2025广东省深圳市中考数学复习分类汇编《圆的计算与证明》含答案解析

专题15解答中档圆的计算与证明

一、解答题

1.（2024.广东深圳•统考中考真题）如图，在△A5Z）中，AB=BD,。。为△A3。的外接

圆，延为。。的切线，AC为。。的直径，连接。C并延长交3E于点E.

D

（1）求证：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半径.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点。，A,B均在格点

上，OA=3,AB=2,以。为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问

题：

①过点A作切线AC,且AC=4（点C在A的上方）；

②连接OC,交。。于点。；

③连接BD,与AC交于点E.

（1）求证：为OO的切线；

（2）求AE的长度.

3.（2022・广东深圳•统考中考真题）二次函数丁=5炉,先向上平移6个单位，再向右平移3

个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上.

y=2x2y=2(x-3p+6

(0,0)(3,m)

（L2）（4,8）

。，8）（5/4）

（T2）（2,8）

(-2,8)UM

（1）冽的值为；

11

（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出y=-万必9+5与丁=5好9的交点坐标；

（3）点P（玉,％）,。（9,当）在新的函数图象上，且尸，。两点均在对称轴的同一侧，若

兀>/，则4巧（填“>”或“〈”或“=”）

4.（2024•广东深圳•盐田区一模）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。分别

交AC、于点。、E.点尸在AC的延长线上，且NC3P=LNC4B.

2

A

(1)求证：直线防是O。的切线；

(2)若AB=3,sinZCBF=—,求正的长.

5

5.(2024・广东深圳•福田区三模)如图1,AB为O。的直径，C为。。上一点，点。为AC

的中点，连接AD,CD,过点C作CE〃A£)交A3于点E,连接DE,DB.

(2)如图2,过点。作。。的切线交EC的延长线于点R若A£)=0,且AC=BC，求石尸

的长.

6.(2024.广东深圳33校联考二模)如图，在等腰中，AB=BC,80平分/ABC,

过点A作交80的延长线于D连接CD,过点。作DEL50交的延长线于

(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由;

（2）若DE=10,sinZDAO=—，求四边形ABC。的面积.

5

7.（2024•广东深圳-33校联考一模）如图，QO是VABC的外接圆，直径3。与AC交于点E,

点尸在5c的延长线上，连接。产，ZF=ZBAC.

（1）求证：。歹是0。的切线；

（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使。/〃AC成立，并说明理由;

①=②AD=DC；③=

你选的条件是：.

8.（2024・广东深圳•南山区一模）如图，8。是矩形ABC。的对角线.

（1）求作。A,使得。A与8。相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设瓦）与。A相切于点E,CF±BD,垂足为尸.若直线C尸与。A相

切于点G,求tan/ADB的值.

9.（2024・广东深圳•宝安区二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可

近似看成一个‘圆，即弧A。。，已知。4和遮阳棚杆子OD在同一条直线上，且与地面垂直,

4

当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈45。角时，光线恰好能照到杆子底部。点,

已知OD长为2m.

（2）如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈60。角，在遮阳棚外，距离

遮阳棚外檐C点正下方E点（月-1卜的尸点处有一株高为L2m的植物，请问植物顶端能否

会被阳光照射？请说明理由.（指”L73）

（3）如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一

12

部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点C到AD的距离为二111、到DH的距离

28

为-m.现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段GP、线段PH两部分组成，其

中GP，与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述

要求搭设架子，则至少需要准备_____m的钢材搭设架子.

10.（2024•广东深圳•宝安区三模）如图，。。是AABC的外接圆，连接。A交于点。.

（1）求证：NQ4C与4互余；

（2）若AD=6,班＞=10,CD=8,求。。的半径.

11.（2024•广东深圳•福田区二模）如图，在AABC中，AB=AC,以A3为直径的交

边AC于点。，连接3。，过点C作CE〃AB.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作。。的切线，交CE于点尸；（不写作法，保

留作图痕迹，标明字母）

（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF；

（3）在（1）的条件下，CF=2,BF=6,求。。的半径.

