2025高考数学专项复习：立体几何初步（三大考向）学生版

第九饼更体几何初步（三大考向）

一:考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，4

2023•新高考I卷，14

柱、锥、台体的表面2024•新高考I卷，5

1.高考对立体几何初步的考查，重点是掌握基本空间

积与体积2022•新高考II卷，11

图形及其简单组合体的概念和基本特征、解决多面体

2023•新高考II卷，9

和球体的相关计算问题。同时需要关注异面直线的

2023•新高考II卷，14

判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题、夹角

2022•新高考I卷,8

距离问题、截面问题。这些问题对考生的空间想象能

球的切接问题2023•新高考I卷，12

力要求有所提升，需要考生有强大的逻辑推理能力。

2022•新高考II卷，7

2022•新高考I卷,9

夹角问题

2024•新高考II卷，7

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，II卷考查了以棱台为背景的线面角的

求法，总的来说,基本立体图形的表面积和体积属于常考点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式和提

升计算能力比较重要。预计2025年高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台体的

表面积和体积计算。

三:试题精讲

一、单选题

（2024新高考I卷⑸已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为血，则圆锥的体

积为（）

A.2，^兀B.3瓜RC.6A/3TTD.9A/3TT

:（2024新高考n卷7）已知正三棱台ABC—4B1G的体积为萼，AB=6,45=2,则小人与平面

ABC所成角的正切值为（）

A.yB.1C.2D.3

高考真题练

一、单选题

I（2022新高考I卷⑷南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.

已知该水库水位为海拔148.5小时，相应水面的面积为140.0km?；水位为海拔157.5nz时，相应水面

的面积为180.Okn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m

上升到157.57n时，增加的水量约为2.65）（）

A.1.0x10WB.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

二。（2022新高考I卷⑻已知正四棱锥的侧棱长为Z,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀，且3

<Z<3代，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,用B.吁，用C.[争明D.[18,27]

【题5】（2022新高考H卷7）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3©和40,其顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.128兀C.1447tD.192兀

二、多选题

【题6】（2022新高考I卷⑼已知正方体48co—ABQQi,则（）

A.直线与DAi所成的角为90°B.直线BG与CAi所成的角为90°

C.直线BG与平面所成的角为45°D.直线与平面ABCD所成的角为45°

",7】（2023新高考I卷」2）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：小）的正方体容器（容器壁厚度忽略

不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8馆的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为O.Olnz的圆柱体

：<（2022新高考n卷•口）如图，四边形ABOD为正方形，平面ABCD,FB"ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E—ACD,F—ABC,F—ACE的体积分别为则（）

£

A.%=2%B.%=%C.%=%+%D.2%=3%

<9］（2023新高考n卷⑼已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，乙4PB=120°,_R4=2,点

。在底面圆周上，且二面角P-AC-。为45°,则（）.

A.该圆锥的体积为加B.该圆锥的侧面积为兀

C.AC=2y/2D.△R4C的面积为通

三、填空题

（2023新高考I卷44）在正四棱台ABCD—ABiG。中，AB=2,4目=1,441=2,则该棱台的体

积为

（2023新高考n卷・14）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为

知识点总结

一、棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱:底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体:底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体:底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体:棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

（1）正棱锥:底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫

做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

斜棱柱四

按锄粳与底面是否总克分类

棱柱棱

按底而多边形分类直棱柱-•正棱柱柱

三棱柱四棱柱

凸

多平行六面体-

面长方体

体

梭锥一正梭锥一正四面体

棱台正校台正

方

庇

正多面体

二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆

锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经

过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

三、表面积与体积计算公式

1、表面积公式

S直棱柱=ch-\-2s底

S斜棱柱=+2s底©为直截面周长）

表柱体

h

S圆锥=2兀丁2+2兀川=2兀『（丁+Z）

面

2m

积6

S正棱锥=-^nah'+S底

锥体

S圆锥=7tr2+TUTI=7rr(r+I)

5正棱台=+优）％+S上+S下

台体

S圆台—兀（『'2+/+r，l+ri）

球S=街面0

2、体积公式

柱体匕主=ShaJ

咻=白九

锥体

O

体4

积

台体嚓=｝（s+V^+s，）/i

球

J©

四、空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的。2,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于工轴的线段，在直观图

中画成平行于O'x',O'y'，使Ax'O'y'^45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于2轴的线段，在直观图中画成平行于或轴的线段,且长度保持不变；

在已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于d轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变，纵

减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去如轴、式轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为V2：4.

