2024-2025学年九年级下学期开学摸底考数学试题（含答案）

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考01

（人教版）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

的）

1.下列各数中，属于有理数的是（）

A.41B.兀C.V5D.-2

2.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）

3.如图，把一张长方形纸条沿E尸折叠，若2=55。，则/FGE应为（）

A.70°B.35°C.55°D.不能确定

l-x>0

不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（)

2x—1>—5

J|4IAB.—】II1—C.—111——i1-^D.-11I

-2-1012-2-102-2-1012-2-102

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5.如图，圆弧形桥拱的跨度4B为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高CD为（）

A.2米B.4米C.8米D.10米

6."白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084

用科学记数法表示为（）

A.8.4x10-6B.8.4x10-5C.8.4*10"D.8.4xl06

7.古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其译文为：

每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车x辆，则根据题意，可列出

方程（）

A.3（x+2）=2x-9B,3（x+2）=2x+9C.3（x-2）=2x+9D.3（x-2）=2x-9

8.某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务.如图，在地面上的点/处测得树顶8的

仰角a=75。，若ZC=6米，则树高2c为（）

B

A.6sin75°米B.——--米C.——-——米D.6tan75。米

cos75°tan75°

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9.二次函数v=ax~+bx+c（abc^O）的图象如图所示，反比例函数了=一与正比例函数尸⑪在同一坐标系内的大致

x

图象是（）

10.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、

G七道工序，加工要求如下：①工序C、。须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、。都完成后进行，工序

尸须在工序C、。都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

A.26分钟B.27分钟C.28分钟D.29分钟

第n卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.因式分解：2x3-8x=.

12.设0,6是一元二次方程一+2无一1=0的两个不相等的实数根，贝心2+必+62的值为.

13.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点。是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即。尸=OG）,如果点

。至地面的距离是50cm,当小敏从水平位置8下降40cm,这时小明离地面的高度是.

14.为提高学生身体素质，某校举办了“阳光体育节”活动，下表是小方同学参加活动的得分情况:

评总分时，按跑步占45%,花样跳绳占30%,立定跳远占25%考评，则小方同学的最终得分为分.

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15.如图，四边形NDBC内接于G＞。，四边形是平行四边形，则N4AD的度数是.

16.为解决学生饮水安全问题，某中学在每个班级安装一台标价为1800元的饮水机，因购买数量较大，商家给予了

八折优惠，这样每台饮水机仍可获利2。％,则每台饮水机的进价为元.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每

小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：|-V2|+4cos450-V18+

18.（6分）先化简三字十]第一x+1],然后从-（逐的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的

值代入求值.

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19.（6分）如图，在△/BC中，ZC=90°.

⑴实践与操作：用尺规作图法作NN的平分线/。交8c于点。；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点。为圆心，DC长为半径作。。.求证：与。。相切.

20.（8分）教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为了

解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅不

完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：

目

⑴本次抽样调查的总人数为,请将条形统计图补充完整.

（2）扇形统计图中"创造美”对应的圆心角的度数为,若该学校共有学生1200名，请估计参加"感受美"有多少

人？

⑶通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美"上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创

造美"比赛.请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率.

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21.(8分)如图，菱形48CD的对角线/C,BD交于点0,点、E,尸分别在D4,3c的延长线上，且

CF=AE.

(2)若4E=3,tan/03C=；,求菱形N8CD的边长.

①求证：四边形班五D是矩形;

22.(9分)2023年9月21日，"天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴

趣.某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装.经了解，每款甲

款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量甲、

乙两款物理实验套装.

(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？

(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款

实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价.求

甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少.

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23.（9分）如图，在AA8C中，AACB=90°,一比1C的角平分线4。交3c于点。，过点。作。E14D交于点

E,以/E为直径作O。.

⑴求证：3c溟。。的切线；（2）若/C=3,8c=36，求8E的长；

⑶在（2）的条件下求阴影部分的面积.

24.（10分）新定义：如果实数相，"满足加-"=-2时，则称尸（弧〃）为"立足点”,称。（加T5-〃）为"制高点",例

如,尸。,3）是"立足点〃,。（0,2）是“制高点〃.

