2024年高考数学复习突破训练：立体几何（含解析）

立体几何

1.由三视图求面积、体积

【学问点的相识】

1.三视图：观测者从不同位置视察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括:

(1)主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；

(2)左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；

(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图,反映物体的长度和宽度.

2.三视图的画图规则:

主视图左视图

长对7F1

(1)高平齐：主视图和左视图的高保持平齐;

(2)长对正：主视图和俯视图的长相对应；

(3)宽相等：俯视图和左视图的宽度相等.

3.常见空间几何体表面积、体积公式

圆柱：S圆柱=2兀r(r+l)

圆锥：S图锥=7Tr(r+l)

(1)表面积公式:圆台：S回台=冗(=2叱，2+rl+r,1)

球：S球=4兀/

柱体：V^j=Sh

锥体：V||=-1-Sh

(2)体积公式：'台体：v台卷+SZ)h

4H3

球：V球=,r

3

【解题思路点拨】

1.解题步骤：

(1)由三视图定对应几何体形态(柱、锥、球)

(2)选对应公式

(3)定公式中的基本量(一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高)

(4)代公式计算

2.求面积、体积常用思想方法：

(1)截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解;

(2)割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；

(3)等体积转化：充分利用三棱锥的随意■个面都可以作为底面的特点，敏捷求解三棱锥

的体积；

(4)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法.

【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容.解答此类问题,

必需娴熟驾驭三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视

图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等(正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相

等)，要擅长将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，

精确计算.

例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()

48-2”8.8-mC8-2L7).8-

24

分析：几何体是正方体切去两个工圆柱，依据三视图推断正方体的棱长及切去的圆柱的底面

半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.

解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个工圆柱，

4

正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,

，几何体的体积r=23-2XAXJIX12X2=8-Ji.

4

故选：B.

点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，依据三视图推断几何体的形态及数据所对应的

几何量是解题的关键.

2.球面距离及相关计算

【学问点的相识】

球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一

段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.

3.棱柱的结构特征

【学问点的相识】

1.棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相

互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱用表示底面各顶点的字母来表示(例：ABCD

-A'B'CD').

2.相识棱柱

底面：棱柱中两个相互平行的面，叫做棱柱的底面.

侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面.

侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点.

高：棱中两个底面之间的距离.

3.棱柱的结构特征

1两个底面互相平行

棱柱2.侧面都是四边形

3.侧棱互相平行

依据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：

(1)侧面都是平行四边形

(2)两底面是全等多边形

(3)平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形

(4)长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

4.棱柱的分类

(1)依据底面形态的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四

棱柱、五棱柱….

(2)依据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为

正多边形，则称其为正棱柱.

直棱柱正棱林

5.棱柱的体积公式

设棱柱的底面积为S,高为h,

4.棱锥的结构特征

【学问点的相识】

1.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何

体叫做棱锥.用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S-ABCD.

2.相识棱锥

棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面.

棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

棱锥的高：棱锥的顶点究竟面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面.

3.棱锥的结构特征

共箝fl.底面是多边形

棱锥I2.侧面是三角形

依据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：

平行于底面的截面和底面相像，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比.

4.棱锥的分类

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、

五棱锥…

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正

棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.

5.棱锥的体积公式

设棱锥的底面积为S高为力，

V棱链=

3

5.旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【学问点的相识】

旋转体的结构特征：一条平面曲线围着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作

旋转面；该定直线

叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.

1.圆柱

①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体

叫做圆柱.园林

圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱。。.

②相识圆柱

轴：旋转轴叫做圆柱的轴

高：轴上的边(或它的长度)叫做圆柱的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面

侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线

③圆柱的特征及性质

fl.有两个底面互相平行,且形状、大小一样的隹

圆柱.

2.侧面为曲面，展开为矩形

圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形.

④圆柱的体积和表面积公式

设圆柱底面的半径为r,高为加

f9

v图柱=冗rh

S图柱=2X冗”+2兀rh=2兀r(r+h)

2.圆锥

①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成

的几何体叫做圆锥.

目锥

圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO.

②相识圆锥

A轴：旋转轴叫做圆锥的轴

"囿母线高：轴上的边（或它的长度）叫做圆锥的高

"底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面

侧面：三角形的斜边绕轴旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面

直面1母线：无论旋转到什么位置，斜边所在的边都叫做圆锥的母线

③圆锥的特征及性质

1sl锥［1.只有一个顶点，只有一个底面为医

因详标.侧面为曲面，展开为扇形

与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线.

母线长/与底面半径r和高右的关系：

④圆锥的体积和表面积公式

设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为人

'12

V图椎二至71rh

S圆锥表面积hj+兀rl/rQ+l）

3.圆台

①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面

所围成的几何体叫做圆台.

