2022-2024高考数学复习特训：平面向量与复数（学生版+解析）

第05讲平面向量与复数（2022-2024高考真题）

（新高考专用）

一、单项选择题

1.（2024.北京.高考真题）设a,另是向量，则“他+另）•Q—另）=0”是％=—3或2=3”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•全国•高考真题）设向量2=0+1,尤）石=（居2）,贝U（）

A.“x=-3”是“21户的必要条件B.“x=-3”是“2〃户的必要条件

C.“x=0”是*13”的充分条件D.%=-1+8”是“必/疥的充分条件

3.（2024.全国・高考真题）已知向量石工满足同=1,怔+2同=2,5.（6-2a）1b,则同=（）

A.-B,-C.-D.1

222

4.（2024・全国•高考真题）已知向量2=（0,1）石=（2,尤），若31(b—4a),贝!J%=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023・北京・高考真题）已知向量窗3满足汇+3=（2,3）,N-一3二（—2,1）,则同2一|山2=（)

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2024・北京•高考真题）已知=—l—i,则z=（）

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

7.（2024•全国•高考真题）设2=&3则z/=（）

A.-2B.V2C.-V2D.2

8.(2024•全国•高考真题)若z=5+i,贝亚(2+z)=()

A.lOiB.2iC.10D.2

9.（2024・全国•高考真题）已知z=—1—i,则|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

10.(2024.全国.高考真题)若3=i+i,则z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

11.（2023・北京・高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,百），贝版的共轨复数2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

12.（2023•全国•高考真题）已知向量,=（3,1遥=（2,2）,贝|cos值+-力=（）

13.（2023・全国•高考真题）已知向量2,3,，满足Ml=\b\=1,同=或，且Z+3+乙=6,贝UcosQ—5,3—

44

A.B.C.D.

5

14.（2023•全国•高考真题）已知。。的半径为1,直线朋与。。相切于点A,直线尸8与。。交于5,。两

点，。为8C的中点，若|PO|=VL则可•丽的最大值为（）

1+V2n1+2V2

D.-------------

2

C.1+V2D.2+V2

15.（2023•全国•高考真题）已知向量五=（1,1）花=（1,-1）,若（a+Ab)1(a+/zh),则()

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/1=-1

16.（2023•全国•高考真题）|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

5(“F)=()

17.（2023•全国•高考真题）

(2+i)(2-i)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

18.（2023・全国・高考真题）设（1€吠5+。（1一山）=2,,则/=（）

A.-1B.0C.1D.2

19.（2023•全国•高考真题）设z=;惠，则2=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

20.（2023•全国•高考真题）已知z=W，贝吻一5=()

2+2i

A.-iB.ic.0D.1

21.（2023•全国•高考真题）在复平面内，（l+3i）（3—i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22.（2022.全国.高考真题）已知向量五=（3,4）石=（1,0）第=五+而，若＜五,乙＞=＜3无＞,则t=（）

A.-6B.—5C.5D.6

23.（2022.全国.高考真题）已知向量五=（2,1）,3=（—2,4）,则眄一可（）

A.2B.3C.4D.5

24.(2022.全国.高考真题)已知向量五花满足|五|=1,|山=月|五一2山=3,则五.1=()

A.-2B.-1C.1D.2

25.(2022•全国•高考真题)在△ABC中，点。在边A3上，BD=2DA.记刀=沅，~CD=n,则而=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

26.（2022・浙江・高考真题）已知ER,a+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

27.(2022•全国•高考真题)(2+2i)(l-2i)=()

A.—2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

28.（2022・全国•高考真题）设（l+2i）a+b=2i,其中0b为实数，贝lj（）

A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

29.(2022.全国•高考真题)若z=1+i.则|iz+3z|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

30.(2022.全国.高考真题)若z=—1+Bi,则一—=()

zz-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.—iD.—i

3333

31.(2022・北京・高考真题)若复数z满足i-z=3-4i,贝»z|=()

A.1B.5C.7D.25

32.(2022•全国•高考真题)若i(l一z)=1,贝Uz+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空题

33.（2024.上海.高考真题）已知keR,a=（2,5）,B=（6,k）,且力/B,则k的值为

34.（2024.天津.高考真题）在边长为1的正方形2BCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=^DE,~BE=ABA+

fiBC,贝/+〃=;F为线段BE上的动点，G为4尸中点，则Q•瓦的最小值为

35.（2024.上海.高考真题）已知虚数z,其实部为1,且z+：=7n（7neR）,则实数加为

36.（2024・天津.高考真题）已知i是虚数单位，复数（逐+i）•（逐-2i）=.

