数学分析知识点强化训练题集

数学分析知识点强化训练题集姓名_________________________地址_______________________________学号______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------线--------------------------1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。一、极限计算题1.计算数列极限

（1）已知数列{an}满足an=1/n，求极限lim(n→∞)an。

（2）已知数列{bn}满足bn=(n^21)/(n^32n)，求极限lim(n→∞)bn。

2.计算函数极限

（1）已知函数f(x)=x^23x2，求极限lim(x→2)f(x)。

（2）已知函数g(x)=sin(x)/x，求极限lim(x→0)g(x)。

3.利用极限运算法则计算极限

（1）已知函数f(x)=x1，g(x)=x^21，求极限lim(x→1)[f(x)g(x)]。

（2）已知函数h(x)=e^x，k(x)=ln(x)，求极限lim(x→0)[h(x)/k(x)]。

4.利用夹逼定理计算极限

（1）已知函数f(x)=x^2，g(x)=x^21，h(x)=x^21，求极限lim(x→0)[f(x)/g(x)]。

（2）已知函数m(x)=sin(x)，n(x)=x，p(x)=xsin(x)，求极限lim(x→0)[m(x)/n(x)]。

5.利用洛必达法则计算极限

（1）已知函数f(x)=e^x，g(x)=x^2，求极限lim(x→0)[f(x)/g(x)]。

（2）已知函数h(x)=ln(x)，k(x)=x^2，求极限lim(x→1)[h(x)/k(x)]。

6.利用泰勒公式计算极限

（1）已知函数f(x)=sin(x)，求极限lim(x→0)[f(x)x]。

（2）已知函数g(x)=cos(x)，求极限lim(x→0)[g(x)1]。

7.利用中值定理计算极限

（1）已知函数f(x)=x^23x2，求极限lim(x→1)[f(x)f(0)]。

（2）已知函数g(x)=e^x，求极限lim(x→0)[g(x)g(0)]。

8.计算无穷小量的比较

（1）已知函数f(x)=x^2，g(x)=x^3，求无穷小量f(x)和g(x)的比较。

（2）已知函数h(x)=sin(x)，k(x)=x，求无穷小量h(x)和k(x)的比较。

答案及解题思路：

1.（1）lim(n→∞)an=0，解题思路：根据数列极限的定义，当n趋向于无穷大时，an趋向于0。

（2）lim(n→∞)bn=0，解题思路：利用洛必达法则，将bn分子分母同时求导，然后求极限。

2.（1）lim(x→2)f(x)=1，解题思路：直接代入x=2，得到f(2)=1。

（2）lim(x→0)g(x)=1，解题思路：利用洛必达法则，将g(x)分子分母同时求导，然后求极限。

3.（1）lim(x→1)[f(x)g(x)]=4，解题思路：利用极限运算法则，分别求出f(x)和g(x)的极限，然后相减。

（2）lim(x→0)[h(x)/k(x)]=1，解题思路：利用极限运算法则，分别求出h(x)和k(x)的极限，然后相除。

4.（1）lim(x→0)[f(x)/g(x)]=1/2，解题思路：利用夹逼定理，找到两个函数h(x)和k(x)分别夹在f(x)和g(x)之间，然后求出h(x)和k(x)的极限，从而得到f(x)和g(x)的极限。

（2）lim(x→0)[m(x)/n(x)]=1，解题思路：利用夹逼定理，找到两个函数p(x)和q(x)分别夹在m(x)和n(x)之间，然后求出p(x)和q(x)的极限，从而得到m(x)和n(x)的极限。

5.（1）lim(x→0)[f(x)/g(x)]=1/2，解题思路：利用洛必达法则，将f(x)和g(x)分子分母同时求导，然后求极限。

（2）lim(x→1)[h(x)/k(x)]=1，解题思路：利用洛必达法则，将h(x)和k(x)分子分母同时求导，然后求极限。

6.（1）lim(x→0)[f(x)x]=0，解题思路：利用泰勒公式，将f(x)展开到x^3，然后求极限。

（2）lim(x→0)[g(x)1]=0，解题思路：利用泰勒公式，将g(x)展开到x^2，然后求极限。

7.（1）lim(x→1)[f(x)f(0)]=2，解题思路：利用中值定理，找到一个实数ξ在0和x之间，使得f(x)f(0)=f'ξ(x0)，然后求出ξ的值，再求出f'ξ。

（2）lim(x→0)[g(x)g(0)]=1，解题思路：利用中值定理，找到一个实数ξ在0和x之间，使得g(x)g(0)=g'ξ(x0)，然后求出ξ的值，再求出g'ξ。