展1台

圆台用轴字母表不，如下图圆台可表示为圆台00'.

②相识圆台

轴：旋转轴叫做圆台的轴

高：轴上的边(或它的长度)叫做圆台的高

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面

圆台有两个底面，分别是上底面和下底面

侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线

③圆台的特征及性质

[1.上下底面平行，为半径不等的医

圆台＜

2.侧面展开图为一个扇环

平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形.

④圆台的体积和表面积公式

设圆台的上底面半径为r,下底面半径为兄高为力，母线长为

’1o9

V圆台=不冗h(r+R+Rr)

S圆台表面租=兀r2+^R2+Krl+TTRl=n(r2+R2+rl+Rl)

6.平面图形的直观图

【学问点的相识】

1.直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实

形态.

2.斜二测画法画平面图形直观图的步骤：

(1)在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于。点，画直观图时，把它画成对

应的"轴、y'轴，使//Oy'=45°(或135°),它确定的平面表示水平平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于/或/轴的线段

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长

度为原来的一半.

7.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【学问点的学问】

侧面积和全面积的定义：

(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的绽开

图的面积，就是空间几何体的侧面积.

(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积.

柱体、锥体、台体的表面积公式(C为底面周长，分为高，〃为斜高，/为母线)

Smt表=2"r(户7),SBIB«=Jtr(z+7),Su台表=n(F+rl+Rl+R)

8.棱柱、棱锥、棱台的体积

【学问点的学问】

柱体、锥体、台体的体积公式：

sh>rtg=—<S7?.

3

9.球的体积和表面积

【学问点的相识】

1.球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球.其中到

定点距离等于定长的点的集合为球面.

2.球体的体积公式

设球体的半径为R,

A□

「球体=三兀

3

3.球体的表面积公式

设球体的半径为R,

S球体=4n7T.

【命题方向】

考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度,

依据题目所给条件得出球体半径是解题关键.

10.平面的基本性质及推论

【学问点的相识】

平面的基本性质及推论：

1.公理1：假如一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上全部的点都在这个平面

内.

2.公理2：经过不在同始终线上的三点，有且只有一个平面.

①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

"b=Pn有且只有一个平面a，使得累;

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

a“b=有且只有一个平面a，使潺黑£

3.公理3：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合

是一条过这个公共点的直线.

【解题方法点拨】

1.公理1是判定直线在平面内的依据.

2.公理2及推论是确定平面的依据.

3.公理3是判定两个平面相交的依据.

11.异面直线及其所成的角

【学问点的学问】

1、异面直线所成的角：

直线a,6是异面直线，经过空间随意一点0,作直线a',b',并使a!//a,b'〃、我

们把直线，和〃所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和力所成的角.异面直线所成的

角的范围：0e（0,-2L].当。=90。时，称两条异面直线相互垂直.

2

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相像比，中位线，梯形两底，平行平面等手

段来转移直线.

3、求异面直线所成的角的方法常用到的学问：

1.余弦定理：在AABC中，有a?=/+c?—2bccosA,b1=a2+c2—laccosB>

c2=a2+b2—labcosC.

L22222122L2

2.余弦定理的推论：cosA=+，cosB=+，cosC=^-^-

?.hr2/7/-12ah

12.异面直线的判定

【学问点的学问】

（1）判定空间直线是异面直线方法：

①依据异面直线的定义；

②异面直线的判定定理.

13.空间中直线与直线之间的位置关系

【学问点的相识】

空间两条直线的位置关系：

位置关系共面状况公共点个数图示

相交直线在同一平面内有且只有一个7x7

平行直线在同一平面内无

异面直线不同时在任何一个平面内无

14.空间中直线与平面之间的位置关系

【学问点的相识】

空间中直线与平面之间的位置关系：

位置关系公共点个数符号表示图示

直线在平面内有多数个公共点3Ua/一/

直线和平面相交有且只有一个公共点aQa=AA__

直线和平面平行无a//aa

/J

15.球内接多面体

【学问点的学问】

1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径.球

内接多面体也叫做多面体外接球.

球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半

径.球外切多面体也叫做多面体内切球

2、探讨球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

(1)球心与多面体中心的位置关系；

(2)球的半径与多面体的棱长的关系；

(3)球自身的对称性与多面体的对称性；

(4)能否做出轴截面.

3、球与多面体的接、切中有关量的分析：

(1)球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r,正方体的

棱长为a,则：

①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；

②正方体的四个顶点都在球面上；

③轴截面就是正方体的对角面；

④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三

角形；

⑤球半径和正方体棱长的关系：r=®a.