37.（2023•全国・高考真题）已知向量出3满足归一回=8，忖+司=削一司，则同=.

38.（2023・天津・高考真题）已知i是虚数单位，化简常的结果为.

39.（2022・天津・高考真题）在AaBC中，而=a,CB=九。是AC中点，诟=2配，试用N"表示砺为,

若荏1诙，贝亚4CB的最大值为.

40.（2022•浙江•高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形4H42…%的边&&上，则而孑+颂+-+PAj

的取值范围是.

41.（2022•全国•高考真题）已知向量五=（皿3）范=（1,6+1）.若五13,则机=.

42.（2022•全国•高考真题）设向量出B的夹角的余弦值为右且同=1，间=3,则（2五+司•B.

43.（2022.天津.高考真题）已知i是虚数单位，化简存的结果为.

第05讲平面向量与复数(2022-2024高考真题)

(新高考专用)

一、单项选择题

1.(2024・北京.高考真题)设a,B是向量，则“0+3>0-3)=0”是％=—3或日=亦的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量数量积分析可知@+3).(2-3)=0等价于|团=\b\,结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为色+石)•伍一g=口一留=0,可得彦=弘即同=|同,

可知(江+K)■(a—K)=0等价于|d|=同，

若N=3或N=-3,可得闷=同,BP(d+h)■(d—fe)=0,可知必要性成立；

^(a+6)•(a—fo)=0>BP|a|=\b\,无法得出N=3或日=一方，

例如a=(i,o)1=(o,D，满足|团=同，但a力另且,4-3,可知充分性不成立；

综上所述，“值+3)•值—3)=o”是%丰石且a丰—小的必要不充分条件.

故选:B.

2.(2024•全国•高考真题)设向量,=(久+l,x),3=(x,2),贝U()

A.“x=-3”是91疥的必要条件B.%=-3”是%〃疥的必要条件

C.“x=0”是41"的充分条件D.“x=-1+百”是方〃户的充分条件

【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解答过程】对A,当21%时，贝展j=0,

所以久•(x+l)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(1,0)5=(0,2),故3i=0,

所以21丸即充分性成立，故C正确；

对B,当切不时，则2(x+l)=/,解得刀=1土旧，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-1+旧时，不满足2(x+l)=/,所以到加不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.(2024.全国•高考真题)已知向量日日满足同=1,忖+2同=2,且(5―24)1另，贝［1同=()

A.-B.—C.—D.1

222

【解题思路】由-22)1另得『2=2港京结合同=1,B+2同=2,得i+4五•京+4留=1+6定=4,

由此即可得解.

【解答过程】因为仿一2司15,所以(3—2可不=0,即京=2之不，

又因为同=l,|a+26|=2,

所以1+4a-b+4b2=1+6b2=4,

从而同=当

故选：B.

4.(2024•全国•高考真题)已知向量N=(0,1)1=(2,x),若31(另一4砂，则久=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【解答过程】因为石1(6-4a),所以3-(b-4a)=0,

所以中—42•3=0即4+/—4尤=0,故x=2,

故选：D.

5.(2023•北京・高考真题)已知向量2,3满足2+3=(2,3),N—3=(—2,1),则忻『一।瓦2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【解答过程】向量d1满足2+b=(2,3),a-b=(-2,1),

所以同2一।山2=(5+b)■(a-fa)=2x(-2)+3x1=-1.

故选：B.

6.(2024・北京・高考真题)已知三=-l-i,贝Uz=()

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.

【解答过程】由题意得z=i(-l-i)=1-i.

故选：C.

7.(2024.全国.高考真题)设z=/i,则z・2=()

A.-2B.V2C.-V2D.2

【解题思路】先根据共辗复数的定义写出2,然后根据复数的乘法计算.

【解答过程】依题意得，z=-V2i,故z2=-2i2=2.

故选：D.

