2024-2025学年北师大版七年级数学下学期第五单元复习：图形的轴对称题型分类

第五单元：图形的轴对称

【题型1】一一轴对称图形及其性质

1.在我们的生活中存在着很多轴对称图形，请写出任意一个

2.仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案.

EB9CCD干0G

3.如图，在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上

恰当的图形.

4.如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正

方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形.

6.如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：1、m、n、p为对称轴的轴对

称的图形.

7.如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴

影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.

(2)请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n(nN3)变化的关系式

【题型2】一一将军饮马

1.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地h放羊，然后赶羊到小河12饮水，之后再

回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放

羊与饮水的位置.

草地.

-------------------h

•A

.B

2.用三角板和直尺作图.(不写作法，保留痕迹)

如图，点A,B在直线1的同侧.

(1)试在直线1上取一点M,使MA+MB的值最小.

•B

(2)试在直线1上取一点N,使NB-NA最大.

•B

■A

--------------------------------1

3.如图，/XO丫内有一点P,试在射线OX上找出一点M,在射线OY上找出一点N,

使PM+MN+NP最短.

4.如图，P在/AOB内，点M、N分别是点P关于AO、B0的对称点，MN分别交0A、

OB于E、F.

(1)若4PEF的周长是10cm,求MN的长.

(2)若NAOB=40°,试求NMON的度数.

5.(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P,使C、D、P三点组成

的三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在/AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、

P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.

(3)如图3,在NAOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得

E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.

D

*

-------------------B

图1

【题型3】一一等腰三角形

1.如图，ZXABC中，AB=AC,AD±BC,下列结论不正确的是()

BDC

A.ZB=ZCB.BD=CDC.AB=2BDD.AD平分NBAC

2.如图，AABC中，AB=AC,NB=30°,点D是AC的中点，过点D作DE_LAC交

BC于点E,连接EA.则NBAE的度数为（）

A.30°B.80°C.90°D.110°

3.等腰三角形周长为18,其中一边长为4,则其它两边长分别为（）

A.4,10B.7,7C.4,10或7,7D.无法确定

4.等腰三角形的顶角比每个底角大30°,则这个等腰三角形的顶角是（）

A.40°B.50°C.80°D.85°

5.等腰三角形周长为18cm,那么腰长y与底边长x的关系式是（）

・・

A.y=-2x+18B.y=-x+9Cy=~^-x+9Dy=-j-x+18

6.如图，在AABC中，点D在BC上,AB=AD=DC,NB=72°，那么NDAC的大小

是（）

A.30°B.36°C.18°D.40°

7.等腰三角形的一个角为50°,则这个等腰三角形的底角为（）

A.65°B.65°或80°C.50°或65°D.40°

8.等腰三角形中，有一个角是40°,它的一条腰上的高与底边的夹角是（）

A.20°B.50°C.25°或40°D.20°或50°

9.如图，在第一个AABAi中NB=20°,AB=AiB,在AiB上取一点C,延长AAi到

A2,使得A1A2=A1C,得到第二个AAIAZC；在A2c上取一点D,延长A1A2到A3,使

得A2A3=A2D;…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数

为（）

B

A.175°B.170°C.10°D.5°

10.如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点

上，若画出以AB为边的等腰三角形ABC,使得点C在格点上,则点C的个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.8个

11.如图，己知AB=AC=BD,则N1与/2的关系是（

2

1

BDC

A.3/1-Z2=180°B.2Z1+Z2=18O°

C.Z1+3Z2=18O°D.N1=2N2

12.如图，已知AABC中，AB=3,AC=5,BC=7,在AABC所在平面内一条直线，将

△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多

可画（）

C.3条D.2条

13.如图，若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）

A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)

14.如图，AD是AABC的角平分线，DE_LAC,垂足为E,BF〃AC交ED的延长线于点

F,若BC恰好平分NABF,AE=2BF.给出下列四个结论：

①DE=DF；②AC=4BF；③DB=DC；④AD_LBC,其中正确的结论共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

15.AABC中，AB=AC,过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三

角形，则/BAC的度数为（）

A.36°，90°，出一，108°B.36°，72°,少一，90°

77

C.90°,72°，108°，—D.36°，90°,108°,——

77

16.已知实数x,y满足|x-4|+(y-8)2=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长

是.

