第四章：更高更妙的压轴题突破技巧

第四章更高更妙的高考压轴题突破技巧

已经近几年的高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法及能力综合型和创

新能力型试题。事实上，从历年全国各地的高考试卷中我们不难发现，压轴题的考察内容主

要集中在函数（导数）、数列、不等式与圆锥曲线，本章将以此为线索展开研究。

4.1函数综合问题

函数是高中数学中及其重要的内容，其观点和方法贯穿高中代数的全过程，同时应用于

几何问题的解决.学习函数，可以从两个方面入手，一是解析式，二是图像特征，从解析式

出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理，论证的能力反映出一个人的基本数学素养,

从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法。

近年来，以函数为主干的综合题屡见不鲜，从内容上来看，主要有函数与方程问题，函

数与不等式问题，函数与导数问题，函数与数列问题，函数与解析几何问题等，从解题策略

上来看，解函数综合题的关键是要熟练掌握函数的性质，注意函数与方程，数形结合，转化

与化归、分类讨论、换元法、待定系数法、配方法、构造法等数学思想与方法的灵活运用。

4.1.1二次函数综合

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延，作为最基本

的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、

方程、不等式虹之间的有机联系，作为抛物线，可以联系其他平面曲线讨论相互之间的关系，

这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题，同时，有关

二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础,

因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了。

二次函数需要掌握的基础知识主要有：

1.二次函数的三种表示(以下4*0)

一般式：y=ax2+bx+c；

零点式：y=a(x-)(x-x,)；

顶点式：y=a(x-my+n»

2.二次函数在限定区间上的最值(值域)问题

当。>0时，设/(x)在区间［p,q］上的最大值为最小值为〃？，令x0=；(p+q)。

若一?<p，则/(p)=m,/(4)=加。

2。

若P-~~<x0，则/M:

2a

若则/(p)=Af,/(—金］=利；

2aV2aJ

若一上之4,则/(2)=",/(夕)=〃？.

2a

3,二次函数的图像

二次函数的图像是抛物线，它关于直线工=-2对称；

2a

对称轴与抛物线的交点1-2,称为顶点；

、2a4aJ

当。＞0时，图像的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当。＜0时，图像的开口向下，顶点是抛物线的最高点；

当△一〃一44〉0时，图像与x轴有两个不同的交点；

当△=()时，图像与x轴相切；

当A＜0时，图像与x轴无交点.

【例1】设/(X)=ax2+hx+c(a丰0),

(1)若|/(0心1,|/(1]＜1,|/(-1)＜1，试证明：对于任意国＜1,有

(2)若忖＜1时，旬求证：当国(1时，|2"+耳＜4。

讲解

⑴由/'(-1)=Q-6+C,*1)=4+6+CJ(0)=C,

可解得。；(/⑴+/(-1)—2/(0)),b=；(/(I)-/(-l)),c=/(0)。

因此，/(x)=/(if3)+/(-1(二］+/(04-F)。

①当一IKXKO时,

|/(小网缶+|/(-1卜%2-%

+|/(0冲-刈

2

X2+XX2-XX2+X2、

X-X2

<++H++1-x

22227

2+笃9。

=一12-X+1=—fX+-

44

②当04x41时,

2x2-x

X+X+1/(0卜"巧

l/M</(i)-22

2x2-X2、2,\

X+X+|-2卜X+X—X+XI)

<+++

222)2J

-X2+X+1上J

44

⑵由⑴知|2ax+b|=/(l)+/(—1)—2/(O)x+；(/(l)—(—1)

综上，问题获证.

