2024-2025学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（下）第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个负数中，−312，−3.14，−334，−3A.−312 B.−3.14 C.−332.如图是小宇同学每天作息时间扇形统计图，得到下列信息，错误的是(

)A.小宇睡眠时间占全天时间的35%

B.小宇每天体育活动时间为2.4小时

C.各项统计中，小宇课业学习时间最多

D.小宇每天睡眠时间为8.4小时3.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为10m，若在坡度为1：1.25的山坡上种树，也要求株距为10m，那么相邻两棵树间的坡面距离为(

)A.41m B.C.12m D.12.5m4.如图，公路上有一个10米高的路灯.晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比(

)A.在位置A的影子长些

B.一样长

C.在位置B的影子长些

D.无法确定5.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是(

)A.15(1−x)2=9 B.15(1−2x)2=96.下列命题是真命题的是(

)A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等

B.若关于x的方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是k≥−1且k≠0

C.若关于x的一元一次不等式组x−a≤02x−1>5无解，则a的范围是a≤3

D.若点C7.如图，周长为8的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点Q为BC边中点，点P为对角线上一动点，沿D→B的路径行进，PD长度为x，PQ，PC的长度之和为y，设函数图象最低点的坐标为(m,n)，则n的值为(

)

A.22 B.3 C.28.如图，已知A，B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C，F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠OAD的值是(

)A.817

B.1213

C.4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.已知a+b=6，ab=2，则1a+110.若一个扇形的弧长为43π，半径为6，则此扇形的面积为______．11.若一元二次方程x2−5x+2=0的两个根为x1，x2，则12.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数y=2x(x>0)与y=−6x13.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边AB上，连结EC，将EC绕点C旋转，点E恰好落在边AD上的点F处，且AE=DF.若CD=8，EF=7，则BE=______．三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题7分)

阅读与理解

阅读下列材料，完成后面的任务．

在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．

例：若xx2+1=14，求代数式x+1x的值．

解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=415.(本小题9分)

为了弘扬中华优秀传统文化，某校以“中国传统节日”为主题开展活动，组织全校学生在“春节”“清明节”“端午节”“中秋节”四个传统节日中选择一个作为研学主题，了解其历史及其传统文化内涵.现随机调查了部分学生，对他们选择主题的情况进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．主题人数所占百分比春节20a清明节b16%端午节c20%中秋节12d(1)表中a的值是______，本次调查的学生人数是______；

(2)若该校共有1200名学生，请估计选择“中秋节”的学生人数；

(3)若甲、乙两名学生选择上面四个传统节日的可能性相同，请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择的主题中含有“端午节”的概率．16.(本小题7分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC．

(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF=CE(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)所作的图形中，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形．请补全下面的证明过程．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC且AD=BC，

∵DF=CE，

∴AD−DF=BC−CE，

∴______．

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AD//BC，

∴______．

∵AE平分∠BAF，

∴______，

∴∠BEA=∠BAE．

∴______，

∴四边形ABEF是菱形．17.(本小题8分)

某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天的销售量y/件…363432…(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？(3)该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？18.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上的一点，AG，DC的延长线交于一点F．

(1)求证：∠AGD=∠FGC．

(2)过A作⊙O的切线，交DG的延长线于点K，DG与AB交于点M，若tan∠FGC=43，点G是AC的中点时，CD=6，求19.(本小题10分)

问题提出

(1)如图①，在△ABC中，BC=10，△ABC的面积为25.在△ABC内作一个正方形EFQR，使正方形一边QR落在边BC上，另外两个顶点F，E分别落在边AB，AC上，该正方形的面积大小为______．

问题解决

(2)某市进行绿化改造，美化生态环境.如图②，现有一块四边形的空地ABCD计划改造成公园，经测量，AB=500m，BC=1000m，CD=680m，且∠B=∠C=60°.按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M，N均在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，CD上.为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉.已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？(结果保留整数，参考数据：20.(本小题12分)