⑴求正比例函数y=x图象上"制高点"的坐标；

（2）若点/是反比例函数>='图象上唯一的“立足点"，点8,C是反比例函数y=（图象上的“制高点”，点M是反比

XX

例函数V='图象上的动点，求当AMBC面积与MBC的面积相等时点M的坐标；

⑶已知点。（%,必），典9，%）是抛物线V=—+（26-l）x+3c+2上的"制高点"，若a+6+c=0,S.a>2b>3c,求

|占-芍|的取值范围.

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25.（10分）【感知】如图①，。。为等边三角形N3C的外接圆.ND为OO的直径，线段力。与8c交于点E,探

究线段/E,BD,DE的数量关系.

小明同学的做法：过点（7作。0的垂线交2。延长线于点尸，连接CO.易证4D人8c.进而得出ABC尸名A/CE,

△CDEmACDF.则线段/E,BD,DE的数量关系是AD+Z）E=4E1；

【探究】如图②，等腰三角形/3C中.4C=BC,。。为△48C的外接圆，。为弧8c上一点，CELAD于点E,

探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

【应用】如图③，。。是△48C的外接圆，48是直径，/C=5C.点。在OO上，且点。与点C位于线段两

侧，过点C作线段ND的垂线，交线段于点E,若点E为4。的三等分点，则空的值为

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2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考01

（人教版）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

的）

1.下列各数中，属于有理数的是（）

A.y/2C.^5

【答案】D

【详解】A、行是无理数，不符合题意；

B、兀是无理数，不符合题意；

C、狗是无理数，符合题意；

D、-2是有理数，符合题意；

故选：D.

2.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）

【答案】A

【详解】解：A、主视图和左视图都为矩形的，故选项符合题意;

B、主视图和左视图都为等腰三角形，故选项不符合题意；

C、主视图和左视图为圆，故选项不符合题意；

D、主视图是矩形，左视图为三角形，故选项不符合题意；

故选：A.

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3.如图，把一张长方形纸条/BCD沿跖折叠，若Nl=55。，则/FGE应为（）

D.不能确定

【答案】A

【详解】解：；AD〃8C,4=55。，

ZDEF=Z1=55°,NEGF+乙GED=180°

由折叠的性质可知，NDEG=2ZDEF=2x55。=110。，

NEGF=180°-AGED=70°.

故选：A.

fl-x>0

4.不等式组，,〈的解集，在数轴上表示正确的是（）

2x—1〉一5

A.―•1----1------0

-2-1012-2-102

-2-102

【答案】D

fl-x>0

【详解】解：。,<，

[2x-l>-5

解①得x41,

解②得x>-2,

-2<x<1,

在数轴上表示为：

-2-1012

故选D.

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5.如图，圆弧形桥拱的跨度2B为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高CD为（）

A.2米B.4米C.8米D.10米

【答案】C

【详解】解：根据题意，ABYCD,

.■.AD=BD=-AB=-x24=nm,且OC=O8=13m,

22

设CD=xm,则=OC-CD=,

在中，BO1=OD-+BD1,

.•.132=（13-X）2+122,解得，x=8,负值舍去,

CD=8m,

故选：C.

6."白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开."若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084

用科学记数法表示为（）

A.8.4x10-6B.8.4x10-5C.8.4*10,D.8.4xlO6

【答案】A

【详解】解：数据0.0000084用科学记数法表示为&4X10-6.

故选：A.

7.古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其译文为：

每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车x辆，则根据题意，可列出

方程（）

A.3（x+2）=2x-9B.3（x+2）=2x+9c.3（x-2）=2x+9D.3（x-2）=2x-9

【答案】C

【详解】解：设共有x辆车，依题意得：3（x-2）=2x+9,

故选：C.

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8.某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务.如图，在地面上的点/处测得树顶8的

仰角a=75。，若/C=6米，则树高2c为（）

B

A.6sin750米B.―--米C.---米D.6tan750米

cos75°tan75°

【答案】D

【详解】解：--BC±AC,NC=6米，ABAC=75°,

——=tan75°,

AC

：.5C=^C-tan75°=6tan75°（米）.

故选：D.