8.（1）f(x)和g(x)是等价无穷小量，解题思路：利用无穷小量的比较法则，比较f(x)和g(x)的比值，当x趋向于无穷大时，比值趋向于1。

（2）h(x)和k(x)是等价无穷小量，解题思路：利用无穷小量的比较法则，比较h(x)和k(x)的比值，当x趋向于0时，比值趋向于1。二、导数计算题1.求导数的直接计算

(1)已知函数\(f(x)=x^33x2\)，求\(f'(x)\)。

(2)已知函数\(g(x)=\ln(x)\)，求\(g'(x)\)。

2.利用求导公式求导

(1)已知函数\(h(x)=e^{2x}\)，求\(h'(x)\)。

(2)已知函数\(k(x)=\sin(x)\)，求\(k'(x)\)。

3.利用导数的四则运算法则求导

(1)已知函数\(m(x)=(x^21)^3\)，求\(m'(x)\)。

(2)已知函数\(n(x)=\sqrt{x^24}\)，求\(n'(x)\)。

4.利用复合函数求导法则求导

(1)已知函数\(p(x)=\sin(\sqrt{x})\)，求\(p'(x)\)。

(2)已知函数\(q(x)=e^{x^2}\)，求\(q'(x)\)。

5.利用隐函数求导法则求导

(1)已知隐函数\(r(x,y)=x^2yy^2x=1\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

(2)已知隐函数\(s(x,y)=e^xy^3=0\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

6.利用参数方程求导

(1)已知参数方程\(t(x)=\frac{1}{2}x^23\)，\(u(x)=\sqrt{x}\)，求\(\frac{dt}{du}\)。

(2)已知参数方程\(v(x,y)=x^2y^2=1\)，\(w(x,y)=xy=2\)，求\(\frac{dv}{dw}\)。

7.求高阶导数

(1)已知函数\(x(x)=x^44x^36x^2\)，求\(x''(x)\)。

(2)已知函数\(y(y)=e^y\sin(y)\)，求\(y''(y)\)。

8.求导数的应用问题

(1)已知函数\(f(x)=x^33x2\)，求\(f'(1)\)的值。

(2)已知函数\(g(x)=\ln(x)\)，求\(g'(e)\)的值。

答案及解题思路：

1.求导数的直接计算

(1)\(f'(x)=3x^23\)

解题思路：对\(f(x)\)的每一项分别求导，然后相加。

(2)\(g'(x)=\frac{1}{x}\)

解题思路：根据对数函数的求导公式\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)。

2.利用求导公式求导

(1)\(h'(x)=2e^{2x}\)

解题思路：根据指数函数的求导公式\((e^x)'=e^x\)。

(2)\(k'(x)=\cos(x)\)

解题思路：根据正弦函数的求导公式\((\sinx)'=\cosx\)。

3.利用导数的四则运算法则求导

(1)\(m'(x)=6x(x^21)^2\)

解题思路：应用链式法则和幂函数求导公式。

(2)\(n'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^24}}\cdot2x\)

解题思路：应用链式法则和开方函数求导公式。

4.利用复合函数求导法则求导

(1)\(p'(x)=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

解题思路：应用链式法则和幂函数求导公式。

(2)\(q'(x)=2xe^{x^2}\)

解题思路：应用链式法则和指数函数求导公式。

5.利用隐函数求导法则求导

(1)\(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y}\)

解题思路：应用隐函数求导法则，将\(y\)视为\(x\)的函数。

(2)\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{y}{x^2}\)

解题思路：应用隐函数求导法则，将\(y\)视为\(x\)的函数。

6.利用参数方程求导

(1)\(\frac{dt}{du}=\frac{1}{2}\)

解题思路：应用参数方程求导公式。

(2)\(\frac{dv}{dw}=\frac{w}{v}=\frac{2}{x^2y^2}\)

解题思路：应用参数方程求导公式。

7.求高阶导数

(1)\(x''(x)=12x^224x12\)

解题思路：对函数\(x(x)\)进行两次求导。

(2)\(y''(y)=e^y\cos(y)e^y\sin(y)\)

解题思路：对函数\(y(y)\)进行两次求导。

8.求导数的应用问题

(1)\(f'(1)=0\)

解题思路：将\(x=1\)代入\(f'(x)\)。

(2)\(g'(e)=\frac{1}{e}\)

解题思路：将\(x=e\)代入\(g'(x)\)。三、微分计算题1.求函数的微分

题目：已知函数\(f(x)=e^{2x}\sin(x)\)，求\(f'(x)\)。

解答：

\(f'(x)=\frac{d}{dx}(e^{2x}\sin(x))\)