评注本题所给条件并不是以确定参数4,8C的值，注意到所要求的结论不是|/(X)的

确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，可以把|/(0)41,|/(1)41,|/(一1］«1

当成三个独立条件，用/(-1),/(0)和/(1)来表示a,b,c,再利用绝对值不等式放缩达到目

标，(2)上所述不等式又称为马尔可夫不等式，更一般地，设有〃次多项式函数/(x)满足

|x|<l,\f(x\<M,则当忖41时，有/(“4〃2M成立。

［例2］已知/(X)=|x2-1|+x2+Ax,

(1)若左=2,求方程/(x)=0的解;

(2)若关于x的方程/(x)=0在(0,2)上有两个解玉,刀2,求左的取值范围，并证明

讲解(1)当左=2时，/(X)=|X2-1|+X2+2X=0.

①当f—iNO,即x«—1或1或xNl时，方程可化为2/+2x—1=0.

-1+V3-1+V3

解得2x=",而0<7<1(舍去).

22

②当一一1<0,即—1<%<1时，方程可化为2x+l=0,解得x=—L.

2

由①②得，当左=2时，方程/3=卜2-1|+工2+履=0在(0,2)上有两个解玉;％

=-k=g(x)=x——+x在(0,2)上有两个解玉,刀2

X

—(0<x<1),

=-%=g(x)=0“在(0,2)上有两个解再,工2，

2x--(1<x<2)

x

如图4—1—1所示作出函数y=g(x)的图像，由图像可知：当且仅

77

当1<一％<］，即时，一左=g(x)在(0,2)上有两个解

7

故当一5〈左<—1时，方程/。)=0在(0,2)上有两个解王,々.

图4-1-1

且工=一女,2々一1-=一左，所以'+」-=2/<4.

评注通过数形结合的方法，把方程有解的问题转化为两函数图像有公共点的问题，是

解决方程根的分布情况的常用方法之一，但在操作过程中要注意对方程的再加工，使函数图

像尽可能简单一些，如本题的动态函数是一条上下平移的直线，能使方程解的情况一目了然.

<、［Ax+l,O<x<l,［/(1)<0,7

解法二/(x)=《,结合图像可知［:'解得—，(左<一1.

2x2+kx-\,l<x<21/(2)>0,2

2—+—=—k+"n,由k的范围结合单调性可得所证.

$x22

【例3】已知二次函数/(x)=a/+6x+c(a,6,c£凡。w0),满足/(一1)=0,对

于任意的XG&,都有/(x)—xN0,并且当X€(O,2)时有/(x)〈(甘口.

(1)求/(X)的表达式；

(2)当时，函数g(x)=/(%)-w7?)是单调的,求证：m<0^m>1.

讲解(1)由/(1)=1,/(—1)=0解得6=；,对于任意的xeR,都有

23，又'=，

/(%)-%>0:.a>Q,^=(b-1)-4ac<0,/.a>0,42,4+(?227^

162

^ac<—,

16

故。。=-!-,。='力=±，/(》)=,/+'8+』.

164c424

(2)g(x)=—X2+|—-7«|x+—=—X+2|--77?

4(2J44L(2

：工€[-1,1]时・，g(x)为单调函数.

>1,解得TH40或机21.

变式已知二次函数/(x)=ax?+bx+c(a,b,ceH0),满足:

(1)当xe7?时，/(x-4)=/(2-x),且/(x)Nx；

(2)当xe(O,2)时，/(x)<(9)；

(3)/(x)在7?上的最小值为0.

求最大的加(加>1)，使得存在f£火，只要XE[1,用],就有/(x+Z)<x.

讲解同例3可得/(x)=；f+；x+；,假设存在feR,只要

就有

/々+/)4》，取》=1,有/(/+1)«1,即；(/+1)2+；«+1)+；41得一441《0.

对固定的fe[—4,0],取x=m,有

f(t+加)<〃？=>；«+加y+g«+m)+；<m.

化简得加2-2。->%+(r+2,+1)<0=>1-/—V—4/<m<1-Z+V-4/.

m<1-^+V-4t<1-(-4)+4(-4)=9.

当,=-4时，对任意的工£[1,9].

恒有/卜一4)一彳=；々2-1(k+9)=；(工一吠^一9)«0,故加的最大值为9.