9.二次函数>=aY+6x+c（abc。0）的图象如图所示，反比例函数〉=必与正比例函数片“v在同一坐标系内的大

致图象是（）

【答案】B

【详解】解：,•・抛物线的开口向上，与歹轴的交点位于y轴的正半轴,

/.tz>0,c>0,

V抛物线的对称轴位于歹轴的右侧，

x=----->0,

2a

:.b<0,

be<0f

由be<0可知，反比例函数y=g的图象位于第二、四象限，

X

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由a>0可知，正比例函数>="的图象经过原点，且经过第一、三象限，故选：B.

10.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、

G七道工序，加工要求如下：①工序C、。须在工序A完成后进行，工序£须在工序3、。都完成后进行，工序

厂须在工序C、。都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/分钟99797102

若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是()

A.26分钟B.27分钟C.28分钟D.29分钟

【答案】C

【详解】解：假设这两名学生为甲、乙，

•••工序C,。须在工序A完成后进行，工序E须在工序。都完成后进行，且工序A,8都需要9分钟完成,

甲学生做工序A,乙学生同时做工序8,需要9分钟，

然后甲学生做工序。，乙学生同时做工序C,乙学生工序C完成后接着做工序G,需要9分钟，

最后甲学生做工序£,乙学生同时做工序尸，需要10分钟，

若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28(分钟)，

故选：C.

第n卷

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.因式分解：2/-8;<:=.

【答案】2x(x+2)(x-2)

【详解】解：-8x=2x(/-4)=2x(x+2)(x-2),

故答案为：2x(x+2)(x-2).

12.设a,6是一元二次方程x2+2xT=0的两个不相等的实数根，则^+防+^的值为.

【答案】5.

【详解】6是一元二次方程/+2》-1=0的两个不相等的实数根，

/.ab=-\,a+b=-2,

•，.Q2+ab+/=/+2ab+b2—ab=(a+b)—ctb—(—2)—(—1)=5,

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故答案为：5.

13.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点。是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即。尸=OG）,如果点

。至地面的距离是50cm,当小敏从水平位置。下降40cm,这时小明离地面的高度是.

【详解】解：由题意可知，OF=OG,NFOC=/DOG,/FCO=NGDO=90。,

.­.△FCO^AGZ>O（AAS）,

:.FC=DG,

•••当小敏从水平位置CD下降40cm,即。G=40cm,

CF=40cm,

又,点。至地面的距离是50ctn,

・•.这时小明离地面的高度是50+40=90cm,故答案为：90cm.

14.为提高学生身体素质，某校举办了“阳光体育节”活动，下表是小方同学参加活动的得分情况:

项目跑步花样跳绳立定跳远

得分908572

评总分时，按跑步占45%,花样跳绳占30%,立定跳远占25%考评，则小方同学的最终得分为分.

【答案】84

【详解】解：••・按跑步占50%,花样跳绳占30%,跳绳占20%考评，

则小红的最终得分为：90x45%+85x30%+72x25%=40.5+25.5+18=84（分）.

故答案为：84.

15.如图，四边形NO2C内接于。。，四边形是平行四边形，则的度数是.

【答案】30°

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【详解】解：•・・四边形是平行四边形，OA=OB,

；./D=/AOB=2/C,四边形是菱形，

•••AD=BD,

・•・/DAB=/ABD,

••・四边形NO2C内接于。。,

.­.ZC+ZD=180°,即NC+2NC=180°,

ZC=60°,则"=120。,

故答案为30。.

16.为解决学生饮水安全问题，某中学在每个班级安装一台标价为1800元的饮水机，因购买数量较大，商家给予了

八折优惠，这样每台饮水机仍可获利20%,则每台饮水机的进价为元.

【答案】1200

【详解】解：••.商品每件标价为1800元，

二按标价打8折后售价为：1800x0.8=1440（元/件）,

•••设该商品每件的进价为x元，

由题意得：1440-%=20%%,

解得：x=1200,

答：该商品每件的进价为1200元，

故答案为：1200.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分,第22、23题每

小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：|-V2|+4COS45°-V18+Q^

【答案】4

【详解】解：|-V2|+4COS45°-A/18+Q

=V2+4x-—―372+4

2

=4.

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18.（6分）先化简三甲++然后从-«<x〈&的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x

x-1（X+1）

的值代入求值.

