福建省厦门市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年第一学期初中毕业班期末考试数学本试卷共6页．满分150分．注意事项:1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3.可以直接使用2B铅笔作图．一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是（）A.向上一面的点数是2 B.向上一面的点数是奇数C.向上一面的点数小于3 D.向上一面的点数小于7答案：D解：A．向上一面的点数是2是随机事件；B．向上一面的点数是奇数是随机事件；C．向上一面的点数小于3是随机事件；D．向上一面的点数小于7是必然事件；必然事件和不可能事件都是确定事件．故选：D．2.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A. B.C. D.答案：B解：A、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；C、∵，∴方程没有实数根，不合题意；D、∵，∴方程没有实数根，不合题意．故选：B．3.如图，内接于，直径交于点P，连接．下列角中，等于的是（）A. B. C. D.答案：B解：由圆周角定理可得，故选：B．4.关于（x为任意实数）的函数值，下列说法正确的是（）A.最小值是 B.最小值是2 C.最大值是 D.最大值是2答案：A解：二次函数，其图象开口向上，其顶点为．函数的最小值为．故选：A．5.某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程（）A. B. C. D.答案：C解：设图书数量的平均增长率为x,由题意得，．故选：C．6.如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（）A. B. C. D.答案：D解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称．故选：D．7.某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（）A.4 B.16 C.24 D.32答案：C解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手次，旋转4圈需要转动扳手次．故选：C．8.某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则t的取值范围是（）A B. C. D.答案：D解：，当s取得最大值时，飞机停下来，即，飞机停下来，因此t的取值范围是；故选：D．二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9.不透明袋子中只装有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______．答案：解：从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率为，故答案：．10.抛物线的对称轴是______．答案：解：∵，∴此函数的对称轴就是直线．故答案为：．11.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是______．答案：2.将x=1代入方程即可求出m的值.试题解析：把x=1代入方程得：1+m-3=0∴m=2故答案为m=2.12.如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点，图中与∠ADE相等的角是_________．答案：∠ABC解：∵四边形ABCD内接于圆，∴，∵E为CD延长线上一点，∴，∴，故答案为：．13.如图，在中，，，是的角平分线．把绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点是点E，则点D与点F之间的距离是_____．答案：解：∵，，是的角平分线．∴，，∴，连接，由旋转的性质可得：，，∴；故答案为：14.在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为______．答案：解：，，的对角线相交于点O，，∴点的坐标为，故选：C．15.为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异．表一记录了截至目前的试验数据．表一累计获得试验成功的种子数（单位：粒）1468101214累计试验种子数（单位：千粒）15810.512.514.516.5该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要准备用以辐射的种子数（单位：千粒）______．答案：16解：第1次实验成功率为：，第2次实验成功率为：，第3次实验成功率为：，第4次实验成功率为：，第5次实验成功率为：，第6次实验成功率为：，第7次实验成功率为：，综上所述，试验成功的概率为，该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，已经成功14粒，还差16粒，有（粒）（千粒），故答案为：16．16.有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程：_______．答案：（答案不唯一）解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程．故答案为：（答案不唯一）三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.解方程：．答案：，∵a=1，b=－5，c=2∴代入求根公式得，∴，18.如图，四边形平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：．答案：见解析解法一：证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，．解法二：证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，．解法三：证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，．19.先化简，再求值：，其中．答案：，当时，原式．20.如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长．答案：解：连接，与相切于点A，，即．设，，的长为，．解得，即．．．．在中，，．21.在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上．（1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系．答案：（1）见解析（2），见解析小问1详解】如图即为所求；以圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求；故【小问2详解】在矩形中，绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点F在线段上，∵在中，又与交于点Q，又是等边三角形．在中，22.某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；②转运板进311，托起车，载车出311；③转运板载车滑行至316前；④转运板进316，放车，空载出316，停在316前；⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车．