2025高考数学专项讲义 新高考新结构命题下的解三角形解答题 综合训练

第12讲新高考新结构命题下的

解三角形解答题综合训练

(10类核心考点精讲精练)

I传.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版

块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适

中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第16、17题这样的中等大题中，

此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，

以期在新高考中取得更好的成绩。

12•考点梳理

考点一、面积及最值

1.（2024•河南焦作•模拟预测）记ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,已知点厂为线段AC上

2

的一点，AF=2CF,BF=2,asmA+csmC-bsinB=—asinC.

3

⑴求cosNABC的值；

⑵求ABC面积的最大值.

【答案】⑴g

4

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.

（2）由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出二ABC面积的最大值.

【详解】（「）

abc,.「7n2.「

因为=2H,asmAA+csmC-bsmB=—asmC,

sinAsinBsinC3

ab_2c,化简得〃之+，一〃7,

则”,——+<7•—■-b-—a---

2R2R2R~32R

由余弦定理得，cos/ABC二矿+广一二二耳碇一1.

2ac7；一彳

2ac3

(2)在一ABC中，cosNABC=g,ZABCe(O,7i),

则sinNABC=J1一cos?NABC=Jl一(j=¥"

ryrs1

由A尸=2C尸得，BF=BA+AF=BA+-AC=BA+^BC-BA^=-BA+-BC,

12-—q(i9A2i4191

2

即B_F=-5AH—BC,所以5尸=—BAH—BC=—c+—+2x—x—acx—=4.

33^33J99333

‘廿/口11242cl2l,cl24

由本c/、式^、,有—c4—Q+2x—x—cicx—=4N2x—x—cicHcic,

993333327

即收《幺，当且仅当c=2a,即°=迷，c=2店时等号成立，

442

所以ABC的面积S=Lacsin/ABC〈Lx2x述=2叵，

22434

故当c=£l,°=亚时，ABC面积的最大值为逋.

244

2.(2024•贵州铜仁•模拟预测)在ABC中，已知tanA+tan3+1=tanAtan比AB=272，AC=20

⑴求角8；

(2)若一ABC为锐角三角形，且GA+G2+GC=0，求△G4B的面积.

【答案】(1)8=々或今

⑵S&GAB=。+1

【分析】(1)利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出tanC,再利用正弦定理求出角8；

(2)根据GA+G8+GC=0得到点G为三角形&ABC重心，由SGAB=：S如直接求解即可.

［详解］(1)tanA+tanB=tanA-tanB-1,

在三角形中，tanA+tan_BwO,

tanA+tanB,,,<

tanAtanB^l,「•------:-----=-l,/•tan(A+B)=-l,

1-tanA»tanB

在.ABC中，A+B+C=n,

/.tanC=-tan（A+B）=1,

jr

又0＜。＜兀，c=-,

4

AC=b=2^/^,AB=c=2A/2,

由正弦定理==^sinB-Z?SinC-2'^，

sinAsinBsinCsin万一-------------------尸~---

c2V22

7C兀_p.2兀

,b＞c,8=7"或—；

33

（2）因为/ABC为锐角三角形，所以8=三，

GA+GB+GC=O.

・••点G为三角形ABC重心，

所以SGAB=gsCABAC-sinA,

又sin（3+C）=sinA=":后,

所以sGAB='、20・26."+力=且+1,

GM32v43

所以△G4B的面积为走+1.

3

3.（2024.全国.模拟预测）在,ABC中，AB^IBC.

3-

（1）右cosB=W，求tanA；

⑵若AC=2,求.ABC面积的最大值.

【答案M呜4

4

【分析】（1）解法一先利用同角三角函数基本关系求得sin5=w，再利用正弦定理结合两角和正弦公式化

简求解即可；

7

解法二结合已知利用余弦定理求得cos4=Z，然后利用同角三角函数基本关系求解即可.

V65

（2）利用余弦定理得cos8=^7,然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可.

4〃

【详解】（1）解法一因为cos8=|,所以sinB=Q^7=Jl-=g.

rAR

在.ABC中，由正弦定理得半=罢=2,

sinABC

111123

所以sinA=—sinC=—sin（B+A）=—sinBcosA+—cosBsinA=—cosAd----sinA

2222510

4

所以7sinA=4cosA,贝！JtanA二一.