12.（2024・广东深圳•光明区二模）如图，过圆外一点P作。。的切线，切点为A,AB是。。

的直径.连接尸0,过点A作/3。的垂线，垂足为。，同时交。。于点C,连接3cpe.

（1）求证：PC是的切线：

（2）若BC=2,OB=®OD,求切线P4的长.

13.（2024•广东深圳-33校三模）如图，。。是VABC的外接圆，AD是O。的直径，尸是AD

延长线上一点，连接。，CF,且CF是。。的切线.

（1）求证：ZDCF=ZCAD；

（2）若CF=限叵，DF=4,求。。的半径.

14.（2024•广东深圳•龙华区二模）如图，以A3为直径的。。交于点，DE1AC,

垂足为E.

（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使直线OE为。。的切线,

并说明理由；

2

（2）在（1）的条件下，若JDE=6,tanZADE=—,求。0的半径.

3

15.（2024・广东深圳•罗湖区二模）如图，45是0。的直径，弦8，回于点£,点尸在。。

上，ZPBC=NC.

（1）求证：CB//PD；

（2）若5c=12,BE=8,求。。的半径.

16.（2024・广东深圳•罗湖区三模）如图，AB是O。的直径，点。在。。上；按下列步完成

作图，并回答问题：

①作ZBAC的平分线AD交。。于点。，

②过点O作直线AC的垂线，交AC的延长线于点E,

③连接3DCD,

（1）求证：直线£）£1是O。的切线；

（2）若DE=#＞，AB=4,求AD的长.

17.（2024・广东深圳•南山区三模）如图，以等腰4WC的腰A3为直径作O。，交底边于

点。，过点。作。£工AC,垂足为工

A

BDC

（1）求证：DE为。。的切线；

（2）若DE=4,DC=6,求OO的半径.

18.（2024•广东深圳•南山区二模）如图，在AABC中，NACB=90。，点。是AB上一点，且

/BC0='/A,点。在5c上，以点。为圆心的圆经过G。两点.

2

（1）求证：是的切线；

3

（2）若sinB=《,。。的半径为3,求AC的长.

19.（2024・广东深圳.九下期中）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，电阻R（单

位：kQ）随温度/（单位：℃）（在一定范围内）变化而变化，通电后该表记录了发热材料温度

从上升到30°。的过程中，发现电阻与温度有如下关系：

t(℃)10152030

R/Q)6432

R/k。

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O510152025303540455055〃工

(1)根据表中的数据，在图中描出实数对&H)的对应点，猜测并确定R与。之间的函数解

析式并画出其图象；

4

(2)当时，R与♦的函数解析式为R=百，—6.在图中画出该函数图象；

(3)根据以上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内发热材料的电阻不超过

6kQ?

20.(2024・广东深圳・红岭中学模拟)如图，在△ABC中，NABC=90。，点。是5c边上一

点，以CD为直径的OO与边AC交于点连接BE,AB=BE.

A

£

BD\O

(1)求证：B石是O。的切线;

(2)若tanNACB=」，。。的直径为4,求5。的长.

2

专题15解答中档圆的计算与证明

一、解答题

1.（2024.广东深圳•统考中考真题）如图，在△A5Z）中，AB=BD,。。为△A3。的外接

圆，延为。。的切线，AC为。。的直径，连接。C并延长交3E于点E.

D

（1）求证：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）375

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接50并延长，交AD于点H,连接0。，易证80垂直平分AD，圆周角定理，切

线的性质，推出四边形5HDE为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知£>"=3石=5,勾股定理求出的长，设OO的半径为「，在RtAAOH

中，利用勾股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：连接80并延长，交AD于点H,连接。。，

D

VAB=BD,OA=OD,

/.80垂直平分AD,

ABH±AD,AH=DH，

BE1为。。的切线，

/•HBLBE，

•：AC为。O的直径，

：.ZADC^90°,

四边形5HDE为矩形，

；•DELBE；

【小问2详解】

由（1）知四边形3印）石为矩形，BHJ.AD，AH=DH,

SAH=DH=BE=5,

•*-BH=y/AB2-AH2=575，

设。。的半径为,，贝的OA=OB=r,OH=BH-OB=5y[5-r,

在Rtaaw中，由勾股定理，得：,=（5『+（56—

解得：r-3^5；

即：。。的半径为36.