\(=e^{2x}\frac{d}{dx}(\sin(x))\sin(x)\frac{d}{dx}(e^{2x})\)

\(=e^{2x}\cos(x)\sin(x)\cdot2e^{2x}\)

\(=e^{2x}(\cos(x)2\sin(x))\)

2.求微分的应用问题

题目：若\(y=\ln(x^21)\)，求\(dy\)当\(x=1\)时。

解答：

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^21}\cdot2x\)

\(dy=\frac{2x}{x^21}dx\)

当\(x=1\)时，\(dy=\frac{2\cdot1}{1^21}dx=\frac{2}{2}dx=dx\)

3.利用微分求解近似值

题目：使用微分近似计算\(\sqrt{99}\)。

解答：

设\(f(x)=\sqrt{x}\)，则\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

当\(x=100\)时，\(f(100)=10\)，\(f'(100)=\frac{1}{20}\)

使用线性近似\(\sqrt{99}\approxf(100)f'(100)(10099)\)

\(\approx10\frac{1}{20}\cdot1=9.95\)

4.利用微分研究函数的变化趋势

题目：研究函数\(f(x)=x^36x^29x\)的增减性。

解答：

\(f'(x)=3x^212x9\)

令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=3\)

通过测试点\(x=0,2,4\)，确定函数在\(x=1\)和\(x=3\)之间的增减性。

5.利用微分研究函数的凹凸性

题目：判断函数\(f(x)=x^48x^322x^2\)的凹凸性。

解答：

\(f''(x)=12x^248x44\)

令\(f''(x)=0\)，得\(x=\frac{2}{3}\)或\(x=\frac{11}{3}\)

通过测试点\(x=0,1,2\)，确定函数的凹凸性。

6.利用微分研究函数的拐点

题目：找出函数\(f(x)=x^39x^224x8\)的拐点。

解答：

\(f''(x)=6x18\)

令\(f''(x)=0\)，得\(x=3\)

检查\(f''(x)\)在\(x=3\)前后的符号变化，确定拐点。

7.利用微分研究函数的极值

题目：求函数\(f(x)=x^33x^24x1\)的极值。

解答：

\(f'(x)=3x^26x4\)

令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=\frac{4}{3}\)

通过\(f''(x)\)的符号变化确定极值类型。

8.利用微分研究函数的不定式极限

题目：求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)3x}{x^3}\)。

解答：

使用洛必达法则，得

\(\lim_{x\to0}\frac{\cos(3x)\cdot33}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{33}{3x^2}=0\)

答案及解题思路：

答案见上述各题解答部分。解题思路主要是通过求导数、计算导数的值、应用洛必达法则等数学分析方法来解决微分相关的题目。四、不定积分计算题1.直接积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\int(3x^22x1)\,dx$。

2.分部积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\intx^3e^{2x}\,dx$。

3.三角函数积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\int\frac{\cosx}{\sinx}\,dx$。

4.有理函数积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\int\frac{x^21}{x^42x^21}\,dx$。

5.无理函数积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\int\sqrt{4x^29}\,dx$。

6.常用函数的积分公式

题目：计算不定积分$\int\frac{1}{(1x^2)^2}\,dx$。

7.换元积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\int\frac{dx}{x^22x5}$。

8.分式积分法求不定积分

题目：计算不定积分$\int\frac{x1}{x^2x6}\,dx$。

答案及解题思路：

1.解答：

答案：$\int(3x^22x1)\,dx=x^3x^2xC$。

解题思路：直接对每一项进行积分。

2.解答：

答案：$\intx^3e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}x^3e^{2x}\frac{3}{4}x^2e^{2x}\frac{3}{8}xe^{2x}\frac{3}{16}e^{2x}C$。

解题思路：使用分部积分法，令$u=x^3$，$dv=e^{2x}\,dx$。

3.解答：

答案：$\int\frac{\cosx}{\sinx}\,dx=\ln\sinxC$。

解题思路：使用三角函数积分法，利用$\int\frac{1}{\sinx}\,dx=\ln\sinxC$。

4.解答：

答案：$\int\frac{x^21}{x^42x^21}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x^22}{x^42x^21}\,dx=\frac{1}{2}\lnx^42x^21C$。

解题思路：使用有理函数积分法，将分子拆分后分别积分。

5.解答：

答案：$\int\sqrt{4x^29}\,dx=\frac{1}{4}\ln2x3\frac{3}{8}\sqrt{4x^29}C$。

解题思路：使用无理函数积分法，令$u=\sqrt{4x^29}$，$x=\frac{3}{2}\tant$。

6.解答：

答案：$\int\frac{1}{(1x^2)^2}\,dx=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1x^2}\arctanx\right)C$。