评注二次函数/(x)=ox2+bx+c(aw0)的图像为抛物线，具有许多优美的性

质，如对称性、单调性、凹凸性等，结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难

为易，形象直观。

【例4】已知/(x)=ax?+bx+c,其中aeZ*,dceZ.

(1)当b>2a时，在[一1,1]上是否存在x,使得|/(x)〉b成立？

(2)当方程/(x)—x=0的根在(0,1)上时，试求a的最小值.

讲解(1)由b〉2a,aeZ+,得一2<-1,则/(x)在[―1,1]上递增且b>0,

2a

因此，f(x)e(a-b+c,a+b+c).

①当a+c>0时，a+b+c>b>0,此时有

即存在x=l,使得成立.

②当。+c<0时，a-b+c<-b<0f止匕时有-1)>6,

即存在x=—1,使得成立.

③当a+c=O时，/(x)e(—6/)，不存在x使得|/(力>b成立.

(2)设g(x)=/(x)-x=O的两根为玉,》2，则g(x)="(x-X|Xx-X2)，

由于g(0)g(l)=a"%(1—x/1一%)V42(.%)卜+；一々)=1,

其中当%=々=,时上述等号成立，所以g(O)g(l)«土.

216

由于方程/(x)—x=O的根在(0,1)上，所以g(0)>0,g(x)>0,

又已知a也c为整数，则g(0)=c21,g(l)=a+b-l+c>l.

则—>g(o)g(l)>1.即/216(aeZ+),则a>4.

16

经检验，。的最小值为4.

评注第(1)小题在得到/(x)e(a—b+c,a+b+c)时，针对a+c进行分类讨论,

从而使原问题明确化；第(2)小题利用二次函数与二次方程的关系，巧妙地设“两点式”

g(x)=a(x—x/x—々)，并且对g(0)g(l)=〃2再%(1-乂加―马)进行合理搭配后，运用均

值不等式，将“四元”问题转化为“二元”问题，从而顺利突破难点.

【例5】(2015年高考浙江卷第18题)已知函数/(》)=/+办+6(。,6€&)，记

M(a,b)是|/("在区间［-1,1］上的最大值.

(1)证明：当时N2时,M(a,b)>2；

(2)当a,b满足“(a,b)42,求同+网的最大值.

(1)解法一由/(x)=(x+，)+b—：，得对称轴为直线》=一1

因为时22,得一121.

故/(x)在［-1,1］上是单调函数，所以A/(a,b)=max/(-l)}.

而

1)=|1-a+4=|1+b-H=k-(1+=|1+“+4=|1+b+4=.+(1+b),所

以|/(—l)+|/(l)=|a—(l+b)+k+(l+b)N2k|N4.

所以|/(—l[+|/(1124.

根据抽屉原理，与|/(U中至少有一个不小于2,

所以M(a,b)=max{/(1),/(T}N2.

解法二由题意知M(a,b)>|/(1]=@+1)+a\,M(a,b)>|/(一"=@+l)-a|.

结合绝对值的几何意义可知，当且仅当6+1在[-时,|闻时，+有最小值

2时,即M(a,b)N2.

yI

解法三M(a,b)=max{|/(-1)|,/(1))=maxjjl-a+b\,\[+a+b\\/

设x=b+l,则问题可化为A/(n,b)=max{x+4，|x-4},这就变

-\a\_\0\a\~

了常见的问题，如图4-1-2所示，可直接证得〃(凡6)2时22.图4-1-2

解法四由函数/(xHx+S+6—得对称轴为直线x=g

因为时22,故/(x)在[-1,1]上单调，所以

M(a,b)=max{/(-I),/(l)},

当aN2时，由/(l)—/(—l)=2aN4,得

max{/(l),-/(-l)}2/⑴即一。>2,即M(a,b)>2.

当时，由/(一1)_/(1)=_2424,得

max{/(-1),-/(1)}"-『，⑴=-a>2.