五、四个基本事实

基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②:经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③:经过两条平行直线，有且只有一个平面；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

六、直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形ZX7

符号aC\b=Pa//baD。=A,bua,AWb

公共点个100

数

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何

一个平面内

七、直线与平面的位置关系

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

7^7zLV

符号1CalHa=Pl//a

公共点个数无数个10

八、平面与平面的位置关系

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形a

符号a〃£aCB=1a_1_6，aD£=/

公共点个数0无数个公共点且都在唯无数个公共点且都在唯一

一的一条直线上的一条直线上

九、等角定理

1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

十、直线和平面平行

1、定义

直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作Z//a

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这个平1//1,'

线〃线=>面内的一条直线平行,那么这条直4ua>=>///«

101ai

线〃面线和这个平面平行（简记为“线线

平行=>线面平行

如果两个平面平行，那么在一个平all&

>na〃£

面〃面=>面内的所有直线都平行于另一个aUa

线〃面平面

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和一个Illa'

平面平行，经过这条5

线〃面=>线〃线直线的平面和这个平aC/3=L

面相交，那么这条直

1、定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和若aPl£=0,则1〃6

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两条相aUa,bUa,aCb=P

线〃面=>交的直线都平行于另一个allb〃£n°〃£

面〃面平面,那么这两个平面平行//

（简记为“线面平行n面面

平行

线，面如果两个平面同垂直于一,/l±a]

1,na〃£

n面〃面条直线，那么这两个平面平12例

行

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平行，那么

面〃面=>

在一个平面中的所有直

线〃面A_/>=>a〃6

线都平行于另外一个平aUaJ

面/L_y

如果两个平行平面同时

a1B

和第三个平面相交，那么

性质定理aPly=a\=a”b.

他们的交线平行（简记为今

6^7=4

“面面平行=>线面平行”）

如果两个平面中有一个

面〃面O垂直于一条直线,那么另

一个平面也垂直于这条弓

线_1_面l±aj

直线

十二、直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平1

面内的两条相交直Q_1_/

判断定理>n/J_a

线都垂直,则该直b.Ll

线与此平面垂直7aHb=P^

两个平面垂直，则

a"'

在一个平面内垂直aC\^=a

面_L面n线_L面=>b_La

于交线的直线与另buB

b_La

一个平面垂直

一条直线与两平行

平面中的一个平面aIIB

平行与垂直的关系>NQJ_0

垂直，则该直线与a_La,

另一个平面也垂直

两平行直线中有一

条与平面垂直，则a//b

平行与垂直的关系>=>b_La

另一条直线与该平QJ_a,

面也垂直

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一平面的a,La

性质定理aMb

两条直线平行bJ_a,

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一直线的aA-a

垂直与平行的关系—aHB

两个平面平行QJL为

如果一条直线垂直

于一个平面，则该直

线垂直于面的性质/_l_a,QUa=>/_La

线与平面内所有直

线都垂直二

十三、平面与平面垂直

1、平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.

（如图所示，若a06=8,8_17,且a07=人6,£07=跳；,45_1跳；,则0_16）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一b_Lau\b*

个平面的垂线，则

这两个平面垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则一a_L£'

个平面内垂直于交>nb_La

buR

线的直线与另一个b_La

平面垂直

十四、直线与平面所成的角

1、定义

①斜线和斜足:如图，一条直线，与一个平面〃相交,但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.

②斜线在平面上的射影:如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面”引垂线PO,过垂足。和斜足A的

直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所

成的角.