8.(2024•全国•高考真题)若z=5+i,贝Ui(2+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【解题思路】结合共轨复数与复数的基本运算直接求解.

【解答过程】由z=5+i=2=5—i,z+2=10,则i(5+z)=10i.

故选：A.

9.(2024.全国.高考真题)已知z=—l—i,则|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.

【解答过程】若z=—1-i,则|z|=V(-l)2+(-1)2=V2.

故选：C.

10.(2024.全国.高考真题)若三=1+i,则z=()

z-1

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.l+i

【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【解答过程】因为++所以Z=1+工=l—i.

z-1z-1z-1I

故选：C.

11.(2023・北京・高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,植)，贝版的共轨复数彳=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轨复数的定义计算.

【解答过程】Z在复平面对应的点是(-1,75),根据复数的几何意义，z=-1+V3i,

由共辗复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D.

12.(2023•全国•高考真题)已知向量N=(3,1)1=(2,2),贝I|COS(N+M2—3)=()

A.工B.旦C.匹D.公

171755

【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得怔+b\,\a-b\,但+3)•0-办从而利用平面

向量余弦的运算公式即可得解.

【解答过程】因为五=(3,1)石=(2,2),所以之+3=(5,3),江一另=(1,一1)，

则归+川=V52+32=V34,|a-6|=V1TT=V2,(五+3)•(五一司=5x1+3X(-1)=2,

(a+K)-(a-5)2V17

所以cos值+6,«—&)=

|a+H||a-5|A/34XA/217,

故选:B.

13.（2023•全国•高考真题）已知向量匕3,满足|团=\b\=l,|c|=V2,且2+3+3=6,贝Ucos〈2-下工一。=

（）

【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.

【解答过程】因为a+3+3=6,所以a+3=-乙

即12+b2+2a-b=产，即1+l+2a-b=2,所以五b=0.

如图，设。4=a,OB=b,OC=c,

由题知,04=OB=1,OC=V2,A6MB是等腰直角三角形，

AB边上的高0DS，AD=y,

所以CD=CO+0D=^+—=—,

22

tan乙4CD=—=—,cosZ-ACD=—p=,

CD3vio

cos(d—c,b—c)=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos2Z-ACD-1

故选:D.

14.（2023•全国•高考真题）已知。。的半径为1,直线以与。。相切于点A,直线尸5与。。交于3,C两

点，。为5c的中点，若|尸。|=鱼，则港•前的最大值为（）

1+V21+2V2

A.-----D.-------

22

C.1+V2D.2+V2

【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得而•丽=|-

ysin（2«-J）,或西•丽=之+?sin（2a+匀然后结合三角函数的性质即可确定西•方的最大值.

【解答过程】如图所示，\0A\=1,\OP\=V2,则由题意可知:乙4P。

4

当点4D位于直线尸。异侧时或尸8为直径时，设NOPC=a,0<a<-,

4

贝lj：PA-PD=|瓦♦|而|cos(a+?)

=1XV2coscrcos(a+

=V2cosa(占cosa-sina)

=coszcr—sinacosa

1+cos2a1

=-----------二sin2a

22

1V2/7l\

=2—丁sin(2a-/

0<a<-,则一叁W2a—四〈三

4444

.•.当2a—；时，方•访有最大值1.

当点4D位于直线P。同侧时，设NOPCa,0<a<-,

4

则：~PA-~PD=|西.|丽|cos("§

^

=1xV2coscrcos(a—7

^

V-2

=V2coscrcosa+2

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1

=---------------1--sin2a

22

1.V2..71\

=-+-sm(2a+-),

0<a<~,贝『W2a+^<^

4444

当2a+W=］时，刀•前有最大值萼.

综上可得，西•丽的最大值为等.

故选：A.

15.(2023・全国•高考真题)已知向量2=(1,1)石=(1,一1),若(2+泥)10+4)，则()

A.a+〃=iB.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/z=-1

【解题思路】根据向量的坐标运算求出2+兀几a+fib,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【解答过程】因为N=(1,1),b—(1,—1),所以2+A.b-(1+A,1—A),a.+fib-(1+〃,1—〃),

由Q+Ab)1(a+可得，Q+Ab)-(a+而)=0,

即(1+4)(1+“)+(1—4)(1-4)=0,整理得：=-1.

故选：D.