2

16.直线与平面平行

【学问点的学问】

1、直线与平面平行的判定定理:

假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符

号表示为：若闻a,be.a,a//b,则a〃a.

2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条

直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.

1、直线和平面平行的性质定理：

假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和

交线平行.

用符号表示为：若a〃a,auB,aCB=6,则a〃尻

2、直线和平面平行的性质定理的实质是：

已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行.即由

线面平行今线线平行.

由线面平行今线线平行，并不意味着平面内的随意一条直线都与己知直线平行.

正确的结论是：a〃a,若力ua,则6与a的关系是：异面或平行.即平面a内的直线分

成两大类，一类与a平行有多数条，另一类与a异面，也有多数条.

17.平面与平面平行

【学问点的相识】

两个平面平行的判定：

(1)两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那

么这两个平面平行.

(2)垂直于同始终线的两个平面平行.即a,a,且a_LB,则a〃B.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行.即a〃丫，B〃Y,贝Ia〃B.

平面与平面平行的性质：

性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的随意一条直线平行于另外一个平面.

性质定理2：假如两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

18.直线与平面垂直

【学问点的相识】

直线与平面垂直：

假如一条直线)和一个平面a内的随意一条直线都垂直，那么就说直线，和平面a相

互垂直，记作11.a,其中1叫做平面a的垂线，平面a叫做直线1的垂面.

直线与平面垂直的判定：

(1)定义法：对于直线，和平面a,7_La。/垂直于a内的任一条直线.

(2)判定定理1:假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个

平面.

(3)判定定理2：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直

于这个平面.

直线与平面垂直的性质：

①定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.符号表示为：a±a,A

_La=>a〃人

②由定义可知：a±a,be.a=>A.

19.平面与平面垂直

【学问点的相识】

平面与平面垂直的判定：

判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.

平面与平面垂直的性质：

性质定理1：假如两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

性质定理2：假如两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线在

第一个平面内.

性质定理3：假如两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直.

20.空间向量及其线性运算

【学问点的相识】

1.空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.

2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I标I，Ial

特殊地:

①规定长度为0的向量为零向量，记作。;

②模为1的向量叫做单位向量；

3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.

4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如之的相反向量记为-7.

5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.

6.留意：

①零向量的方向是随意的，规定五与任何向量平行；

②单位向量不肯定相等，但单位向量的模肯定相等且为1;

③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一

向量或相等向量；

④空间随意两个向量都可以通过平移成为共面对量；

⑤一般来说，向量不能比较大小.

1.加减法的定义:

空间随意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面对量的加减法.

空间向量和平面对量一样满意三角形法则和平行四边形法则.

加法的二角刑法则加法的平行四访加法则施法的三角形法则

2.加法运算律：

空间向量的加法满意交换律及结合律.

(1)交换律：a+b=b+a

⑵结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

3.推广：

(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:

A1A2+A2A3+A3A4+-+An_1An=A1An

（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量

A1A2+A2A3+A3A4+-+AnA；=0-

1.空间向量的数乘运算

实数人与空间向量W的乘积入Z仍是一个向量，称为向量的数乘运算.

①当A>0时，入；与W的方向相同;

②当A<0时，入；与W的方向相反;

③当入=0时，入a=0.

@Ial=IxI,Ia

入Z的长度是7的长度的I入I倍.

2.运算律

空间向量的数乘满意安排律及结合律.

（1）安排律：①人（a+b）=、a+入b

②（入+口）a=入a+Ba

（2）结合律：X,（|d.a）=（入M-）a

留意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如入土a等无法计算.

21.共线向量与共面对量

【学问点的相识】

1.定义

(1)共线向量

与平面对量一样，假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向

量叫做共线向量或平行向量，记作；3与随意向量是共线向量.

(2)共面对量

平行于同一平面的向量叫做共面对量.

2.定理

(1)共线向量定理

对于空间随意两个向量Z、E(E卢0)，a力》的充要条件是存在实数使得7=人联

(2)共面对量定理

假如两个向量；、E不共线，则向量三与向量Z、E共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对(x,y)，使得E=xW+y%.

【解题方法点拨】

空间向量共线问题：

(1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数入，使之=入％成立，或充分利用空间向

量的运算法则，结合详细图形，通过化简、计算得出之=人京从而；力总

(2)a%表示Z与E所在的直线平行或重合两种状况.

空间向量共面问题：

(1)利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是娴熟地进行向量表示，恰当应用向量共

面的充要条件，解题过程中留意直线与向量的相互转化.

