

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