7

解法二设A5=2a,则5C=a,

在,ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB=4a2+a2-—a2=y«2>

.21322

■2+人。2—3。24〃HCl—Clr

V655_7

所以4C=-----a所以cosA=

2ABAC47652V65

5-------a

5

所以sinA=Jl-cos2A=Jl一竺二—,所以tanA=］亩A=j;

V65V65cosA7

(2)由(1)中解法二可知5C=〃，AB=2a,

6+叱―人。25a2-4

在,.ABC中,由余弦定理得cosB=

2ABBC4a2

所以S谢二；A3•3Csin3=〃J__©os?B==-V-9«4+40«2-16

4

-9卜一部+等号当”手时取等号，

4

故_ABC面积的最大值为

4.(2024•全国•模拟预测)在一ABC中，内角A民C的对边分别为。也。.已知

cos2B-cos2ZBAC=2sinC(sinC-sinB).

⑴求ZBAC.

(2)若点。为边BC的中点，且AD=2,求「.ABC面积的最大值.

【答案】⑴:

⑵拽.

3

【分析】(1)由二倍角公式化简已知等式，然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得NA4C.

(2)由向量建立等量关系，结合基本不等式求得,ABC面积的最大值即可.

【详解】(1)由二倍角公式，得l-2sin喈-0-2sin2/A4C)=2sinC(sinC—sinB),

即sin2ZBAC—sin2B=sinC(sinC-sinB).

由正弦定理，^a2-b2=c2-bc,^c2+b2-a2=bc.

由余弦定理，WcosZBAC=r+Z，--fr

2bc2bc2

71

因为0</B4C<兀，所以/区4。=耳.

(2)因为点。为边BC的中点，所以2AZ)=AC+AB，

所以4AD2=AC2+AB2+2|Ac||AB|cosZBAC,

即16=。2+02+儿23历，解得当且仅当6=c=拽时，等号成立.

33

斫“a_1,.N16_473

/TT以S八=-bcsin/A4c=—be<—x—=-----,

△ABRrC24433

所以ABC面积的最大值为递.

3

5.(2024•全国•模拟预测)在&ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4=1.

(1)^C-B=—,c=\/2Z?sinC>求b;

(2)若(a+b)(sinA-sin8)=(c-0)sinC,求ABC的面积S的最大值.

【答案】⑴G-l

(2)立.

4

冗

【分析】（1）根据正弦定理，由c=®sinC得至UsinC=&sinBsinC，进而求得sinB,再由C-B=五，求

得角B,A,得到sinA,再由正弦定理求得6；

（2）根据正弦定理角化边得到6+02-/=A，用余弦定理求得4再根据基本不等式求得6c<1,然后利

用三角形面积公式，即可求得S的最大值.

【详解】（1）Elc=V2Z?sinC>由正弦定理得$抽。=5/58111的11。，

又Ce（0,7t）,所以sinCxO,所以sinB=乎,

冗冗

又c-旌a所以入C'所以2为锐角’所以八“

-7L7L7LI、14兀兀5兀

C=一+—,所以A=7l---------

12434312

5兀7171.717171.71y/2+46

故sinA=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=-----------

126464644

I6

.Ix__

「ab匚G、17asinB9/71

X——-=-^—,所以人=~==-1

sinAsmBsinA，2+，6

4

(2)因为囚+/?21114一$1115)=(0-/?)$111。,

由正弦定理得(〃+")(〃—»=(c—b)c,即正十02一片=历,

Z72+c2-a2be_1

所以cosA=

2bc2bc~2

又Ae(CU),所以A=?

因为a?二人2+。2一儿,所以1=/?2+。2—be>2bc—be=be,

即〃。<1,当且仅当8=c=l时等号成立，

所以S=—besinA=上昱—,当且仅当b=c=l时取等号,

22244

所以S的最大值是3.

4

考点二、周长及最值

2tanA_asinB

1.(23-24高三・河北沧州•模拟)一ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,

1+tan2Ab

⑴求角A的大小；

(2)若6+°=耳，ABC的面积为2叵，求ABC的周长.