(2)空间一点尸位于平面例6内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使而=*疝而而。满

意这个关系式的点尸都在平面例6内，反之，平面例6内的任一点户都满意这个关系式.这

个充要条件常用以证明四点共面.

证明三个向量共面的常用方法：

(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；

(2)找寻平面a,证明这些向量与平面a平行.

【命题方向】

1,考查空间向量共线问题

例：若之=（2x,1,3）,b=（1，-2y,9）,假如之与E为共线向量，贝1J（）

A.x—1,y—1B.X——,尸--C.X——,y--—D.x--A,y——

226-262

分析：利用共线向量的条件与=入之，推出比例关系求出x,y的值.

解答：,••7=(2x,1,3)与三=(1,-2y,9)共线,

故选C.

点评：本题考查共线向量的学问，考查学生计算实力，是基础题.

2.考查空间向量共面问题

例：已知/、B、C三点不共线，。是平面力反;外的任一点，下列条件中能确定点〃与点4B、

C肯定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.0M=20A-0B-0CC.ojj=OBOC

D-0M=y0A-*y0B+10C

分析：依据共面对量定理加二m•赢+n•而+p•友，m+n+p=V说明乂尔反。共面，推

断选项的正误.

解答：由共面对量定理丽=m・赢切•根m+n+p=l,

说明从4、B、C共面，

可以推断4B、C都是错误的，

则。正确.

故选〃

点评：本题考查共线向量与共面对量，考查学生应用基础学问的实力.是基础题.

22.空间向量的数量积运算

【学问点的相识】

1.空间向量的夹角

已知两个非零向量Z、b>在空间中任取一点。，作赢=；，OB=b-则//如叫做向量Z与

E的夹角，记作<W，b>.

2.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a、b，贝HaUblcos<a,b>叫做向量a与b的数量积，

记作a，b，即a，b=IaUbkos<a，b>

(2)几何意义：Z与E的数量积等于7的长度I』与E在7的方向上的投影昆Icos0的乘

积，或E的长度Ri与Z在E的方向上的投影「alcos9的乘积.

3.空间向量的数量积运算律

空间向量的数量积满意交换律和安排律.

(1)交换律：(入a)-b=入(a-b)=a«入b)

—♦—♦—♦—•

a'b=b,a

(2)安排律：a•(b+c)=a，b+a•c・

4.数量积的理解

(i)书写向量的数量积时，只能用符号；而不能用符号Zx4,也不能用获

(2)两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角

的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定.

(3)当7卉五时，由不能推出E肯定是零向量，这是因为任一个与Z垂直的非零向

量b>都有a,b=0

【解题方法点拨】

利用数量积求直线夹角或余弦值的方法:

利用数量积求两点间的距离：

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以

两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两

之间的夹角以及它们的模，利用公式不二求解即可.特殊留意精确求解已知两向量

之间的夹角大小.

利用数量积证明垂直关系：

(I)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或推断时，须指明z六6,brt

(2)证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为

几个已知向量z,b-3的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转

化为直线垂直.

【命题方向】

求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是驾驭数量积运算法则

的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用.

例：已知2a+b=(2,-4,1),且6=(0,2,T),则a，b=-7

分析：通过2a+b=(2,-4,1),且6=(0，2,-1),求出向量a的坐标，然后进行向

量的数量积的坐标运算.

解答：V2a+b=(2,-4,1),且％=(0,2,-1),

，a=（1，-3,1）,

Z.a«b=lX0+2X(-3)+1X(-1)=-7；

故答案为：-7.

点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

23.空间向量基本定理、正交分解及坐标表示

【学问点的相识】

1.空间向量基本定理

假如三个向量Z，b-7不共面，那么对空间任一向量三，存在一个唯一的有序实数组x,

—♦———

y，z,®p=^a+7b+^c-

随意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，E，W都叫做基向量.

2.单位正交基底

假如空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基

底，常用｛/，/，二｝表示.

e1e2e3

3.空间直角坐标系

在空间选定一点。和一个单位正交基底｛%；，TT-/｝，以点。为原点，分别以看】二，

e1e2e3e1e2

同的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间

直角坐标系0-xyz.

其中，点o叫做原点，向量二，T，T都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面

e1e2e3

叫做坐标平面.

4.空间向量的坐标表示

对于空间随意一个向量，，肯定可以把它平移，使它的起点与原点。重合，得到向量而

=三，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛x,y,才，使得臣=*彳7+71+2扇.把

x,y,z称作向量D在单位正交基底丁，丁，丁下的坐标，记作p=(x,y,z).