综上,当时22时，M(a,b)>2.

"(-1)=1-a+b,

所以，=生回力=/⑴+/(-1)1

(2)解法一因为=1”

2

J(O)=l+b,

所以时+回=吗止D+生回一1

4；团1)-/(-1)|+|八1)+/(-1)|]+1

|/(1^+1./2(1)-/2(-1)>0,

<M(a,b)+\<3.

\|/(-q+i,/2(i)-/2(-i)<o

(可知M(a,b)<2,当且仅当/(1)1[(―1)«0,|/("=2,或|/(一1)=2,且

M(a,b)=2,即。=±2力=—1时取等号)

解法二由(1)知M(a,b”2时，时42.

山|/(—1)=|j+6归2及|沏=|1+4+442,可得CH](*)

所以—

(i)若0＜小,由同＜2,得问+网43,结合条件(*)知此时时+网41;

(ii)若—34b<0,考虑到x=—1,1],?=一亍+b2——2,

222,||Y

所以----24b40,得M|42----，因此同+科W同+2-=3----1<3,当且仅当

44412)

a=±2,b=-l时取等号,故向+\b\的最大值为3.

解法三由(1)及"(。])定义知|/(—1)<<M(a,b),由于2,

台|1—a+W2,11+a+耳K2,故一34—a+b41,—34a+b41，故

..,.....\\a+b\,ah>0,....

卜―耳43,卜+6区3,考虑到所求式同+例=(所以时+网43.

下面只要验证这样的a,b存在即可，事实上，当a=2,b=-1时，时+网=3,此时

/(x)=,+2x—l|="+l)2—2］在［—1,1］上的最大值为2；当“=一21=一1时，

2

时+网=3,此时/(%)=卜2-2X-1|=|(x-1)一2|在［-1,1］上的最大值为2.

4.1.2高次函数综合

一般地，我们将最高次超过二次的函数称为高次函数，解决高次函数的问题一般可利用

导致这一有力工具，这将在本章4.2节具体分析，此处仅举一非导数方法的一例.

【例6】已知奇函数/(x"/一ax?-bx+c在［l,+oo］上单调.

(1)求a,c的值及b的范围；

⑵设X°N1J(XO)N1,且满足/(/(xJbxo.求证：/(x0)=x0.

讲解⑴因为XW&,-ax?-bx+c为奇函数，所以/(一x)=-/(x),

即(-x)3-a(-x)2-b(-x)+c=-(x3-ax1-bx+c)恒成立，因此a=c=0.

又y(x)在)+oo］上单调,若/(x)在［1,+同上单调递减，则/'(x”0恒成立，但

/'(X)=3/一bV0在［］,+同上不恒成立；

若/(%)在［l,+oo］上单调递增，则/'(x)=3x2—b20恒成立.

在［1,+8］上叶(x)=3x2—b最小值为3-》,故只要3-60,即643.

综上可知，a=c=0,h<3.

(2)解法一假设

若/(x0)>x0>l,Eh⑴知/(X)在［l,+oo］上单调递增，

则/(7一))>/仁)且/&)>/,有/(/&))>/，与/(/卜))—X。矛盾；

若1«/(/)</,同理有/(/(/))</Go)且/(工0)</,有/(/(/))</,

与/(/3))=与矛盾.

所以假设错误，因此/(工0)=%.

解法二由(1)知/(》)=X3一bx,设/(%)=加，由/(/(4力=/有/何"/,

于是「'两式相减，得（x（/-一b（x（）—机）=加一%,

i

m-hm-x0,

2

即（/-加标。？+nix0+m+1-/））=0.

因为X。21,/（》0）21力43,所以/2+加/+〃?2+1-6>4-/）>1>0.

所以须）一加=0,即/（x0）=x0.