3

【答案】(1)A=;

(2)26+2.

【分析】(1)利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.

(2)利用三角形面积公式求出6c,再余弦定理列方程求解即得.

2tanA2sinAcosA

【详解】(1)依题意,=2sinAcosA,

1+tan2Asin2A+cos2A

sinAsinB..

在LABC中，由正弦定理得竺”--------=sinA,

bsin3

因此2sinAcosA=sinA,而sinA>0,贝lJcosA='，又OVACTI,

2

所以Ag

(2)由ABC的面积为汉1,得LbcsinA=2叵，解得6c=§,

3233

由余弦定理得。之=c2+b2-2/?ccosA=c2+b2-be=(Z?+c)2—3bc,

而力+c=g〃，贝lj储=(石〃)2一8,解得。=2,b+c=2A/3,

所以的周长为26+2.

2.(2024•河南新乡•二模)已知—ABC的内角A氏C的对边分别为a,6,c,上—=多刍

c4b-a

⑴求sinC的值；

(2)若J1BC的面积为巫，且°+b=2\&c,求一ABC的周长.

23

【答案】⑴姮

4

(2)4+76

化简求得c°sC】,进而得到sinC的值;

【分析】(1)根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式,

(2)由若_MC的面积为姮，求得。6=4,再由余弦定理,

求得c=娓,进而求得J1BC的周长.

2

【详解】(1)解：因为垩C=等4，由正弦定理得cosCcosA

c4b-asinC4sinB-sinA'

可得4sinBcosC-sinAcosC-cosAsinC,

即4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

因为3£(0,兀)，可得sin3>0,所以4cosc=1,BPcosC=-,

4

所以sinC=Vl-cos2C=.

4

(2)解：由(1)知sinC=姮，

4

因为若ABC的面积为巫，可得工4加皿。二巫，即!"义巫=巫，解得必=4,

222242

又因为Q+Z?=------C,

3

由余弦定理得c?=a2+b2-2cibcosC=(i+Z?)2—2cib—2cibx——(。+。)2一—10，

整理得/=6,解得c=n，

所以a+b=x巫=4，

3

所以ABC的周长为a+b+c=4+C.

C—Acin/1

3.（2024•陕西•模拟预测）.回。的内角481的对边分别为0,肉0,土：=.

a-bsmC+smB

⑴求C;

（2）若〃+b=6,求ABC的周长最小值.

【答案】（1）C=5

（2）9

【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角C的值;

（2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值.

4

【详解】（1）因为二=.二，由正弦定理可得==—，

a—bsmC+SIILDa—bc+b

整理得a2+b2—c2=ab

^272_2ab_1

由余弦定理知c°sc=F^

lab2

jr

>0<C<7i,所以C=1.

（2）由（1）可矢口：a1+b2-c2=ab,c2=（«+Z?）2-3ab=36-3ab,

且必上叫一=9,当且仅当a=6=3时，等号成立，

一4

则。2=36-3"»9,即c»3,可得a+6+cN9,

所以ABC的周长最小值9.

4.（2024・全国•模拟预测）已知函数〃x）=4sin[x+E]cosx-L

⑴求的最小正周期与图象的对称中心；

（2）在ABC中，/（A）=1,BC=4,求MC周长的取值范围.

【答案】⑴?二兀；[仁-/。）/eZ

⑵（8,12]

【分析】（1）易得"x）=2sin[2x+tj,再利用正弦函数的性质求解；

（2）由〃4）=1,g=4结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长

£=a+〉+c=4+4cosC+手sinC+手sinC=8sin[c+j+4,再利用正弦函数的性质求解.

1、

【详解】（1）解：由题意得〃无）=4sinx+—cosx：cosx-1=2石sinxeosx+2cos2x-1,

2

7

=V3sin2x+cos2x=2sinI2x+1,

所以/'（x）的最小正周期T号=兀;

令2%+巴=防1,左eZ,贝!Jx=........—，^GZ,

6212

故/（x）图象的对称中心为（羡-去,。）,左£Z.