16.(2023•全国•高考真题)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3,然后计算其模即可.

【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

则|2+i2+2i3|=|1-2i|=y/12+(-2)2=V5.

故选：C.

17.(2023•全国•高考真题)「：”),、=()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.

3

【解答过程】5(l+i)

(2+i)(2-i)

故选：C.

18.(2023・全国・高考真题)设。€1<(£1+。(1一山)=2,,则0=()

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【解答过程】因为(a+i)(l—ai)=a—azi+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以｛if;；］。,解得：a=L

故选：C.

19.(2023•全国•高考真题)设z=gL，则2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轨复数的定义确定其共轨复数即可.

【解答过程】由题意可得z=泻9=占=粤=4=1_21,

1+12+15l-l+lI2-1

则2=1+2i.

故选：B.

20.(2023•全国•高考真题)已知z=±L贝吻一2=()

A.-iB.iC.0D.1

【解题思路】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到2,从而解出.

-2i

【解答过程】因为z=三4-所以2=3,即z—2=T

2(l+i)(l-i)4

故选：A.

21.(2023・全国•高考真题)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【解答过程】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

22.(2022•全国•高考真题)已知向量五=(3,4)石=(1,0),5=五+石，a,c>=<b,c>,贝It=()

A.—6B.—5C.5D.6

【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【解答过程】解：，即=苔，解得

c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<6,>,=卷51cl竺|c|t=5,

故选：C.

23.(2022•全国•高考真题)已知向量五=(2,1),3=(-2,4),则眄一司()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】先求得五-隹然后求得恒-即

【解答过程】因为五一3=(2,1)—(一2,4)=(4,—3),所以怔一同=〃2+(-3)2=5.

故选：D.

24.(2022.全国.高考真题)已知向量五,3满足同=1,向=遍,恒一2升=3,则鼠3=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【解答过程】\-\d-2b\2=回2—前小+4间2,

又•.•同=1,|山=y/3,\a-2b\=3,

.*.9=1-4a-+4X3=13-4a-fa,

.".d-b=1

故选：C.

25.(2022•全国•高考真题)在AABC中，点。在边AB上，=2n4.记刀=沅，而=元，则方=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【解题思路】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【解答过程】因为点。在边AB上，BD=2DA,所以而=2砺，即丽一瓦=2(8？-丽)，

所以而=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

26.(2022・浙江・高考真题)已知氏匕67?,£1+31=(匕+/6为虚数单位)，贝!]()

A.a=l,b=-3B.a=—l,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

【解题思路】利用复数相等的条件可求Q*.

【解答过程】a+3i=—1+bi,而a,b为实数，故a=—l,b=3,

故选：B.

27.(2022.全国.高考真题)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【解题思路】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【解答过程】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

28.(2022•全国•高考真题)设(l+2i)a+6=2i,其中a,b为实数，贝U()

A.a=1,b=—IB.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【解答过程】因为a,b€R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故选：A.

29.(2022・全国,高考真题)若z=1+i.贝U|iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

【解题思路】根据复数代数形式的运算法则，共趣复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【解答过程】因为z=l+i,所以iz+32=i(l+i)+3(l—i)=2—2i,所以|iz+32|=7¥不4=2V2.

故选：D.

30.(2022.全国.高考真题)若z=—1+Bi,则告=()

zz-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-i+—iD.-i--i

3333

【解题思路】由共朝复数的概念及复数的运算即可得解.

【解答过程】z=-1-V3i,zz=(-1+V3i)(-1-V3i)=1+3=4.

z-1+V3i1V3

--------=-------------=-------1-----i

zz-1333

故选：c.

31.(2022・北京・高考真题)若复数z满足i-z=3-4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解题思路】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【解答过程】由题意有z=上里=空兴*=-4-3i,故|z|=，一铲+(—3)2=5.

11-(-1)

故选:B.

32.(2022・全国•高考真题)若i(l—z)=l,贝!Jz+N=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】利用复数的除法可求Z,从而可求z+N

【解答过程】由题设有1—z=；=3=—i,故z—1+i,故z+z—(1+i)+(1—i)—2,

故选：D.

二、填空题

33.(2024•上海・高考真题)已知keR,d=(2,5),3=(6,k),且2〃点则k的值为15

【解题思路】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【解答过程】a//b,21=5X6,解得k=15.