12c3

【解题方法点拨】

1.基底的推断

推断三个向量能否作为基底，关键是推断它们是否共面，若从正面推断难以入手，可以

用反证法结合共面对量定理或者利用常见的几何图形帮助进行推断.假设不能作为一个基

底，看是否存在一对实数入、p使得7+%=入后+0+w(W+Z),若存在，则假设成立;

若不存在，则假设不成立.

2.空间向量的坐标表示

用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：

(1)视察图形：充分视察图形特征；

(2)建坐标系：依据图形特征建立空间直角坐标系；

(3)进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；

(4)确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来.

3.用基底表示向量

用基底表示向量时，

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘

向量的运算律进行.

(2)若没给定基底时，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能便利地表示其他

向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.

24.直线与平面所成的角

【学问点的学问】

1、直线和平面所成的角，应分三种状况：

(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；

(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；

(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°.

明显，斜线和平面所成角的范围是(0,2L)；直线和平面所成的角的范围为[0,2L].

22

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题(空间问题)是通过斜线在平面内

的射影转化为两条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的.详细的解题步骤与求异面直

线所成的角类似，有如下的环节：

(1)作--作出斜线与射影所成的角；

(2)证--论证所作(或找到的)角就是要求的角；

(3)算--常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直

角三角形）求出角.

（4）答--回答求解问题.

在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带

的作用.在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.

3、斜线和平面所成角的最小性：

斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本

身，另一条直线是斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有多数条，它们和斜线都

组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜

线和平面所成的角呢？缘由是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的

角.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程

度”.依据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内

的直线所成的一切角中最小的角.

用空间向量直线与平面所成角的求法：

（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内

的射影，通过解直角三角形求得.

（2）向量求法：设直线/的方向向量为W，平面的法向量为；，直线与平面所成的角为6,

W与工的夹角为小，则有sinO=|cos6|=一，"Q.

IaIIuI

25.二面角的平面角及求法

【学问点的学问】

1、二面角的定义：

从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这

两个半平面叫做二面角的面.棱为/反面分别为a、p的二面角记作二面角a-AB-B.有

时为了便利，也可在a、B内（棱以外的半平面部分）分别取点一、Q,将这个二面角记作

P-AB-Q.假如棱记作1,那么这个二面角记作二面角a-或P-1-

Q.

2、二面角的平面角

在二面角a-B的棱，上任取一点0,以点。为垂足，在半平面a和B内分别作

垂直于棱，的射线处和如，则射线处和仍构成的///叫做二面角的平面角.二面角的

大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角//"的大小与点。的位置无关，也就是

说，我们可以依据须要来选择棱/上的点0.

3、二面角的平面角求法：

(1)定义；

(2)三垂线定理及其逆定理；

①定理内容：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和

这条斜线垂直.

②三垂线定理(逆定理)法：由二面角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面角的棱垂直,

推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线)也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的

平面角.

(3)找(作)公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公

垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.；

(4)平移或延长(展)线(面)法；

(5)射影公式；

(6)化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；

(7)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：

设平面a和B的法向量分别为三和若两个平面的夹角为0,则

(1)当OW〈u，0=<u，v>，此时cos。=cosVu，v>——•

2lullvl

(2)当Vu，v>W兀时，0=cos(-<u，g>)=-cos<u，v>=-=—uPv——.

2lullvl

26.点、线、面间的距离计算

【学问点的学问】

1、平面上两点间的距离公式____________________

（1）设M（再，＞'1）＞鸟（修，＞2）＞则月玛=J（巧一再）'+（）’2—）'1）2°

特别地，_________________________

当耳鸟ix轴时，百一=js-凶y=js一"仍=i=一比।；

当轴时，4A=J（芝!+再）:-4再吃=|花!一再|。

（2）设耳（项，必），玛（马＞2）在直线y=h+b上时，

则=4Q+kXxjx1y=，1+左21第一再I=J（1+左2）［（为+再『一4XT,

：

或斗鸟=^（l+p-X＞,2-Ji）=卜3Iy2-＞11=J（1+G）K＞'2+-4yly2］。

点评：求距离（长度）和参数的值等。

2、线段的中点坐标公式

（1）设召（与y\）＞P）6,为），线段召4的中点y）,贝仪'。

I2

（2）设A1BC的顶点坐标为A（不，叫），B（七，＞-2）,C（演，为）,重心G（xy）,

1_1+1+演

则，3。

i一凶+内+用

,3-

点评:利用线段的中点坐标公式可研究图形的轴对称和中心对称以及三角形等问题。如:

曲线/Xx，回=0关于点（。，力中心对称的曲线方程是/（2a-%»—y）=0;曲线

/（X,y）=o关于点（0,0）中心对称的曲线方程是/（-%-四=0;曲线/（X,