17.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,D为AB上的点，BD=CD=5,则AD=.

18.已知|a-b-1|+(b-4)?=(),求边长为a、b的等腰二角形的周长.

19.一个等腰三角形的周长为25cm.

(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；

(2)己知其中一边的长为6cm.求其它两边的长.

20.如图：E在4ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF,

BD=CE.求证：Z\ABC是等腰三角形.

A

21.如图，点D,E在AABC的边BC上，AB=AC,AD=AE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AD=BD=DE,求NBAC的度数.

22.如图，在等腰三角形AABC中，AB=AC,BD平分NABC,在BC的延长线上取一点

E,使CE=CD,连接DE,求证：BD=DE.

23.已知AABC为等腰三角形，顶角NA=36°,BD平分/ABC.求证：ABCD也为等

腰三角形.

24.已知，如图AABC中，BD=DC,Z1=Z2,求证：AD平分/BAC.

25.如图，四边形ABCD中，ZB=ZC,AB+CD=BC,M为AD中点，MNJ_AD交BC

于N,连接AN,求证：ZANM=^ZB.

2

26.如图，在AABC中，AB=AC,NC=2NA,BD是AC边上的高，求NA和NDBC的

度数.

27.在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线将等腰三角形ABC的周长分成12和

15两部分，求三角形ABC的腰长及底边长.

28.如图，已知E为等腰AABC的底边BC上一动点，过E作EFLBC交直线AB于D,

交直线CA于F,问：

(1)/F与NADF的关系怎样？说明理由；

(2)若E在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由;

若成立，画出图形并给予证明.

29.如图，点D是AABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD,AD=BD,求NBAC的度

数.

30.如图在AABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求NA的度数.

31.如图所示，NABC=90°,AB=BC,AE是角平分线，CD_LAE于D,可得CD=』AE,

2

请说明理由.

B

32.在△ABC中，AB=AC=a,AB边上的高CD=h,点P是直线BC上任意一点，过P

作PE_LAB于E,PF_LAC于F,且PE=hi,PF=h2.

（1）若点P在边BC上时，h,hi，h2三者关系如何？请予以证明；

（2）若点P在BC或CB的延长线上时，h,hi，h2三者关系又如何（直接写出结论，不

需证明）

（3）若点P是直线BC上的点，hi=5,h=8,求h2的值.

33.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作4ACD和ABCE,

且CA=CD,CB=CE,ZACD=ZBCE,直线AE与BD交于点F,

(1)如图1,若/ACD=60°,则/AFB=；如图2,若NACD=90°,则/

AFB=；如图3,若NACD=120°,则/AFB=；

(2)如图4,若NACD=a,则/AFB=(用含a的式子表示)；

(3)将图4中的4ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条

线段上)，变成如图5所示的情形，若NACD=a,则/AFB与a的有何数量关系？并给

予证明.

CB

图4B

图5

【题型4】一一等边三角形

1.如图，ZXABC是等边三角形，AQ=PQ,PR±AB于点R,PS±AC于点S,PR=PS,

则下列结论：①点P在NA的角平分线上；②AS=AR；③QP〃AR；④△BRP四

△QSP.正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，4ABC和4CDE都是等边三角形.BE交

AC于F,AD交CE于H.

(1)求证：ABCE^AACD；

(2)求证：FH/7BD.

3.如图所示，已知等边AABC的边长为a,P是AABC内一点，PD〃AB,PE/7BC,PF

〃AC,点D、E、F分别在BC、AC、AB±,猜想：PD+PE+PF=,并证明你

的猜想.