2.（2023•广东深圳.统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点。，A,B均在格点

上，04=3,AB=2,以。为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问

题：

①过点A作切线AC,且AC=4（点C在A的上方）;

②连接0C,交。。于点。；

③连接BD,与AC交于点E.

（1）求证：5。为。。的切线；

（2）求AE的长度.

【答案】（1）画图见解析，证明见解析

3

（2）AE=-

2

【解析】

【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到OC=Nod+402=5，然后证明出

AAOC^ADOB（SAS）,得至I]ZOAC=ZODB=90°,即可证明出BD为O。的切线；

（2）首先根据全等三角形的性质得到=AC=4,然后证明出VB4ESVBDO,利用相

似三角形的性质求解即可.

【小问1详解】

如图所示，

：AC是OO的切线,

；•OA1AC,

VOA=3,AC=4,

•••OC=^O^+AC2=5>

VOA=3,AB=2,

***OB=OA+AB=5,

***OB=OC,

又,：OD=OA=3,AAOC=/DOB,

：.AAOC^DOB(SAS),

/.ZO4C=Z<9DB=90°,

/.ODLBD,

:点。在。。上，

为。。的切线；

【小问2详解】

,/7Aoe冏DOB,

：.BD=AC=4,

VZABE=ZDBO,ZBAE=ZBDO,

，NBAE^NBDO,

AEABAE2

二——=——，即an一=一,

ODBD34

3

解得AE=—.

2

【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角

形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

1,

3.（2022・广东深圳•统考中考真题）二次函数y=e],先向上平移6个单位，再向右平移3

个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上.

y=2%2y=2(x-3p+6

(0,0)(3,m)

。，2）（4,8）

（2,8）（544）

(T2)(")

(-2对（U4）

（1）加的值为；

1919

（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出丁=———+5与3；=——的交点坐标；

2.2

（3）点P（%,%）,。（%,%）在新的函数图象上，且RQ两点均在对称轴的同一侧，若

yi>%则Xi4（填“>”或“〈”或“=”）

【答案】（1）m-6

（2）图见解析，（石,0）和（―J?,0）

（3）<或>

【解析】

【分析】（1）把点（3,机）代入y=2（x—37+6即可求解.

（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解

出方程即可求解.

（3）根据新函数的图象及性质可得：当P,。两点均在对称轴的左侧时，若%>%，则占<多，

当P,。两点均在对称轴的右侧时，若为〉％,则%>々，进而可求解.

【小问1详解】

解：当x=3时，m=2（3-3）2+6=6,

m=6.

【小问2详解】

平移后的图象如图所示:

当X=J?时，y=o,则交点坐标为：（、后,0）,

当x=—6时，y=。，则交点坐标为：（一J?,o）,

综上所述：y=—与y=的交点坐标分别为（、后,0）和（-J?,0）.

【小问3详解】

由平移后的二次函数可得：对称轴x=3,。=2>0,

.•.当％<3时，y随尤的增大而减小，当时，y随工的增大而增大，

当P,。两点均在对称轴的左侧时，若丹〉为，则X[<9，

当P,。两点均在对称轴的右侧时，若为〉％,则%%,

综上所述:点尸（七,州）,。（々,％）在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若M〉为，

则X]</或为>%2，

故答案为：〈或〉.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，

利用数形结合思想解决问题是解题的关键.

4.（2024.广东深圳•盐田区一模）如图，在反48。中，AB=AC,以A3为直径的O。分别

交AC、于点。、E.点厂在AC的延长线上，且=

2

A

BF

（1）求证：直线班'是。。的切线；

（2）若AB=3,sinZCBF=—，求班'的长.