【答案】-,，一!

x2

-1)2:x-1X2-1

【详解】解：原式=

(X-1)(%+1)(x+lX+1

_x-1X—X2

x+lX+1

_x-lX+1_1

x+1-x(x-1)X'

-V6<X<46,且x为整数,

・•.X可取的整数为-2,-1,0,1,2,

•••要使分式有意义，

二XH±1,且XW0,

・••X只能取±2,

二当x=2时，原式=-；.

19.（6分）如图，在A45C中，/C=90°.

⑴实践与操作：用尺规作图法作//的平分线/。交3C于点。；（保留作图痕迹，不要求写作法）

⑵应用与证明：在（1）的条件下，以点。为圆心，DC长为半径作求证：与。。相切.

【详解】（1）解：如图1,即为所作；（2）证明：如图2,作DE上4B于E,

•••40是的平分线，DC1AC,DE.LAB,

：.DE=DC,

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・•・。£是半径，DE1AB,

AB与QD相切.

20.（8分）教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为

了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅

不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：

1

1

1

1

1

1

1

1

表

启

现1

感受美1

35%

鉴

美

Gt美赏

2“

Oy

目

⑴本次抽样调查的总人数为,请将条形统计图补充完整.

（2）扇形统计图中“创造美”对应的圆心角的度数为,若该学校共有学生1200名，请估计参加“感受美”的有多少

人？

⑶通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美"上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创

造美"比赛.请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率.

【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数为：8+20%=40（人）,

参加创造美的人数为：40-12-8-14=6（人）,

（2）解：扇形统计图中，创造美占比为：占xl00%=15%,

40

故参加创造美对应的圆心角的度数为：360°x15%=54°,

扇形统计图中，感受美占比为：35%,

全校参加感受美的有：1200x35%=420（人）；

（3）解：设4名优秀同学分别为甲（男）、乙（男）、丙（女）、T（女）,

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画树状图如下:

21.(8分)如图，菱形/BCD的对角线NC,50交于点0,点、E,尸分别在D4,8c的延长线上，且

CF=AE.

------------”广

(1)求证：四边形EBRD是矩形；

(2)若/E=3,tanNO8C=；,求菱形/BCD的边长.

【详解】(1)证明：••・四边形是菱形，

.'.AD//BC,AB=BC=CD=AD,

■：CF=AE,

：.AE+AD=CF+BC,BPDE=BF,

又DE〃BF,

••・四边形班ED是平行四边形，

•.，BEVED,

/BED=9。。,

二•四边形E瓦叨是矩形；

(2)•四边形£跳吟是矩形，

/./BFD=90°,

DF1

tanZOBC=——=—,

BF2

设。b=工，贝IJ5b=2x,

/.BC=CD=BF-CF=BF-AE=2x-3,

在RMC尸。中，由勾股定理得：

CF2+DF2=CD2BP9+X2=（2x-3）2,

解得：x=4或x=0（舍去），

BC=CD=2x-3=5,

菱形/BCD的边长为5.

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22.（9分）2023年9月21日，"天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴

趣.某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装.经了解，每款甲

款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、

乙两款物理实验套装.

⑴甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？

⑵由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款

实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价.求

甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少.

【答案】⑴甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元

⑵甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少

【详解】（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得：

750540

x+1x

解得x=18

经检验，x=18是所列方程的根，

二x+7=25

答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元.

（2）设购买甲款物理实验套装〃z个，则购买乙款物理实验套装（200-机）个，所用金额为y元，由题意得：

m>■^-（200-zw）

200

初解汨得：m>、—

y=2Qm+15（200-m）=5m+3000,

5>0,

■■■y随m的增大而增大，

.•.加=67时,y取最小值,止匕时200-加=200-67=133（个），

答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少.

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23.（9分）如图，在ZUBC中，AACB=90°,/3/C的角平分线交8C于点D,过点。作。E24D交48于

点E,以4E为直径作。O.

（1）求证：3c溟。。的切线;(2)若/C=3,8c=3百，求BE的长;

⑶在（2）的条件下求阴影部分的面积.