2、直线与平面所成的角的范围

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是（）0.

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角〃的范围是““<〃-lH).

④直线与平面所成的角”的取值范围是(I//-90.

十五、二面角

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为48,面分别为a,/1的二面角记作二面角〃—AB-；-｛，如果棱记作Z,那么这个二面角记作二面角

-Z-"，如图(1).

②若在〃，/),内分别取不在棱上的点P,Q,这个二面角可记作二面角P—AB—Q,如果棱记作Z,那么这

个二面角记作二面角P—/—Q,如图(2).

(1)(2)

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角4—的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面0和6内分别作垂直于棱，的射线OA和

OBJ'］射线OA和构成的AAOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

aCl6=hOeLOACa,OAll,OB11=^/AOB叫做二面角a—Z—0的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小是0;当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是I.所以二面角的平面角-的范围是“aIX(r.

名校模拟练

一、单选题

（2024・重庆・三模）若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为于,则该圆锥的侧面积为（）

A.V27tB.2兀C.22兀D.4兀

（2024•河北秦皇岛•三模）已知小，九表示两条不同的直线，a表示平面，则（）

A.若?n〃a,ri〃a,则m〃nB.若？n〃a,m_L九，则？i_La

C.若？??,_1_&,?71_1_n，贝“7?,〃&D.若7nJ_a,?i,Ua,贝

（2024•新疆喀什•三模）已知底面边长为2的正四棱柱ABOD—4BQQ1的体积为16,则直线AC与

AB所成角的余弦值为（）

A2V1R逅「n3m

'5'5'1010

（2024•山东潍坊•三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成.

已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2,上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比

为（）

A巫RX「迤D正

【题16】（2024・陕西•三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞

口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘

可近似看作是圆台和圆柱的组合体,其口径22.5cm,足径14.4cm,高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm网

黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：兀的值取3,“25.4025x5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

【题17】（2024・四川成都•模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平

行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的

高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V=

《%（S+4So+S，），其中SS分别是上、下底面的面积，So是中截面的面积，无为拟柱体的高.一堆形为拟

O

柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长、

宽比下底的长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运,则至少

需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）

C.54车D.56车

（2024・天津河西•三模）如图，在三棱柱AB。—ABQi中，E,F分别为AB,47的中点，平面

EBiGF将三棱柱分成体积为弘，弘两部分，则必%=（）

【逝』9】（2024•新疆•三模）设四棱台ABCD—AiBQQi的上、下底面积分别为S,S2,侧面积为S,若一个小

球与该四棱台的每个面都相切，则（）

A.S?=S02B.S=S+S2D.岳=宿'后

：（2024•天津北辰•三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载

人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来,

中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内

部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆

锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

「215兀325兀

-916

（2024•山东泰安.二模）已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD

=电后，平面ABD_L平面BCD,则该球的表面积是（）

A.40兀B.80兀C.100兀D.160兀

（2024・天津・二模）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，441，BG,CG,。口

均与底面ABCD垂直，且44=CG=DDi=2BG=4四，点E、F分别为线段BC、CC、的中点，记该几

何体的体积为V,平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（）

【题23］（2024-江西鹰潭•三模）在菱形ABCD中，AB=2,AC=2四,将△48。沿对角线AC折起,使点B

到达的位置，且二面角9—人。一。为直二面角，则三棱锥®—ACD的外接球的表面积为（）

A.5兀B.16兀C.20兀D.100兀

二、多选题

【题24】（2024•山西•三模）将一个直径为10cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（）

A.底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体B.底面直径为8cm，高为8cm的圆锥体

C.底面直径为7cm，高为9cm的圆锥体D.各棱长均为8cm的四面体

（2024-浙江.二模）正方体ABCD-A倒。。中，E,F分别为棱人。和DD,的中点,则下列说法正确

的是（）

A.AD\〃平面BEFB.平面BEF

C.异面直线B1A与EF所成角为60°D.平面BEF截正方体所得截面为等腰梯形

：（2024•河南三门峡•模拟预测）已知正