5

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种

性质是解题的关键.

（1）连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐

角相等得到直角，从而证明结论；

⑵作CG,所于点G,利用已知条件证明广，利用比例式求出线段长.

【小问1详解】

证明：连接AE,

•••AB是的直径，

ZAEB=90。,

:.ZEAB+ZEBA=90°,

•.♦AB=AC,

:.NEAB=NEAC,

ZCBF=-ZCAB,

2

ZCBF=ZEAB,

ZCBF+ZEBA=90°,

即NABb=90°,

二直线^8户是。。的切线；

小问2详解】

解：作CG_L5b于点G,

在RtAABE中，sinZEAB=sinZCBF=—

5

EB7?

---——，

AB5

AB=3,

.RF_3小

..JDJLS------------，

5

BC=2BE=述，

5

在Rt^BCG中，sinZCBF=—=—,

BC5

於6石

BC=-----，

5

••Cj--,

5

'.•CG//AB,

.GFCG

一而一而‘

BG=y]BC2-CG2=—

5

:.GF=BF-BG=BF-—

5

A

•：CG=-,AB=3,

5

DDAr----1--2-

52,

BF5

解得5尸=4.

5.(2024・广东深圳•福田区三模)如图1,AB为O。的直径，C为。。上一点，点。为AC

的中点,连接AD,CD,过点C作CE〃A£)交A3于点E,连接DE,DB.

(2)如图2,过点。作。。的切线交EC的延长线于点R若A£)=0,且AC=BC，求石尸

的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵2+72

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧与弦，圆心角，圆周角之间的关系，

等腰直角三角的性质与判定，勾股定理等等：

(1)由直径所对的圆周角是直角得到NADfi=90。，由平行线的性质得到

NEGB=NCGB=90。,证明得到EG=CG,再证明

△DGEmADGC(SAS),即可证明DE=DC；

(2)如图所示,连接OD、OC,先求出ZAOC=NBDC=90°，则ZCDB=-ZBOC=45°,

2

进而得到NADC=NAD5+NCDfi=135。，由平行线的性质得到NZ)CE=45°,则可证明

△£)CE是等腰直角三角形，可得CD=DE=AD=0，则CE=J5CD=2;

是。。的切线，再证明NCD尸=22.5。=/尸，得到。尸=8=血，贝U

EF=CE+CF=2+y/2-

【小问1详解】

证明：设CE,BD交于G,

AB为。。的直径，

AZAZ)B=90°,

•：CE//AD,

：.NEGB=NADB=90°,

：.NEGB=/CGB=90°,

:点。为AC的中点，

•>-AD=CD，

：./EBG=NCBG,

又,：BG=BG，

：.ACBG名AEBG,

：.EG=CG,

又•：DG=DG,/DGE=/DGC,

：.SGE均DGC(SAS),

**•DE=DC；

C

D

rI【小问2详解】

图i

解：如图所示，连接OD、OC,

"­,AC=3C，

ZAOC=ZB£>C=90°,

/.ZCDB=-ZB（9C=45°,

2

ZADC=ZADB+ZCDB=135°,

•/AD//CE,

：./DCE=180°—/ADC=45°,

由（1）可得DE=DC,

：.ZDEC=ZDCE=45°,

/.△£）色是等腰直角三角形，

•二.,点。为AC的中点，

二AD=CD，

:.CD=DE=AD=6,

•>-CE=亚CD=2;

:。石是。。的切线，

ZODF=90°,

ZBDF=67.5°,

NF=90°-NFDB=22.5°,

•/ADHEF,

，NADF=180°-ZF=157.5°，

：./CDF=2250=/F,

CF=CD=也,

EF=CE+CF=2+y/2.

F

图2

6.（2024•广东深圳-33校联考二模）如图，在等腰中，AB=BC,80平分/ABC,

过点A作AD/BC交80的延长线于O,连接CD,过点。作DELBD交的延长线于

E.