4.1.3分式函数综合

一般地，分母中含有自变量的函数称为分式函数，除了二次函数，分式函数也是

高考命题的热点，尤其是以下被俗称为“打钩函数”或“N汰e函数”的函数

uf[x}=x+—[a>Q）n,

x

更是在各类考试中独领风骚.

【例7】点尸（//）在函数/（X）=±（XH—1）的图像上，且有

X+1

t1-c2at+4c2=0（cH0）,求证：

（i）㈤-4；

（2）在（—l,+oo）上，/（x）单调递增；

⑶加）+漳）>1.

讲解（1）•."eR,/H-l,;.A=（-c2a）2-16c2=。％2一1602zo.

•・,cw0,/.c2a2>16,\ac\>4.

（2）由已知得4x）=1---.

X+1

解法一设一1<X]<,

则/

x2+1X]+l（x2+1X^1+1）

-1<X[<x2,/.x2-X]>0,X]+1>0,x2+1>0,

/日)一/a)>0,即/(X2)>/(x]x>T时,/(x)单调递增。

解法二「(X)=L1>0得xw—1,所以当x>—1时，/(x)单调递增,

(x+1)

(3)由/(x)在x>-l时单调递增，忖2：［>0,

4

得加1)呜=hl_4

4时+4

1-1

川4)+/忖=居+点〉岛十忌"

即加)+/M)>L

【例8】设。>0,函…("+加［2。)

(1)当a=；时，求函数/(x)的最小值；

(2)证明：当1时，函数/(x)有零点。

讲解(1)当时,

3

所以，当打+'=1,即x=2时，函数/'(x)取到最小值—L

43x36

(2)因为/《)=［彳高一"+；>0'所以欲证当J时，函数/(〃)有零点,

只需证明，当函数/(X)的最小值小于等于零即可。

xa\Jx4142a/xa,Y12a

+--2+-+=+——1+-----------

Q+1----X)(4+1X)34+1---14+1XJ34+1

考察方程：上+@—1=0,即/一年+1卜+。(。+1)=0。

Q+1X

①当x2-(a+l)x+«(a+l)=0有实数根时,

此时44上，函数/(X)的最小值是上一*

33a+\

因为所以工一用-W0.

53。+1

②当x2一(a+l)x+a(a+1)=0无实数根时，此时。

由①②可知，当时，函数/(x)的最小值小于等于零.

因此，当时，函数/(x)有零点.

评注本题重点考察函数的性质、基本不等式、零点存在性等知识，对考生的逻辑推理

能力与创新意识要求较高。

4.1.4抽象函数综合

所谓抽象函数，一般是指题设中只给出函数的一些性质(如单调性、周期性、奇偶性)，

其函数的解析式不确定，要求考生根据已知的性质探索该函数的其他性质的问题.抽抽象函

数问题，可以将函数、方程和不等式等内容综合于一题，也可以通过构造一定的背景，定义

一些新的知识，将高等数学内容有机地渗透在具体问题中，从而在“抽象”中具体考查考生的

逻辑推理能力、抽象思维能力与创新能力.

抽象函数可视为某些具体函数的“模特”，如下表

函数方程代表函数

1/(xl+x2)=/(x1)+/(x2)f(x)=kx

/(占+X)=f[xyf(x)

21x2/(x)=/

3f(jj・工2)=

12/R)《)

4f(X,-X2)=/(X,)+/(X2)f(x)=log„x

5f(五)=/&)-/&)f(x)=log„x

X2

6/（X「X2）=/（X）/（X2）fCx)=xn

7f(x)=cosx

/(x,)+/(x2)=2y

8X|+X2)/(x)=log产

f(Xi)+f(x2)=fl+X/2J1+x

9/(x)=-/Wf(x)=log,,X,f(x)

（X）

明确了“抽象”与“具体”之间的联系，我们就可以通观全局，整体把握，局部入手.