【详解】(1)证明：连接如图,

•••DE1AD,

ZADE=90°,

V以AE为直径作OO,

.,.点。在。。上，

/.OD=OA,

NODA=ZOAD,

・・・AD为NCAB的平分线，

ACAD=ZOAD,

/.ACAD=/ODA,

：.AC//OD9

/.ZODC+ZACB=180%

-ZACB=90°f

ZODC=90°f

ODIBC,

・・・OD为OO的半径，

・•.BC是O。的切线；

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（2）M：-：AC=?>,8C=3百,

AB=^IAC2+BC2=6，

AT1

cos/CAB=----

AB2

/./CAB=60°,

:.ZCAD=ZBAD=30°.

:.CD=AC・tan/CAD=3x@=5

3

/.AD=2CD=26.

/ADE=90°,

:.DE=AD,t3n/DAB=2Cx±-=2,

3

4E=IDE=4,

:.BE=AB-AC=2.

（3）解：由（2）知：ZE=4,DE=2,BE2,

/.OD=OE=DE=2,

「.△ODE为等边三角形，

/./DOE=60°,

•：OB=OE+BE=4,ODLBD,

BD=y/OB2-OD2=2A/3，

阴影部分的面积=S&OBD-S扇形ODE

工OD-BD必正

2360

=-X2X2V3~—

23

=2^-—.

3

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24.（10分）新定义：如果实数加，"满足加-〃=-2时，则称尸（小川为"立足点如称。（加-1,5-〃）为“制高点"，例

如，尸。,3）是“立足点”,。（0,2）是“制高点".

（1）求正比例函数》=x图象上"制高点”的坐标；

⑵若点/是反比例函数y=£图象上唯一的“立足点"，点8,C是反比例函数>=土图象上的"制高点”，点M是反比

k

例函数>=-图象上的动点，求当4MBe面积与AABC的面积相等时点M的坐标；

x

⑶己知点。£（工2，%）是抛物线>=办，+（26-l）x+3c+2上的"制高点"，若a+6+c=0,S.a>2b>3c,求

|再-々|的取值范围.

【答案】⑴（1,1）;

（2）点M的坐标为（1,-1）或（2+君,2-码或（2-技2+码；

（3）2^^<|xj-%21<y/19■

【详解】⑴解：设正比例函数>=x图象上"制高点”的坐标为（加-1,5-"）,

\m—n=—2

根据题意得I<,

[m=2

解得”,

I"=4

・••正比例函数〉=x图象上"制高点”的坐标为（1,1）；

（2）解：设点/的坐标为（私"），

m—n=—2

根据题意得,k，整理得加2+2加一左=0,

n二—

、m

•・•点N是反比例函数y=幺图象上唯一的"立足点”,

X

：.A=22—4（—左）=0,

解得上二一1,

・••反比例函数的解析式为了=-工,

X

当上=一1时，加2+2加+1=0,

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k

解得m=m=-l,n=—=l,

i2m

・,•点4的坐标为(T/),

设点8(加-是反比例函数y=图象上的"制高点〃，

X

m-n=-2

根据题意得L,

j-n=----

、m-\

消去〃并整理得m2-4m+2=0,

解得m1=2+V2,m2=2—V2,

••・々=4+5/2,4=4-A/2,

.•点B,C的坐标分别为8(1+啦,1-收)，C(l-V2,l+V2),

设直线BC的解析式为y=ax+b,

(1++b=1—V2

(1-码0+6=1+万

解得l\ax=—\，

直线BC的解析式为了=-x+2,

••・AMBC面积与△N2C的面积相等,

.-.MA//BC,

可设直线的解析式为了=-x+。,

将4(1,1)代入得6=0,

•・・直线MA的解析式为y=-x,

联立得=r,

X

解得x=l或x=-l,

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.••^(1,-1),

在y=-x+2中，令x=o,贝l|y=2,

将直线V=一》向上平移4个单位的直线y=-x+4,

直线y=f+4与双曲线y=的交点为M,

X

此时也满足△"BC面积与XABC的面积相等，

联立得-L-x+4,

X

解得x=2+括或x=2-右，

将工=2+退或工=2-百分另ll代入＞=-x+4,

得y=2-0或y=2+逐，

.•.河(2+6,2-近)或河(2-石,2+石)，

综上，点M的坐标为(1,-1)或(2+技2-码或(2-技2+石卜

(3)解：•.•a+b+c=O,且。〉26〉3c,

c＜0,b=-(a+c),

ax?+（2b—1）x+3c+2=—x+2,

•••ax2