解题思路：使用常用函数的积分公式，根据积分表查找相应公式。

7.解答：

答案：$\int\frac{dx}{x^22x5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x1}{\sqrt{2}}\right)C$。

解题思路：使用换元积分法，令$u=x1$。

8.解答：

答案：$\int\frac{x1}{x^2x6}\,dx=\frac{1}{2}\lnx^2x6C$。

解题思路：使用分式积分法，将分子拆分后分别积分。五、定积分计算题1.利用定积分的几何意义计算定积分

题目：求函数\(f(x)=2x1\)在区间\([1,3]\)上的定积分，解释该积分的几何意义。

答案及解题思路：

解答：定积分\(\int_1^3(2x1)\,dx\)代表由函数\(f(x)=2x1\)在\([1,3]\)区间上形成的图形与\(x\)轴、\(y\)轴和直线\(x=1\)，\(x=3\)所围成的面积。计算过程

\[

\int_1^3(2x1)\,dx=\left[x^2x\right]_1^3=(93)(11)=11

\]

解题思路：根据定积分的几何意义，积分结果即为图形的面积。

2.利用微积分基本定理计算定积分

题目：已知函数\(f(x)=x^2\)，求\(\int_0^2(2x3)\,dx\)。

答案及解题思路：

解答：根据微积分基本定理，如果\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么\(\int_a^bf(x)\,dx=F(b)F(a)\)。这里\(f(x)=2x3\)的原函数为\(F(x)=x^23x\)。

\[

\int_0^2(2x3)\,dx=(x^23x)\bigg_0^2=(46)(00)=10

\]

解题思路：利用微积分基本定理直接计算。

3.利用积分中值定理计算定积分

题目：已知\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\([1,4]\)上连续，求证\(\int_1^4f(x)\,dx\)等于区间中值\(\xi\)处的\(f(\xi)\)乘以区间长度。

答案及解题思路：

解答：积分中值定理告诉我们，存在某个\(\xi\in[1,4]\)，使得\(\int_1^4f(x)\,dx=f(\xi)\times(41)\)。具体计算

\[

f(x)=\frac{1}{x}\quad\text{和}\quadf(\xi)=\frac{1}{\xi}

\]

因为\(f(x)\)在\([1,4]\)上连续，我们可以使用牛顿莱布尼茨公式：

\[

\int_1^4\frac{1}{x}\,dx=\left[\lnx\right]_1^4=\ln4\ln1=\ln4

\]

解题思路：利用积分中值定理找到函数在区间内的一个点，使得该点的函数值乘以区间长度等于积分值。

4.利用积分第一中值定理计算定积分

题目：求\(\int_0^{\pi}\cosx\,dx\)，应用积分第一中值定理。

答案及解题思路：

解答：根据积分第一中值定理，存在某个\(\xi\in[0,\pi]\)，使得：

\[

\int_0^{\pi}\cosx\,dx=\cos(\xi)\times\pi

\]

计算得：

\[

\cos(\xi)\times\pi=\cos(\frac{\pi}{2})\times\pi=0

\]

解题思路：使用积分第一中值定理找到满足条件的\(\xi\)并计算。

5.利用积分第二中值定理计算定积分

题目：已知函数\(f(x)=x^3\)在\([1,3]\)上连续，求证\(\int_1^3f(x)\,dx\)等于函数\(f(x)\)在区间内的平均值乘以区间长度。

答案及解题思路：

解答：积分第二中值定理指出，存在某个\(\xi\in[1,3]\)，使得：

\[

\int_1^3x^3\,dx=\frac{1}{ba}\left(\frac{a^3b^3}{2}\right)=\frac{1}{2}(1^33^3)

\]

因为\(f(x)\)在\([1,3]\)上连续：

\[

\int_1^3x^3\,dx=\frac{1}{2}(127)=14

\]

解题思路：使用积分第二中值定理找到满足条件的\(\xi\)并计算。

6.利用积分变限求导法计算定积分

题目：计算\(\int_{\ln2}^{\ln4}\frac{1}{x^2}\,dx\)，然后利用积分变限求导法求导数。

答案及解题思路：

解答：首先计算定积分：

\[

\int_{\ln2}^{\ln4}\frac{1}{x^2}\,dx=\left[\frac{1}{x}\right]_{\ln2}^{\ln4}=\frac{1}{\ln4}\frac{1}{\ln2}

\]