【例9】设/（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=l对称，对任意和与e0,1

都有/（X|+X2）=/（X）/（X2）,且/（1)=67>0

⑴求一出及叱

（2）证明：/（X）是周期函数;

（3）记a“=/（2〃+用，求明

讲解（1）因为再,工2W0,—，都有了(再+X?)=/(X)/G2),

所以/(x)=/目./(I•)0,xe[0,1]

2

/(l)=a>0,=/(q)="，

(2)证明：依题意，y=/(x)关于直线x=l对称，故/(x)=/(l+l-x),即

/(x)=/(2-x),xsR,

又由/(x)是偶偶函数知/(-x)=/(x)xeR,

/(-x)=/(2-x),xwR

将上式中的-x以x代换，得

/(x)=/(x+2),xeR

这表明/(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

(3)由(1)知/(x)20,xe[0,l]

因为/(x)的一个周期是2,=/(《)，因此叫”?

评注本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极服等

基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件

/(x,+x2)=/(x,)./(x2)找到问题的突破口.技巧与方法主要体现在由

【例10)】设函数y=/(》),(X£R),当X>0时，/(x)>1,且对任意实数项、工2满足

/(项+工2)=/(项),/(、2)，当X户工2时,/($)工/(/).

(1)求/(0)的值；

(2)求证：y=/(x)在R上为单调递增函数;

(3)判断y=/(x)的奇偶性；

再+工2

(4)当再4当时,试比较万|/U)+/(x2)］与的大小.

2

讲解(1)令X[=必=x,则/(2x)=[/(X)]2>0,令6=X、=0,

则有/(0)=/(0)-/(0),得到/(0)=0或1.

若/(0)=0,则有/(l)=/(o)./(l),

所以『(1)=0,与已知矛盾,即/(0)=1

(2)由(1)得/(0)=1,令X]=—x,x?=x(x>0),

K'Jf(-x+x)=/(-x)-/(x)=1,故/(-x)=~^,

/(x)

=f(xi)•/(-xi)=AX2-XI)'又$<“得"-占>0

因为当X>0时:所以/七71)〉1，从而有%>1

故/卜)>/卜)，即/(X)是增函数

(3)/(x)是非奇非偶函数./(O)=l,/(x)不是奇函数;

若/(')是偶函数，即有/(T)=/(X),/(O)=/(4/(-x)=[/(x)]2=l

/(x)=l或一1(舍去)，这与“当x>00时，/'(x)>l"”相矛盾.

22

⑷/($)=/项,同理，加)=/e+/=/R

22)2

2

gk(Xl)+/(工2)]=；</佟xX]+x

2»，而/2

222

2

工2>>£,故前者大于后者

2

评注由题目条件“函数y=/(x)(xeR),当x〉0时，/(x)>1,且对任意实数国,马

满足了(2+x2)=/(x1)+/(x2)",可试着把函数歹=/(x)归为指数函数/(1)=优(。>1)，

从而利用其性质来指导我们对问题的解决，特别是对/(0)=0的排除。

【例11]已知函数/(x)对于任意x,ye火都有/(x+y)=/(x)+/3),且当x>0

时，有/(0)<0.

(1)判断/(x)的奇偶性与单调性，并证明你的结论；

(2)设不等式：(；+；<2人对于一切XG[-1,1)恒成立，求整数上的最小值。

讲解(1)令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0),解得/(0)=0。

令歹=—X,得/(0)=/(_幻+/(%)=/(f)=/(0),所以，/(X)是奇函数

设司>》2，则须一X2>0，由条件得/(X]-彳2)<0,

因此，/(xJ+/(—W)<0,即/(%)<—/(—4)=/*2)

所以，/(X)在(-00,+8)上为减函数

(2)由xe[—1,1),得x-l<0,因此，/(x-l)>0,所以有/(/+1)<2歹'(》一1)。

①当左eZ+时，由数学归纳法可证得2y(x)=/(2Ax)

(*)

