湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“∀x∈R，2A．∀x∈R，2−xC．∀x∉R，2−x2．已知z=1−i，则在复平面内，复数A．实轴上 B．虚轴上C．直线y=x上 D．直线3．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计：m+n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x=A．74 B．76 C．78 D．804．已知OA=OB=1，OC=2，OA+A．240° B．225° C．135° D．90°5．已知函数fx为R上的奇函数，若函数y=gx+2与y=A．1 B．0 C．−1 D．6．若函数fx=sinωxω>A．0,12∪32,537．已知集合M=x,y|x−12+yA．3102 B．102 C．38．已知函数fx=xlnx2+A．1,+∞ B．2,+∞二、多选题9．已知数列an的通项公式为an=A．aB．an中的最小项为C．从第三项起，anD．数列an10．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O是BA．AO=AC．AO⊥平面A1BC D．11．已知曲线C:x2+y2+42=16x2A．曲线C关于原点O对称B．曲线C上所有的点都在椭圆x2C．曲线C在由直线x=±2D．存在点M，使得∠F三、填空题12．某同学收集了第一届全国学生（青年）运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为.（用数字作答）13．已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，过点F且不与x轴垂直的直线与E交于A,B两点，过AB的中点M作14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h.若a=4，h=32，则b四、解答题15．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图：(1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数m；(2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级：体重增加量x/gx10x等级较轻中等较重假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率.16．已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，S(1)证明：数列Sn(2)设bn=−1n⋅S17．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b(1)求C的标准方程；(2)过点D−1,2的直线与C交于P，Q两点，直线A1P，A1Q分别与18．已知函数fx(1)当x≥0时，若不等式fx(2)若fx有两个零点x1，x2（i）求a的取值范围；（ii）证明：3e19．已知四面体AB(1)若该四面体为正四面体，球O与其四个面都相切，证明：该四面体与球O的体积之比等于它们的表面积之比；(2)设点G是满足GA+GB+GC+GD=0，过点G的平面Ω分别与直线AB，AC，AD(3)若空间内一点H满足aHA+bHB+cHC+答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DCDCBDABABDBC题号11答案AC1．D【分析】根据含有一个量词命题的否定的原则，即可得答案.【详解】含有一个量词的命题的否定的做法为“换量词，否结论”，所以“∀x∈R，2−x故选：D.2．C【分析】利用复数的乘、除法运算化简，由几何意义可得复数所对应的点的坐标，从而判断其位置.【详解】因为z=1所以复数zi+2z所对应的点坐标为故选：C.3．D【分析】根据分层随机抽样的特点求出m与n的关系，再利用平均数的计算公式列出关于x的方程，进而求解x的值.【详解】由题意，得mn=600200,故选：D.4．C【分析】利用向量的平方等于模的平方来求解夹角即可.【详解】由OA+因为OA=OB=即cosO因为OA,O故选：C.5．B【分析】根据函数fx为R上的奇函数，可得f0=0，又由函数y=gx+2【详解】根据题意，函数fx为R所以f−x=−f函数y=gx+2则fx+g所以g4故选：B6．D【分析】由题设y=sint【详解】由x∈π,2π所以y=sint若0<ωπ若3π2+2kπ≤所以32综上，ω∈故选：D7．A【分析】先求出曲线C，再应用三角换元，结合点到直线距离公式及三角函数值域得出最大距离.【详解】因为M=x,y|设曲线C上的点Px1,所以x=x1+1所以设x1所以曲线C上的点P到直线y=d=因为cosθ+φ当且仅当cosθ-φ=1，即θ=φ时取等号，故选：A.8．