在四边形ABCD中，点E为AB的中点，分别连接CE，DE．

(1)如图1，若∠A=∠B，∠ADE=∠BEC．

(i)求证：AE2=AD⋅BC；

(ii)若DE平分∠ADC，求证：∠AED=∠DCE；

(2)如图2，若∠DAB+∠B=90°，∠DEC=90°，AD=3，BC=1，求CD参考答案1.D

2.C

3.B

4.C

5.A

6.C

7.B

8.D

9.3

10.4π

11.2

12.313.3或5

14.解：(1)xx2−3x+1=12，

∴x2−3x+1x=2，

15.解：(1)由题意得，a=144°360∘×100%=40%．

本次调查的学生人数是20÷40%=50(人)．

故答案为：40%；50人．

(2)1200×1250=288(人)．

∴估计选择“中秋节”的学生人数约288人．

(3)设“春节”“清明节”“端午节”“中秋节”分别用A，BABCDA(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择的主题中含有“端午节”的结果有：(A,C)，(B,C)，(C,A)，(C,B)，(C,C)，(C,D)，(D,C)，共7种，

∴甲、乙两人选择的主题中含有“端午节”的概率为71616.(1)解：图形如图所示：

(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC且AD=BC，

∵DF=CE，

∴AD−DF=BC−CE，

∴BE=AF．

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AD//BC，

∴∠AEB=∠EAD．

∵AE平分∠BAF，

∴∠EAB=∠EAD，

∴∠BEA=∠BAE．

∴BA=BE，

∴四边形ABEF是菱形．

故答案为：BE=AF，∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠EAD，BA=BE．17.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)．

把(12,36)和(13,34)代入y=kx+b(k≠0)得36=12k+b,34=13k+b.

解得k=−2,b=60.

故y与x之间的函数关系式为y=−2x+60；

(2)根据题意，得(x−10)(−2x+60)=192．

解得x1=18，x2=22．

∵10≤x≤19，

∴x=18．

答：销售单价为18元；

(3)设销售这种文具每天获利w元，

则w=(x−10)(−2x+60)=−2x2+80x−600=−2(x−20)2+200，

∵−2<0，

∴抛物线开口向下．

∵对称轴为直线x=20，

∴.当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，

∴当x=1918.(1)证明：连接AD，如下图所示：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴AD=AC，

∴∠ADC=∠AGD，

∵四边形ADCG内接于⊙O，

∴∠FGC=∠ADC，

即∠AGD=∠ADC；

(2)解：∵∠FGC=∠ADC，tan∠FGC=43，

∴tan∠ADC=43，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6，

∴DE=12CD=3，

在Rt△ADE中，tan∠ADC=AEDE=43，

即AE3=43，

∴AE=4，

由勾股定理得：AD=AE2+DE2=5，

∵AK为⊙O的切线，

∴AK⊥AB，

∴AK//CD，

∴∠K=∠GDC，

∵点G是AC弧的中点，

∴∠ADG=∠GDC，

∴∠K=∠ADG，

∴AK=AD=5，

设AM=x，则EM=AE−AM=4−x，

∵AK//CD，

∴△AKM∽19.解：过点A作AD⊥BC于点D，交EF于点H，

∵BC=10，S△ABC=25，

∴S△ABC=12BC⋅AD=25，

∴AD=5，

设正方形的边长为x，则AH=5−x，

∵四边形FQER是正方形，

∴FE//BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴FEBC=AHAD，即x10=5−x5，

∴5x=50−10x，

15x=50，

解得：x=103，

∴正方形EFQR的面积为：103×103=1009，

故答案为：1009；

(2)如图所示：

∵四边形PQMN是矩形，

∴∠QMB=∠PNC=90°，PQ=MN，QM=PN，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BQM≌△CPN，

∴BM=CN，∠BQM=∠CPN=30°，

设BM=CN=x m，则BQ=CP=2x m，

∴QM=PN=3xm，

∵BC=1000m，

∴MN=(1000−2x)m，

∵AB=500m，

∴当点Q与点A重合时，则BM=250m，

∴S矩形PQMN=QM⋅MN=3x⋅(1000−2x)=−23x2+10003x=−23(x−250)2+1250003，

要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形PQMN的面积最大，

∴当x=250时，矩形PQMN的面积最大，最大值为1250003m2，如图，

∴BM=CN=250m,AM=2503m，

过点D作DH⊥BC于点H，

∵∠C=60°，

∴∠CDH=30°，

∵CD=680m，

∴CH=340m,DH=CD2−CH2=340