BCE

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

（2）若。E=10,sinZDAO=—,求四边形ABC。的面积.

5

【答案】（1）四边形ABCD是菱形，理由见解析；

（2）25.

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质与判定、等腰三角形的性质、解直角三角的相关计算、菱形

的面积计算，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键.

第一问，由等腰三角形三线合一，结合平行线的性质，可证得到=

推出四边形ABCD是平行四边形，再结合邻边相等，得证；

第二问，由sinNZMO=sin/3CO,得到80和的比，再利用勾股定理得到80和CO

的长度，最后由菱形的面积公式得出答案.

【小问1详解】

四边形ABCD是菱形，理由如下，

AB=BC,80平分/ABC,

•••AC1BD,AO^CO,

■：ADUBE,

；ZADO^ZCBO,

：.AADO=^CBO（AAS）,

AD=BC,

四边形ABC。是平行四边形，.

••AB=BC,

四边形ABC。是菱形.

【小问2详解】

•••OC//DE,。是的中点，

*'■ABOCSABDE，

,BOBCPC1

••茄一族一法—5'

OC=-DE=-xlQ=5,

22

AD//BE,

/DAO=ZBCO,

■■■sinZDAO=sinZBCO,

BC5

设50=x,则5C=&x，

由及ABOC得,£+52k（小,

x=-,SPBC>=-,

22

•••四边形ABC。是菱形,

•.BD=2BO=5,AC=2CO=10,

S^^——BD-AC=—x5xlO=25.

麦影ABfiCrDn22

故答案为：25.

7.（2024•广东深圳33校联考一模）如图，QO是VABC的外接圆，直径3。与AC交于点E,

点尸在5C的延长线上，连接DR,ZF=ZBAC.

（1）求证：。歹是0。的切线；

（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使。尸〃AC成立，并说明理由；

①AB=AC；②A。"。；③NC4D=ZAB"

你选的条件是：.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，理解并掌握相关图形

的性质定理是解决问题的关键.

（1）由直径所对圆周角为直角可知N54C+ND4c=90。，结合圆周定理可知

ZDAC=ZDBC,由/歹=44。，可知ZF+N£>fiC=90°,进而可知即，炉，即

可证明结论；

（2）若选②，由等弧所对圆周角相等可知NASD=NDB厂，结合（1）证NADB=NR,

由圆周角定理可知/4/汨=/8。4,证得/歹=/86,进而可得结论；

若选③由同弧所对圆周角相等可知NC4O=NOBC,结合NC4D=NA5。，可知

ZABD=NDBC,得公。=℃，同②，可证。7〃AC.

【小问1详解】

证明：是。。的直径，

ZBAD=90°,

ZS4C+ZZ14C=90o,

CD=CD

/DAC=NDBC,

又：ZF=ZBAC,

：.ZF+ZDBC=90°,则ZBDF=90°,

：.BD±DF,

O歹是。。的切线；

【小问2详解】

若选②AD=DC；

;AD=DC'

/.ZABD=ZDBF，

由（1）可知：ZABD+ZADB=90°=ZDBF+ZF=90°,

ZADB=ZF,

由圆周角定理可知ZADB=NBCA,

NF=/BCA,

DF//AC■,

若选③NC4Z）=NASD；

•••CD=CD，

NCAD=NDBC,

•••NCAD=ZABD,

：.ZABD=ZDBC,

AD=DC）

同②，可知。E〃AC；

8.（2024・广东深圳•南山区一模）如图，8。是矩形ABC。的对角线.

（1）求作。A,使得。A与8。相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设3。与。A相切于点E,CFLBD,垂足为足若直线CP与。A相

切于点G,求tan/ADB的值.