故答案为：15.

34.(2024・天津・高考真题)在边长为1的正方形2BCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=抄E,而=4瓦I+

面,则几+〃=2;F为线段BE上的动点，G为2尸中点，则初•尻的最小值为-三

3To

【解题思路】解法一：以｛瓦1近｝为基底向量，根据向量的线性运算求锯，即可得4+小骑=说,求

AF,DG,结合数量积的运算律求而•丽的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求就，即可得

2+〃，设尸(a,-3a),a€[，0],求猊而，结合数量积的坐标运算求都•丽的最小值.

【解答过程】解法一：因为CE=|DE,即CE=：B力，则丽=阮+屈=：瓦5+炭，

可得4=[,〃=1,所以4+〃=]；

由题意可知：|近|=|瓦?|=1,瓦5•前=0,

因为尸为线段BE上的动点，设赤=kBE=，瓦？+kBC,ke[0,1])

则方=四+前=通+kBE=Qfc-1)BX+kBC,

又因为G为4F中点，则赤=DA+AG=-BC+|AF=j(|fc-1)R4+(|fc-1)BC,

可得而•而=[Qfc-l^'BA+kBC]-[|Q/c—1)或+6-fc-1网

2

-(-1k-1+/cQ/c-l

23

又因为ke[0,1],可知：当k=l时，都•而取到最小值一三

18

解法二：以2为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则4(一1,0),8(0,0),C(0,1),0(-1,1),E(-川，

可得府=(-1,0),BC=(0,1),BE=(一31),

因为前=4而+〃阮=(一尢〃)，贝山一'=一3,所以4+〃=±；

1/1=13

因为点尸在线段BE:y=-3x,xe[-|,0]±,设为a,-3a),ae[-|,o],

且G为AF中点，贝！JG(今工一ga),

可得4F=(a+1,-3a),DG=(2!—5a-1)

则M-DG=史卢+(-3a)(-|a-l)=5(a+|)2-^,

且ae[-],。上所以当a=—|'时,4F,DG取到最小值为一总；

故答案为：|；一总

3lo

35.(2024・上海•高考真题)已知虚数z,其实部为1,且2+2=爪(爪6/?),则实数加为2.

Z

【解题思路】设z=1+bi,66R且bH0,直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【解答过程】设z=1+hi,bER且力W0.

则2+：=1+万+捻=（鲁）+（寡》=6，

b2+3

——=TH,

人,解得m=2,

{l+b2

故答案为：2.

36.(2024・天津・高考真题)已知i是虚数单位，复数(有+i)■(V5-2i)=7-V5i

【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

【解答过程】（声+i）•（6一2i）=5+遥］一2V5i+2=7-V5i.

故答案为：7—遍i.

37.（2023.全国.高考真题）已知向量出方满足恒-司=百，W+向=|2/一可，则同=W.

【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令3=2-孔结合数量积的

运算律运算求解.

【解答过程】法一：因为口+向=|2--向，即0+司2=（加_12,

222

则12+2a-b+6=4a—4d-b+b9整理得产—2d-b=0,

2

又因为恒—同=b，即仅一E）=3,

则12-2d-b+b2=b2=3,所以同=V3.

法二：设3=2—3,则=旧濠+3=3+23,21—3=25+3,

由题意可得：（c+2b）=（2c+b）,则产+4,•3+4中=4产+4*3+左，

整理得：产=衣,即同=同=g.

故答案为：V3.

38.（2023・天津・高考真题）已知i是虚数单位，化简空的结果为4+i.

【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i,然后计算其运算结果即可.

【解答过程】由题意可得亲(5+14i)(2-3i)_52+13i_4+j

(2+3i)(2-3i)-13

故答案为：4+i.

39.（2022•天津•高考真题）在A/IBC中，CA=a,CB=b,。是AC中点，CB=2BE,试用五,3表示反为一

三3一三五，若荏，反，贝吐4C8的最大值为-.

226

【解题思路】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出反，以优可为基底，表示出屈，屁，由4B1

DE可得3点+彦=4对区再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E（0,0）,B（l,0）,C（3,0）,4（x,y）,由2B1DE可得点4的轨迹为以

”（-L0）为圆心，以r