停车位301…停车位311…升降台316…留空321…停车位330转运板滑行区转运板滑行区如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．答案：（1）转运板载车时的滑行速度为0.6m/s（2）P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝【小问1详解】解：设转运板载车时的滑行速度为xm/s，则升降台升降速度为0.5xm/s，依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6m，可列方程：，解得：x＝0.6，经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．【小问2详解】解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，则．解得：．因为a是正整数，所以．因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．23.正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”．若直线l：与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为，则称直线l为该正方形的“T悬割线”．已知抛物线M：，其中，，，以为边作正方形（点D在点A的下方）．（1）证明：正方形是抛物线M的“A悬正方形”；（2）判断正方形是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由；（3）若直线l是正方形的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由．答案：23.见解析24.正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由见解析25.存在，要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数【小问1详解】解：当时，，则点A在抛物线M上，故正方形是抛物线M的“A悬正方形”．【小问2详解】解法一：正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：假设点B在抛物线M上，则当时，，则，化简得：，解得，与矛盾，假设不成立，所以点B不在抛物线M上．故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”．解法二：正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：假设点B在抛物线M上，由，可知抛物线M的对称轴，由抛物线M：可知对称轴是．所以，解得．与矛盾，假设不成立．所以点B不在抛物线M上．故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”．【小问3详解】假设存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形，则平移后，正方形是抛物线M的“C悬正方形”．∵抛物线M及正方形进行相同的平移，∴平移前，正方形是抛物线M的“C悬正方形”．则点C在抛物线M上．∵，，∴轴．∵∴，在正方形中，，，则．∵点C在抛物线M上，∴．解得：，（不合题意，舍去）．∴．那么平移前，，，．∵直线l：与x轴，y轴分别交于，，∵∴，直线l：与x轴夹角是．因为平移前，直线l是正方形的“A悬割线”，如图，设直线l与，分别交于点P，Q，∵轴，∴，在正方形中，，∴．则．∴．∵，，∴，∴，∵点P在直线l：上，∴，设点平移后的坐标为．设直线l与平移后正方形的边交于点E，如图，同理可得：．则．∵点E在直线l：上，∴，∴．∵抛物线M及正方形进行相同的平移，∴要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，则抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数．24.四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示．（1）当时，求证：直线与相切；（2）当，时，求的度数；（3）在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系．答案：（1）见解析（2）（3）或【小问1详解】证明：连接，如图，∵四边形是菱形，∴，，．∴．∵．∴．∵P是垂直平分线上的点，∴．∴．∴．∴．∴．∵垂直平分，P在上，∴，即点A在上．∴直线与相切．【小问2详解】由（1）得，则点D在上．∵与同对，∴．∵四边形是菱形，∴，．∴．∴．∴．∵，∴在中，．∵由（1）得，即．∴．∴为直角三角形，且．∴．又∵，∴．【小问3详解】设，由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合．所以若点C与E不重合，可分两类讨论：①当点E在延长线上时，由（2）知：．∴，即．∵，∴．∴．则．即．②当点E在边上时，∵点A，E，C，D在上，∴．∵，∴．∵，∴．∴．即．又∵，∴．∴．∴．即．综上，或．25.请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料：[背景]小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道：“你家附近不是已经有一个A超市了吗？再开一个能吸引顾客吗？”这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣．[过程]为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素”为主题对该市居民展开随机调查．结果显示：超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素．大家根据调查进行了总结：①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标；②占地面积越大吸引力越大；③距离越大吸引力越小．在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s（单位：）及其与居民住处的距离r（单位：m），并对p，s，r之间的关系进行研究．一开始，同学们猜想p可能是的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大．这时，小梧提出：“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为（G是引力常数），我们是不是可以作个类比，试一下看p与的关系如何？”．按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直角坐标系中绘制了p与对应关系的散点图，如图所示．根据阅读材料思考：（1）观察图中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与的对应关系，直接写出它的一般形式；（2）为了清晰表示位置，同学们选A超市为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