【答案】（1）作图见解析

⑵

2

【解析】

【分析】（1）先过点A作5。的垂线，进而找出半径，即可作出图形；

（2）根据题意，作出图形，设NAZ55=a,OA的半径为「，先判断出5E=DE,进而得出

四边形AE尸G是正方形，然后在放△A3E中，根据勾股定理建立方程求解vtan。，再

判定△ABE1四△CDF,根据5£=。方二八311。，DE—DF+EF-rtana+r9在

AE

放△AOE中，利用tanNAQE=—,得到taMa+tana—1=0，求解得到tanNAOB的值

DE

为叵立

2

【小问1详解】

解：如图所示，0A即为所求作：

【小问2详解】

解：根据题意，作出图形如下:

设NAD5=a,。4的半径为厂，

•・・8D与。A相切于点及C尸与。A相切于点G,

：.AE_LBD,AGLCG,即NAEb=NAG尸=90。，

VCF1BD,

：.ZEFG=90°,

・・・四边形AEFG是矩形，

又AE-AG-r,

・•・四边形AEFG是正方形，

EF=AE=r,

在放AAM和放△ZMB中，ZBAE+ZABD=90°,ZADB+ZABD=90°,

:./BAE=ZADB=cc,

BE

在放中，tanZBAE=——,

AE

BE=rtana

・・•四边形ABC。是矩形，

/.AB//CD,AB=CD,

：.ZABE=ZCDF,又ZAEB=/CFD=90°,

：.AABE/ACDF,

:.BE=DF=rtanof,

DE—DF+EF-rtana-vr,

AE

在Rt/\ADE中，tan/ADE=---,即DE-tana-AE,

DE

(rtana+r)tana=r,即tan?£+tana—l=0，

丁tana>0,

tana=近4，即tanZADB的值为近人.

22

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，

正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线

段长建立方程是解决问题的关键.

9.（2024•广东深圳•宝安区二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可

近似看成一个工圆，即弧AOC，已知。4和遮阳棚杆子0。在同一条直线上，且与地面垂直，

4

当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈45。角时，光线恰好能照到杆子底部。点，

已知OD长为2m.

图1图2图3

（1）求遮阳棚半径04的长度.

（2）如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈60。角，在遮阳棚外，距离

遮阳棚外檐C点正下方E点（6-1卜的尸点处有一株高为L2m的植物，请问植物顶端能否

会被阳光照射？请说明理由.（G7L73）

（3）如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一

部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点C到A。的距离为gm、到DH的距离

为现需过遮阳棚上一点尸为其搭设架子，架子由线段GP、线段PH两部分组成，其

中GPL与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点尸（不含A点）都能按照上述

要求搭设架子，则至少需要准备_____m的钢材搭设架子.

【答案】(1)2m

(2)植物顶端不能被太阳照射，理由见解析

【解析】

【分析】(1)解直角三角形CDO,求得结果；

(2)连接延长FG交于V,可证得RtAHPWkRtAHOD,从而得出

ZWHO=ZDHO^30°，DH=WH,从而求得QH的值，进而得出

FH=DH-DE-EF=6，从而得出

FV=FH-tanZDHW=(6—1)•tan60°・tan60°=3-A5a3—1.73=1.27/n,进一步得

出结果;

(3)以所在直线为x轴，DA所在的直线为＞轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为

y=-|x2+4,从而可设设P(777,--m2+4),从而表示出

22

119

PG+PH=——TT?+m+4=——(m-l)?2+-,进一步得出结果.

2t22

【小问1详解】

\-OALDX,NCDX=45。,

:.ZODC=45°,

ZCOD=90°,OD=2,

OC=OD-tan/ODC=2，

\OA=OC=2；

【小问2详解】

植物顶端不能被太阳照射，理由如下：

连接延长FG交于V,

•.♦WH与相切，

:.ZD^ZOWH^90°,

•.•OW=OD=2,OH=OH,

：.Rt"ffWgRtqOD(HL),

ZWHO=ZDHO=30°,DH=WH,

DH=———=—-—=2A/3,

tanZDHOtan30°

1.•FH=DH-DE-EF=26-2-4-口=6-1,

FV=FH-tanZD7/W=(V3-1)-tan600-tan60°=3-A/3»3-1.73=1.27m,

V1,27>1.2,

二植物顶端不能被太阳照射；

【小问3详解】

解：如图3,

设抛物线的解析式为：y=o?+4,

1

a——,

2

(12

设夕阳,——m+4

11?Q

PH+PG=——Tr+m+4=——(m-1}+-,

2t2V72

9

・・・当加=1时，9+PG有最大值为一，

2

9

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质,

解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式.