(2)由"A)=2sin[2A+t=1,得sin]2A+^

2

又0＜4＜兀，所以工＜2A+?＜孚，

666

所以2A+m=学，则4=弓，则B+C=

0O33

设.ABC的内角A氏C所对的边分别为a,b,c,

/7_c_48百

由正弦定理得sinB-sinC一.兀"V

sin—

3

随xsin(空2兀-c]=4c°sC+迪473sinC,C8n^/3C,

b=-sinB=

33333

贝惆长八,=(z+Z>+c=4+4cosC+—sinC+—sinC,

33

=4+4cosC+4瓜inC=8sinC+看+4,

因为Ce]o,gjr兀5K

,所以C+、e

o6，-6-

1

故可0+£卜卜/，因止匕4e(8,12].

2/△ABC

5.（2024•陕西汉中•二模）在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下列条件中选择一个条

件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）

①记11ABe的面积为S,且gAB-AC=2S；②已知asinB=6cos(A-工).

6

⑴求角A的大小;

⑵若ABC为锐角三角形，且a=#,求45c周长的取值范围.

【答案】（1）A=1；

⑵(30+疯3扃

【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角

的余弦化简即得.

（2）利用正弦定理化6+c为角3的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.

【详解】（1）选条件①，由括A8-AC=2S,得6bccosA=2xgbcsinA,整理得tanA=Q,而0<&<兀，

所以

选条件②，由asinB=bcos(A-工)及正弦定理，sinAsinB=sinBcos(A--),

66

ffusinB>0,则sinA=cos(A-g)=#^cosA+(sinA,整理得tanA=百，而0</1<兀，

所以A4.

bca

⑵由⑴知A=5,由正弦定理得singFc-sinA'in巴

3

因止匕b+c=2\/2sinB+2A/2sinC=20[sinB+sin(^+B)]

0<B<-

由,ABC为锐角三角形，得。2,解得因此g<8+m<=,

0<a_8<四612363

132

贝I]火<sin(8+巴)41,于是3点<6+cV2#,3应+#<a+6+c«3后，

26

所以一ABC周长的取值范围是(30+n,3#].

考点三、边长、线段及最值

1.（2024・陕西西安・模拟预测）在平面四边形ABCD中，NCBD=30。,ZBAD=60°,BC=4,BD=273.

（1）^AD=AB,求AC。的面积.

⑵求AC的最大值.

【答案】⑴6

（2）2+2A/3

【分析】（1）由题意计算出CD、AD及-ADC,借助面积公式即可得;

(2)借助中8。定长，44。定角，则外接圆圆心到A点的距离为定值，再计算出圆心到

点C的距离，由三角形三边关系即可得.

*C

O//

■\

【详解】(1)'

由NCB£>=30。，BC=4,BD=2®

贝ljCD2=BD2+CD2-2BD-CDcosZCBD=4,

即CD=2,有CD?+BD?=CD1,故ZBDC=9Q°,

由AD=AB,ZBAD=60°,则△ABD为正三角形，

即有AD=AB=3。=2石，ZADC=90°+60°=150°,

则S“°=，AZXf£>sinAOC=’仓也62?-百；

-222

.C

4：•।Y%

（2）

了乙二.-1，

由=2A/3，ZE4D=60。,

作出△ABD外接圆，令圆心为。，

则公ABD外接圆半径R==..”=2，

2sinZBAD

即有。4=08=2,Z.DOB=2ZBAD=120°,

1go。_[20°

贝UNDBO=--------------=30°,贝I」ZCBO=30°+30°=60°，

2

即有CO?=BC2+BO2-2BCBOcosZCBO=12,

即CO=2y/3,

则4（7449+0。=2+2退，当且仅当A、。、C三点共线时等号成立,

即AC的最大值为2+25A.

2.（2024・全国•模拟预测）在锐角ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且。853=/?（1+8$4）.

⑴证明：A=2B；

⑵求£的取值范围.

a

【答案】⑴证明见解析

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；

（2）由是锐角三角形，可求出〈工，进而求出也<COSB<3,由正弦定理结合两角和的正弦

6422

定理可得£=2COSB——」，令cos3=f,y=2t--,由y=2一工的单调性即可求出答案.

a2cos82t2t

【详解】（1）由acos5=Z?（l+cosA）,结合正弦定理得sinAcos5=sin3（l+cosA）,

即sinAcosB-cosAsinB=sinB,

所以sin（A_5）=sin5,

所以4一5=5或（4—5）+5=兀（舍去），所以A=25.