4.已知等边AABC和点P,设点P到AABC三边的AB、AC、BC的距离分别是由，h2,

h3,AABC的高为h,请你探索以下问题：

（1）若点P在一边BC上（图1）,此时h3=0,问％、h2与h之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

（2）若当点P在AABC内（图2）,此时％、h2>h3与h之间有怎样的数量关系？请说

明理由；

（3）若点P在AABC外（图3）,此时％、h2、h3与h之间有怎样的数量关系.（请

直接写出你的猜想，不需要说明理由.）

5.ZkABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA,若0°</PBC<180°,且/

PBC的平分线上一点D满足DB=DA,

(1)当BP和BA重合时(如图1),ZBPD=；

(2)当BP在NABC内部时(如图2),求/BPD；

(3)当BP在NABC外部时，请直接写出NBPD,并画出相应的图形.

图1图2

6.如图，点O是等边AABC内一点，ZAOB=110°,ZBOC=a.将△BOC绕点C逆

时针旋转60°得△ADC,连接OD.

(1)求证：/XDOC是等边三角形；

(2)当A0=5,B0=4,a=150°时，求CO的长；

(3)探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形.

7.在等边AABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为AABC外一点，且

ZMDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC±

移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及4AMN的周长Q与等边4ABC的周长L

的关系.

(1)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量

关系是;此时,=;

(2)如图2,点M、N在边AB、AC±,且当DMNDN时，猜想(D问的两个结论

还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.

(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数

量关系如何？并给出证明.

【题型5】一一垂直平分线

1.如图，DE是AABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm,AB=8cm,则AEBC的周

长为()

A.14cmB.18cmC.20cmD.22cm

2.如图，在AABC中，/ABC=50°,NBAC=20°,D为线段AB的垂直平分线与直

线BC的交点，连结AD,则NCAD=()

A

A.40°B.30°C.20°D.10°

3.如图，在AABC中，AF平分/BAC,AC垂直平分线交BC于点E,ZB=70°,ZFAE

=19°,则NC为（）

A.24°B.30°C.21°D.40°

4.在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,ZAEB

=80°,那么NEBC等于（）

A.15°B.25°C.15°或75°D.25°或85°

5.如图，在AABC中，AB=AC=6,点D在边AC上，AD的中垂线交BC于点E.若

/AED=NB,CE=3BE,则CD等于（）

23

6.如图，在Rt^ABC中，/B=90°,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC

于点E.已知NC=40°,则NBAE的度数为°.

7.如图，在AABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,

连接MB.

(1)若NABC=68°,则NNMA的度数是度；

(2)若AB=10cm,Z\MBC的周长是18cm.求BC的长度.

8.如图，AB=AC,AC的垂直平分线交AB于D,交AC于E.

(1)若NA=40°,求/BCD的度数;

(2)若AE=5,Z\BCD的周长17,求AABC的周长.

9.如图，在AABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点，DM与

EN相交于点F.

(1)若△CMN的周长为15cm,求AB的长;

(2)若NMFN=70°，求NMCN的度数.

【题型6】一一角平分线

1.如图，直线a,b,c表示交叉的三条公路,现要建一货物中转站，要求它到这三条公路

的距离相等，则可供选择的站址最多有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.如图，在AABC中，AD是角平分线，DE_LAB于点E,AABC的面积为15,AB=6,

DE=3,则AC的长是（）

A.8B.6C.5D.4

3.如图，AABC中，BO平分NABC,CO平分NACB,MN经过点O,与AB、AC相交

于点M、N,且MN〃BC,那么下列说法中：@ZMOB=ZMBO；②△AMN的周长

等于AB+AC；@ZA=2ZBOC-180°；④连接AO,贝ISAAOB：SAAOC：SABOC=AB：

AC：BC；正确的有（）

A.①②④B.①②③