②当左=0时.，(*)式显然成立；当上<0时，由奇函数性质可证明(*)式也成立。

所以，有/(》2+1)</(2丘—2左)，

由单调性得x2-2kx+l+2k>0,对于xe[-1,1)恒成立。

2

解法一由左>上x~^+恒1成立，

2x-2

2lrii

令♦=3二6=_-(l-x)+-+l,l-xe(0,2]»

由基本不等式可得V41—0,因此人>丁111ax=1-施，又由左GZ,得上min=0。

解法二设g(X)=F-2米+1+2左=(X—左>—左2+2左+1>0,g(X)对于X€[—1,1)恒

成立。

①k<-l,g(X)mm=g(-1)=4左+2>0,此时左无解。

②一1<左W1,g(X)mM=g(左)=一左2+24+1>0=>1—。

③若左>1,g(x)>g(l)=2>0。

综上可得：k>l-近,又kwZ,所以左min=0

解法三由已知易得正卫<0,令x=-l,得必生=一1,因此，2左〉一1,即

/U-1)/(—2)

k>—；,又由于左可以取到0,所以上min=0。

评注利用函数的单调性化抽象为具体是解决抽象函数问题的常用技巧，本例由单调性

将原问题转化为二次不等式炉-2区+1+2左>0对于xe[-1,1)恒成立问题。解法一是运用

分离参数求最值，解法二是构造函数分类讨论，解法三则从特殊化的角度入手，巧妙获得最

小值。

好题新题精选(五)

1.已知二次函数/(x)=a/+bx+l(a,be&M>0),设方程/(x)=x的两个实数根为

须，々.

(1)如果须<2<工2<4,设函数/(x)的对称轴为x=求证：x0>-1；

(2)如果<2,卜2-石|=2,求6的取值范围.

"X

2.设/(%)=-用表示不超过实数加的最大整数，求函数

1+优

/*)-5+/(-X)--的值域。

3.己知函数/(x)=~^,xe[0,l]

(1)求/(X)值域；

(2)设a»l,函数g(x)=x)-3q2x_2a,xe[0,1],若对于任意$e[0,l],总存在

xoe[O,l],使得g(x0)=/(X1)成立，求a的取值范围。

4.定义在义上的函数f(x)满足:对任意实数加,”，总有/(〃?+〃)=/(m)+/(〃)，且

当x>0时，0</(x)<l.

(1)试求/(0)的值；

(2)判断/(x)的单调性并证明你的结论；

(3)设A=•[(%,|/(x2)-/(/)>1｝,5=<[(x,j；)|/(ax-y+42)=1,ae,若

Zc3=0，试确定a的取值范围。

5.函数/(x)满足：/(x+y)+l=/(x)+/(y)，/(g)=0,且X〉；时，/(x)<0

(1)设%=/(«)(»GZ+),求数列｛q,｝的通项；

(2)证明：当xe击母(〃eZ+)时，/(%)<1-^

(3)判断/(x)的单调性并证明。

好题新题精选(五)解答

1.设g(x)=/(x)-X=Q]2+3-l)x+l,则g(x)=0的两根为玉,工2，

g⑵<04。+2力一1<0

(1)由。>0及王<2<%2<4，可得v即4,即

04)>016。+46—3>0

…b3八

2a4a

人、b3八

-4-2+——<0

2a4a

两式相加得-生<1,所以，/>-1;

2a

(2)由(々一苞)2=(3)2一3,可得2a+l=J(b-1)2+1.又二西=.>0,所

aaa

以Xi，/同号。

0<x,<2<x[x<-2<x<0

归|<2,民一再|=2等价于1,~—2—或(2,-------

1'1'112a+l=J(b-l)2+l[2a+l=y/(b-l)2

g⑵<0g(-2)<0

17

W-g(0)>0或(g(0)〉0解之得6〈上或

44

2a+l=|2a+[=J(b-1)2+]

2.设g(x)=/(x)—；，

g(T)=/(-x)-呆高71_11(1+/)—a'1_1ax

=_g(x)