JITT

（2）在锐角ABC中，0<B<—,0<A=2B<~,0<C=n-3B<-,

222

即〈工，所以正<cosB<立.

6422

csinCsin33sin2BcosB+cos2BsinB一八1

—=------=---------=----------------------------------=2cosB-----------.

asinAsin23sin232cos3

所以y>也一旦立，y〈拒_鼠巫,

2233

g、J0•2冉

所以片亍）

3.（2024•江苏扬州•模拟预测）记ABC的内角ABC的对边分别为a,6,c,若（a+b+c）（a+b-c）=3,且

.ABC的面积为更.

4

⑴求角C；

（2）若AD=2DB，求|CD|的最小值.

【答案】⑴方2兀

喈

【分析】⑴借助余弦定理与面积公式可得瑟三板结合二倍角公式可得，呜=6即可得解;

,1,O*___2142

（2）结合题意借助向量，可得Cr>=）CA+'C3,结合模长与数量积的关系计算即可得CD=-b2+-a2

3

利用基本不等式即可得其最值.

【详解】(1)(^+Z?+c)(tz+Z7-c)=3,:.3=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab

3

结合余弦定理得3=2abcosC+2ab=2ab(l+cosC),•二ab=

2(l+cosC)*

jinC

Q

°ABC241+cosC

cc

2sin-cos一「

即——2—=又71X故C4;

2C2

COS——

2

ab=—~—..........=3

2(1+cosC)

AD=2DB，；.CD=；CA+gcB,

2i=—2=%+422

..CDCA+CB-a—

lt999993

又"+=1422c222

—a——=2x=—

993993333

当且仅当人=2〃=而时，长取最小值，此时。。=

.•.CD长的最小值为亚

3

1-sinAsin3

4.（2024・江西鹰潭•二模）ABC的内角A,BC的对边分别为a,b,c,满足

cosAcosB

TV

⑴求证：A+2B=--,

⑵求匕廿的最小值.

C

【答案】⑴证明见解析,

(2)40-5

【分析】⑴根据题意，化简得到sin(A+B)=cosB=sin|j-Bj,即可得证；

(2)由(1)知4且C=至+5,利用正弦定理得到^^=4cos2B+一一-5,结合基本不等式,

22c2cos2B

即可求解.

【详解】(1)证明：由^―‘in4=sin',可得人力色且sinAcosB+cosAsin3=cosB,

cosAcosB2

所以sin(A+3)=cos5=sin[-3),

jrTT

因为"为三角形的内角，可得人十八万㈤即A+23=5,得证.

7171

(2)解：由(1)知4=----2B,且C=7i—A—5=—FB,

22

所以〃+/_sin?A+sin"_cos?28+sin?8_(2cos，8-1)-+l-cos2B

c2sin2Ccos2Bcos2B

所以=£=4cos28+一一-5>472-5,当且仅当cos?2=农时，等号成立，

c2cos-B2

所以《42的最小值为4逝-5

C

5.(2024・全国•一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且A。是3C边上的

高.(sinA-sinB\a+/?)=(c-42b)sinC.

⑴求角A；

⑵若sin(5一。)=立^,a=5,求AZ).

10

【答案】⑴A=：

(2)AD=6

【分析】(1)已知条件利用正弦定理角化边，化简后由余弦定理求出cosA,得角人

(2)由sin(5-C)=,sin(B+C)=,得sinBcosC=^cos5sinC=2夜，WtanB=^-tanC,得

10210102

34nAr)Ar)4n

CD=-BD,有5D=2,CD=3,再由即tanB+tanC+l—tan3tanC=——+——+1-------------=0,解出AD

2BDCDBDCD

的值.

