云南省昆明市五华区2025届高三毕业班摸底调研考试数学试题

云南省昆明市五华区2025届高三毕业班摸底调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（）A． B． C． D．2．设则以线段为直径的圆的方程是（）A． B．C． D．3．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．5．已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，则球O的表面积为（）A． B． C． D．6．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（）A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有8．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．39．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若不垂直于，且，则不垂直于10．已知向量与向量平行，，且，则（）A． B．C． D．11．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位12．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆关于直线的对称圆的方程为_____.14．已知向量，且向量与的夹角为_______.15．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.16．已知，满足不等式组，则的取值范围为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若，求证：（2）若，恒有，求实数的取值范围.18．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.19．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.（1）请分别写出、、的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．21．（12分）设都是正数，且，．求证：．22．（10分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【详解】解：由于在区间有三个零点，，，当时，，∴由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，∴，，所以最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.2、A【解析】

计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.3、D【解析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.4、C【解析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A：为非奇非偶函数，不符合题意；B：在上不单调，不符合题意；C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；D：为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5、D【解析】

由题意画出图形，找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O，通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径，则答案可求.【详解】如图；设AB的中点为D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：rAB＝AD＝2；设外接球球心为O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2⇒R2＝（R）2+r2⇒R；∴球O的表面积为：4πR2＝4π.故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.6、D【解析】

过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.，.，，，为的中点，，，，，由双曲线的定义得，即，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7、C【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；D：当时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.8、A【解析】

直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.【详解】解：将两边同时乘以，得故选：A【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.9、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C．10、B【解析】

设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.11、D【解析】

直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位．故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．12、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．

∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出圆心关于直线的对称点，即可得解.【详解】的圆心为，关于对称点设为，则有:，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.故答案为：【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.14、1【解析】

根据向量数量积的定义求解即可．【详解】解：∵向量，且向量与的夹角为，∴||；所以：•（）2cos2﹣2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．15、【解析】

根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得：，故答案为：【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.16、【解析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.【详解】（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，∴f（x）的极大值为，∴当x＜0时，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为；当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.【详解】解:（1）因为,所以,当,即时,；当,即时,；当,即时,.（2）由得,当,即时,M中仅有的整数为,所以,即；当,即时,M中仅有的整数为,所以,即；综上,满足题意的k的范围为【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.19、（1），，.（2）当时，此时选择火车运输费最省；当时，此时选择飞机运输费用最省；当时，此时选择火车或飞机运输费用最省.【解析】

（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.（2）作差比较、的大小关系得出结论.【详解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比较与的大小关系即可，令，故当，即时，，即，此时选择火车运输费最省，当，即时，，即，此时选择飞机运输费用最省.当，即时，，，此时选择火车或飞机运输费用最省.【点睛】本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.20、（1）（2）【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．21、证明见解析【解析】

利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,，所以，∴成立，又都是正数，∴，①同理，∴．【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题