B【分析】根据解析式得到f(2−x)【详解】若x>1，则2−x<所以f(x)当x≥1，有y=所以f(x)在(对于f5−a<f所以(4故选：B9．ABD【分析】根据an【详解】an对于A，a1=a对于B，当n=4时，an对于C，由上计算得a3=a对于D，由an显然(a所以an故选：ABD.10．BC【分析】对A，利用向量的线性运算求解；对B，由AO=12AB+12AA【详解】设AB=a，A对于A，A=A对于B，因为AO所以A=1则AO对于C，因为AO所以AO⊥A1B，同理，可得AO⊥所以AO⊥平面对于D，因为AO由选项C知，AO⊥平面A1BC所以点B1到平面A1B故选：BC.11．AC【分析】曲线上任意点(x,y)关于原点对称的点为(−x,−y)，代入曲线验证判断A；曲线化为y24=1−【详解】对于C:x2+y所以[(−x所以(−x,曲线可化为y2所以2≤x2+4所以曲线C在由直线x=±2又x212+所以(x所以(x2+所以曲线C上所有的点都在椭圆x2显然M(0,2)结合B结论，易知∠F故选：AC12．20【分析】按照特殊元素优先考虑的原则，先排“壮壮”、“美美”和“宸宸”、“莲莲”，再与“琮琮”进行排列即可.【详解】先将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，有A2再贴“琮琮”，有C5由分步乘法计数原理可得，不同的贴法种数为A2故答案为：20.13．4【分析】根据题意作示意图，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点M的坐标，从而求得点N【详解】如图，由题意可知，直线AB因为抛物线E:y2=4x的焦点为联立方程x=my设Ax1,设MxM,yM由抛物线的定义可知，NAB所以AB故答案为：4.14．64【分析】若a=4,h=32，根据三角形面积公式可得bcsin【详解】若a=4,所以bcsinA=6所以bc若h=36a，由余弦定理得23整理得b2∴b2+c2故答案为：6，4.15．(1)24(2)0【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率计算求解；（2）应用独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解.【详解】（1）因为25,30的频率为0.15，且所以m在[20,25)内，所以（2）对照组较轻的概率为0.15，中等的概率为0.实验组较轻的概率为0.2，中等的概率为0.设抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级为事件A，则PA所以抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为0.16．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列；（2）先写出等差数列的通项公式，再应用bn的分组求和得出T【详解】（1）因为Sn+1是1−S所以Sn因为数列an的各项均为正数，所以S所以Sn=S所以数列Sn是公差为1，首项为S（2）因为数列Sn是公差为1，首项为S所以Sn所以Sn=n2，当当n≥2时，所以an所以bnT======17．(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出方程，求解即可；（2）设直线PQ:y=k(x+1)+2，P(【详解】（1）由题可得4a2+所以C的方程为x2（2）设直线PQ:y=k(x+联立y=k(韦达定理得x1kA1P令x=0，得yMyM代入得y=2所以B10,−2为M18．(1)a(2)（i）a>【分析】（1）整理不等式并构造函数，利用导数分情况研究函数单调性，可得答案；（2）（i）利用导数分情况研究函数单调性，求得其最值，结合零点存在性定理，可得答案；（ii）明确零点的取值范围，分析整理不等式，利用函数的单调性，构造不等式与函数，利用导数求新函数的最值，可得答案.【详解】（1）设px则p′x=ex所以p′x在0,①当1−a≥0，即a≤1时，p′②当1−a<0，即a>1时，p′0<0，则一定存在x0综上所述，a的取值范围为−∞（2）（i）由题意知，fx的定义域为R当a≤0时，f′x>从而fx在R上至多有一个零点．7分当a>0时，令f当x<lna时，f当x>lna时，f所以x=lna即f(x)min=所以当0<a<1时，当a>1时，g′所以a=1是ga即g(a)一方面，由（1）可知，取a=1，当x≥0时，即x≥ln1+x所以当x>0时，x−1≥lnx因为f−3a=e−3另一方面，由（1）知，ex又lna所以f=5所以fx在区间lna,综上所述，a的取值范围是0,（ii）证明：由fx1=所以ex2−要证3ex1即证3ex1+ex2即证tet+设ht=e所以ht在区间0,+∞上单调递增，所以所以不等式3e19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据正四面体的性质，结合勾股定理可得AF（2）根据向量的线性运算，结合共面的结论可得xλ1=（3）先证明a+b+c+【详解】（1）设正四面体AB