10.（2024•广东深圳•宝安区三模）如图，。。是AABC的外接圆，连接Q4交于点。.

A

(1)求证：NQ4c与互余；

(2)若AD=6,BD=10,CD=8,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析

29

(2)——

3

【解析】

【分析】(1)延长A0交。。于点E,连接CE,如图所示，由直径所对的圆周角是直角,

利用互余及圆周角定理代换即可得证；

40

(2)由题中条件得到△AOBSAQCE,利用相似比，代值求解得到DE=一即可确定答案.

3

【小问1详解】

证明：延长AO交。。于点E,连接CE,如图所示:

•••AE是。。的直径，

ZACE=90°,

：.ZE+ZOAC^90°，

,/ZB=ZE,

：.ZOAC+ZB=90°；

【小问2详解】

解：vZB=ZE,ZADB^ZEDC,

AADBS^DCE,

DBDA

DE~DC

*.*BD=10JCD=8,AD=6,

t=['解得=,

.•.oa=L1竺+629

23T

【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、互余、相似三角形的判定与性质、圆的性质等

知识，熟练掌握圆的性质及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键.

11.（2024•广东深圳•福田区二模）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的交

边AC于点。，连接3。，过点C作CE〃AB.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作。。的切线，交CE于点尸；（不写作法，保

留作图痕迹，标明字母）

（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF；

（3）在（1）的条件下，CF=2,BF=6,求。。的半径.

【答案】（1）画图见解析

（2）证明见解析（3）。。的半径为5.

【解析】

【分析】（1）根据尺规作图，过点8作A3的垂线，交CE于点产，即可求解；

（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明N5£）C=N5FC,根据平行

线的性质以及等腰三角形的性质得出BCD=ZBCF,进而证明ABCD^ABCF（AAS）,即

可得证.

（3）由（2）得:BD=BF=6,CD=CF=2,设A5=AC=2r,再利用勾股定理可得

（2r-2）2+62=（2r）\再解方程即可.

【小问1详解】

解：方法不唯一，如图所示.

【小问2详解】

AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

又；CE//AB,

:.ZABC=/BCF,

:.ZBCF=ZACB.

•.•点。在以AB为直径的圆上,

：.ZADB=90°,

:.NBDC=90。.

又；B尸为。。的切线，

：.ZABF=90°.

'：CE//AB,

：.ZBFC+ZABF^1SO0,

：.ZBFC=9Q°,

：.ZBDC=ZBFC.

:在ABC。和△BCR中，

NBCD=NBCF,

<ZBDC=NBFC,

BC=BC,

：.ABCD^ABCF(AAS).

，BD=BF.

【小问3详解】

由（2）得：BD=BF=6,

,：RtAB£）C^RtABFC,

：.CD=CF=2,

设AB=AC=2r,

；•AD=2r-2,

VZAZ）B=90°,

.-.（2r-2）2+62=（2r）\

解得：r=5,

的半径为5.

【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性

质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.（2024・广东深圳.光明区二模）如图，过圆外一点P作的切线，切点为A,AB是

的直径.连接尸o,过点A作PO的垂线，垂足为。，同时交。。于点c,连接3cPC.

（1）求证：PC是OO的切线:

(2)若BC=2,OB=®OD,求切线Q4的长.