使用积分变限求导法，对上述表达式求导得：

\[

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln4}\frac{1}{\ln2}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln2}\frac{1}{\ln4}\right)

\]

计算导数时要注意变量\(x\)是无关变量。

解题思路：首先计算定积分，然后利用导数规则计算变限求导。

7.利用积分第二基本定理计算定积分

题目：计算\(\int_{2}^2e^{x^2}\,dx\)，使用积分第二基本定理。

答案及解题思路：

解答：根据积分第二基本定理，如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，那么\(\int_a^be^{g(x)}\,dx=e^{G(b)}e^{G(a)}\)，其中\(G(x)\)是\(g(x)\)的原函数。这里\(f(x)=e^{x^2}\)的原函数\(G(x)\)难以直接计算，但是可以识别这是一个偶函数的积分，从而简化计算：

\[

\int_{2}^2e^{x^2}\,dx=2\int_0^2e^{x^2}\,dx

\]

解题思路：利用偶函数的积分性质和基本定理进行计算。

8.利用定积分的应用问题的层级输出

题目：利用定积分计算抛物线\(y=x^2\)从\(x=0\)到\(x=1\)与\(x\)轴、\(y\)轴及直线\(x=1\)所围成的区域的面积。

答案及解题思路：

解答：区域的面积等于定积分\(\int_0^1x^2\,dx\)，计算

\[

\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}

\]

解题思路：应用定积分的几何意义，即求曲线下围成的面积。六、级数计算题1.求级数的收敛域

题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$的收敛域。

解答：

答案：收敛域为$(\infty,1)$。

解题思路：使用比值审敛法，计算$\lim_{n\to\infty}\left\frac{a_{n1}}{a_n}\right=\lim_{n\to\infty}\left\frac{(n1)^2}{2^{n1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}\right=\frac{1}{2}1$，故级数收敛。然后检查端点$x=1$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$发散。

2.判断级数的收敛性

题目：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}$的收敛性。

解答：

答案：级数收敛。

解题思路：使用比较审敛法，因为$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}/\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\ln(n)=\infty$，且$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛，故原级数收敛。

3.利用级数求和公式求级数的和

题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\frac{\pi^2}{6}$。

解题思路：利用已知的级数求和公式$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$，可以推导出$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^4}{90}$。

4.利用级数展开求和

题目：求级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}=\frac{1}{1\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$。

解题思路：使用几何级数求和公式，因为$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1r}$，其中$r1$。

5.利用级数的性质求级数的和

题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^{n1}}{n^2}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^{n1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$。

解题思路：利用交错级数的性质，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^{n1}}{n^2}$收敛，然后使用级数展开法或积分法求和。

6.利用级数的极限求级数的和

题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2(n)}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2(n)}=\gamma$，其中$\gamma$是欧拉马斯刻若尼常数。

解题思路：使用积分法求和，通过极限$\lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x\frac{dt}{t\ln^2(t)}}{x1}$得到和。

7.利用级数的收敛半径求级数的和

题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e$。

解题思路：利用级数的收敛半径，$\rho=\lim_{n\to\infty}\left\frac{a_{n1}}{a_n}\right=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n1}=0$，故级数收敛，且和为$e$。

8.利用级数的性质解决级数问题的

题目：求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\frac{\pi1}{2}$。

解题思路：利用级数的性质，结合正弦函数的级数展开和积分，可以求得该级数的和。

答案及解题思路：

1.求级数的收敛域：通过比值审敛法确定收敛域。

2.判断级数的收敛性：使用比较审敛法判断收敛性。

3.利用级数求和公式求级数的和：使用已知级数求和公式求解。

4.利用级数展开求和：使用几何级数求和公式求解。

5.利用级数的性质求级数的和：利用交错级数和级数展开法求解。

6.利用级数的极限求级数的和：使用积分法求解级数和。

7.利用级数的收敛半径求级数的和：通过级数的收敛半径求解和。

8.利用级数的性质解决级数问题的：通过级数性质和级数展开法求解。七、微分方程计算题1.求一阶微分方程的通解

a)方程：\(y'2xy=e^{2x}\)

b)方程：\(y'\frac{1}{x}y=\sqrt{x}\)

2.求一阶微分方程的特解

a)方程：\(y'\frac{1}{x}y=\sqrt{x}\)，初始条件：\(y(1)=2\)

b)方程：\(y'2xy=e^{2x}\)，初始条件：\(y(0)=1\)

3.利用积分法解一阶微分方程

a)方程：\(y'y^2=x\)

b)方程：\(y'2xy=e^{2x}\)

4.利用微分方程的初值条件解一阶微分方程

a)方程：\(y'y^2=x