2~1+ax2~-T+a;2~2\+ax

所以+x)-;=[g(x)]+[—g(x)]

因为优〉0,所以0<言七<1,则一；<g(x)=/(x)_:<；

当_；<g(x)<o时，[g(x)]+[-g(x)]=0+(-1)=-1

所以f(x)--+/(—x)—；的值域为{-1,0}

3.(l)f(x)的值域为[-,4一3]

(2)g(x)=3(x2_白~),因此,当xe(0,1)时，g(x)<3(1-a-)W0,因此当

xe(0,l)时，g(M为减函数，从而当xe[0,l]时，有g(x)e[g⑴,g(0)]；又

g(l)=l-2a-3/,g(0)=-2a即当xw[0,l]时有g(x)e[l-2a-3a2,-2a],任给

玉引。1],/(x,)e[-4,-3],存在与«0,1]使得g(xo)=/a),则

l-2a—3a2<-4

[-4,-3]<Z[1-2q-3。-,-2a]即⑴

-2a>-3⑵

53

或-大，解(2)式得又a»l,故&的取值范围为I"。4]。

解⑴式3找1。

4.(1)在/'(〃?+〃)=/(“)•/(〃)上，令加=1,〃=0,得/(1)=/(1)•/(())

因为/(l)w0,所以，/(0)wl。

(2)要判断/")的单调性，可任取事,々€&,且设芭＜々

在已知条件/(用+〃)=/'(〃?)•/'(〃)上，若取加+〃=X2，加=%，则已知条件可化为：

/(X2)=/(%1)-/(X2-X))o由于马一玉〉。，所以I〉/6-再)>。.

要比较/(%)，/($)的大小，只需考虑/(3)的正负即可.

在/(加+〃)=/(加)•/(〃)上，令tn=x,n=-x,则得/'(X)♦/(一x)=l.

当x〉0时，0</(x)<10,当x<0时，/,(%)=----->1>0v/(0)=1

/(-X)，乂'

所以，综上可知，对于任意再€火，均有/(国)>0。

所以/(%)-/(占)=/(否)•[/(%—否)—1]<0。所以，函数f(x)在R上单调递减。

(3)首先利用f(x)的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含/的式子

/U2)-/(/)>/(1)，即彳2+/<i,/(qx_y+0)=]=/(0),即以_、+血=0。

由4c8=0,得直线ax—y+J5=0与圆面一+/<1无公共点

所以一尸91,解得一

J-+1

5.(1)由/(x+y)+l=/(x)+/(y),令彳=丁=0,可解得/(0)=1,又/(；)=0,

因此/⑴=/(；+；)=/(；)+/(；)-1=-1.令x=〃(〃eZ+),_y=l,

则/(»+1)=/(M)+/(1)-1=/(«)-2，所以，

at=-l,a„+1-an=/(«+1)-/(«)=-2,故｛%｝是首项％=-1,公差d=-2的等差数

列，an=1-2«<,

(2)以下用数学归纳法给出证明

①当〃=1时,xe贝U2xe-,1,所以/(2x)K0,又/(2x)+1V2/(x),

_42」，|_2

所以/(X)=g+；，

/(2x)<|=l-1,故当〃=1时命题成立。

②假设当〃=左时命题成立，即当xe或，J(左eZ+)时，/(x)4l—

则当〃=左+1时，xe圭，击，2xe击，?，

则/(x)=；+；,/(2x)<；+；_9=1—白，故当〃=左+1时命题成立，

综上①②所述，当“eZ.时，/(X)<1--^

(3)/(%)在R上单调递减，证明如下：设/，々€及且玉</，则

/*2)一/(芯)=/(》2一玉)一1当々一X|>；时，/(々一事)<0，所以f(x2)-f(xi)<0.

当0<吃—/时，由(2)知当xe2”+1时，/(x)<1—5^<1>

当