【答案】（1）见解析（2）3M

【解析】

【分析】⑴连接OC,由垂径定理可得AD=CD,通过小。!!在△OCD（SSS）,得

ZAOD=ZCOD,通过4Pg△OCP（SAS）,可得NOCP=NQ4P=90°,根据切线的判

定定理，即可求解;

(2)由三角形的中位线得到。。=33。=；*2=1,OA=OB=MOD=M,

在RtZXADO中，根据勾股定理，得到A。的长，tanNAOD=3,在Rt^APO中，根据正

切三角函数，即可求解，

【小问1详解】

解：连接0C,

13.(2024•广东深圳33校三模)如图，。。是VABC的外接圆，AD是。。的直径，尸是AD

延长线上一点，连接CD,CF,且C尸是。。的切线.

(1)求证：ZDCF=NCAD；

(2)若CF=限叵，DF=4,求O。的半径.

【答案】(1)见解析(2)。。的半径为2

【解析】

【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出

辅助线是解题关键.

(1)连接OC,结合“直径所对的圆周角为直角”可得ZACD=90。，即有

ZOCD+ZOCA=90°,再结合切线的性质可得OCJ_CE,进而可得

“CF+NOCD=90。，可证明NOC4=NDCF,结合OC=Q4,易得NC4D=NOC4,

即可证明结论；

(2)设OC=OD=x,在RtZkOCE中，根据勾股定理可得0。2+。/2=0尸2,代入数值

并计算，即可获得答案.

【小问1详解】

证明：如图，连接OC,

2

rc

：AD是。。的直径，

ZACD=90。,

Z.ZOCD+ZOCA=90°,

：“是。。的切线，OC为。。半径，

OCA.CF,

：.ZDCF+ZOCD^90°,

ZOCA=ZDCF,

:OC^OA,

：.ZCAD=ZOCA,

：.ZDCF=ACAD；

【小问2详解】

解：设OC=OD=x,

,:CF=4叵,DF=4,

•*.OF=OD+DF=x+4，

,?OCA.CF,

：.NOCF=90。,

•*-OC~+CF2=OF2,

：.X2+(4A/2)2=(x+4)2,

解得x=2,

即。。的半径为2.

AD—CD，

,:OA-OC,OD-OD,

A04D^AOCD（SSS）,

ZAOD=ZCOD,

VOA=OC,OP=OP，

：.AOAP^AOCP（SAS）,

ZOCP=ZOAP,

'：是。。的切线，

NQ4P=90。，

ZOCP=ZOAP=90°,

：.PC是。。的切线，

【小问2详解】

解：：AD=CD,AO=BO,

：.OD=-BC=-x2=l,

22

：.OAOB=MOD=M,

_____________24P3

在RtZXADO中，AD=^AO2-DO2=V10-l=3>tanZAOD=丽=7=3，

在Rt^APO中，PA^AOtanZAPO^y/10x3^3sJ10，

故答案为：3M.

【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中

位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键.

14.（2024•广东深圳.龙华区二模）如图，以A3为直径的。。交于点，DE1AC,

垂足为E.

（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使直线OE为。。的切线,

并说明理由；

2

（2）在（1）的条件下，若JDE=6,tanZADE=—,求。0的半径.

3

【答案】（1）增加条件：AB=AC,见解析

13

(2)

T

【解析】

【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线

的判定方法，属于中考常考题型.

（1）添加条件：AB=AC（答案不唯一）.证明推出0。E即可；

（2）解直角三角形分别求出AE，EC,再证明=得出AB=AC=13,进而

可得答案.

【小问1详解】

增加条件：AB=AC.

证明：连接0。，

•••AB为。。的直径，

ZADB=90°,

VAB=AC,ZADB=90°,

BD=CD,

AO-BO，BD=CD，

：.OD//AC,

又,：DEJ.AC,

NODE=NDEC=9Q。,

即ODIDE,

为半径，

OE为。。的切线；

【小问2详解】

2

在Rt2XADE中，DE=6,tanZADE=一，

3

2

AE=DEtanZADE=6x—=4,

3

,/ZAZ)B=ZAZ)C=90°,

ZADE+ZEDC=90°,

•：DE±AC,

：.ZDEC=90。,

ZEDC+ZC-90°,

ZC=ZADE,

*—___DE—