【详解】(1)一MC中，(sinA-sinB)(a+6)=(c—回)sinC,

由正弦定理，有(a-b)(a+b)=(c-应b)c,BPa2-b2=c2-yf2bc>

得b2+c2-a2=-Jibe,

b1+C1-a20bc_忘

由余弦定理,cosA=

2bc2bc2

由°"＜兀,得4弋,

(2)sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=,

sinA=sin[K-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,

解得sinBcosC=£2cosBsinC=冬旦,则B,C都为锐角,

1010

,.sinBcosC33

有---------=——得tanB=—tanC

cos3sinC22

锐角一ABC中，AD_LBC,则有tan8=^^,tanC=，

BDCD

又BC=a=BD+CD=5,得BD=2,CD=3,

由tanA=-tan(B+C)=1,tanB+tanC=一],即tang+tan^+l—tanBtanC=0,

1—tanBtanC

ADAD_AD^AD必+四十上An2

++i=Q>------=0,解得AD=6.

BDCDBDCD236

6.（2024•陕西西安•模拟预测）在ABC中，角A氏。的对边分别为“Ze,已知

V3

sinA=sinCcosB------sinBsinC,

3

⑴求角C的大小;

⑵若C的角平分线交A3于点。，且CD=2,求a+2Z＞的最小值,

【答案】(1)C=Q

(2)6+40

【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到tanC,由此得解;

（2）利用三角面积公式推得工+：=:，从而利用基本不等式"1"的妙用即可得解.

ab2

【详解】(1)因为sinA=sinCeosB-避^sinBsinC,

3

所以sinCeos5———sinBsinC=sin(C+=sinCcosB+cosCsinB,

所以一2^sinBsinC=cosCsinB,

3

由于0<5<兀，贝UsinB>0,所以—且sinC=cosC,即tanC=—石，

3

2兀

又Ce（0,兀），所以C=、.

（2）因为C的角平分线交AB于点。，且8=2,%«C=S"S+%BCD，

IQjr17rlIF

根据三角形面积公式可得七曲-sin芋=36-86由；+沫分06亩三

.2717CJC

等式两边同除以《就CD可得sm^_sm3smi,则雪；二，

25二+一ab2

CDab

则a+2b=2(Q+2b)6+40,

当且仅当竺=3,即6=2+&,a=2+2&时，等式成立,

ab

故a+2Z＞的最小值为6+4＞历.

考点四、三角函数值及最值

1.（2024・上海•三模）己知在，ABC中，角A,民C所对的边分别为a,6,c,b=l,且满足2acos3=cosC+eos,

（1）若“=生好，求的面积S；

(2)求“+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值.

【答案】⑴制吟

⑵最大值券’f.

【分析】(1)首先由余弦定理求出C,再结合三角形面积公式即可求解；

(2)由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解.

【详解】(1)Qb=l,2acosB=cosC+ccosB,.\2acosB=bcosC-^-ccosB,

又=27?,/.2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,

sinAsinBsinC

/.2sinAcosB=sin(B+C).

又•在AABC中，B+C=TI-A,AG(0,7i),2sinAcosB=sinA,

因为sinA>0,所以cos3=一,

2

又丁在一ABC中，BG(0,7T),:.B=^9

再由三角形的余弦定理得：b1=a2-^c2-2accosB,:.l=a2+c2-ac

45a=母或c=3A/13

BPc2----------c+—=0,解得c-------，

13131313

巫时，LesinB14万岳66

当c=:.S==—X------------X---------X--------=--------,

3屈时,_1”4万V133A/33如

当c—•s

132...........213'13"213

acb12石

._26.人_空sinC

(2)sinAsinCsinB"丁..。=---sinA,c—

33

.•.a+2c=^sinA+^sinC-^-sinfc+7-1K述sinC

33333

=^sinCcosC=^ll2回./工

+sinC+—cosC-y-sin(C+^)<^—.

3314

甘r+t.\/215-77

其中，sin67=-----cos(p=]4,9w

14

2兀

在，ABC中，B=y,.'.Ce0,

.•.当C+°=T时，a+2c取到最大值卓,

.A/21

此时，cosC=cosl-=sin0=---

14

2.(2024•全国•模拟预测)设」1BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若2sin2c=cosC^cos(A-B)+l.

⑴求《42的值;

C

(2)若2ABe为锐角三角形，求c