2025届福建省福州恒一高级中学等学校高三第二次学情检测数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届福建省福州恒一高级中学等学校高三第二次学情检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数在复平面内对应的点为是的共轭复数，则（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．已知数列的前n项和满足,则（

）A．272 B．152 C．68 D．385．已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（

）A． B． C． D．6．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（

）A． B．1 C．2 D．37．已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（

）A．2 B．3 C． D．8．已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（

）A．直线的倾斜角为 B．的方程为C． D．在点处的切线方程为10．已知向量，则（

）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为11．已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（

）A．存在点P，使得；B．存在唯一点P，使得；C．当，此时点P的轨迹长度为；D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为三、填空题12．已知=，则的值是.13．从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有种．14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为.四、解答题15．已知数列的前项和为(1)求数列的通项公式(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.设，求；16．一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2.(1)记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望；(2)规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率．17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点.(1)证明：；(2)若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.18．已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有两个零点，求的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求的方程；(2)过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点．①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值；②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025届福建省福州恒一高级中学等学校高三第二次学情检测数学试题》参考答案题号12345678910答案CABBBCDAACDBCD题号11答案ABD1．C【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算．【详解】由题意，又，∴，故选：C．2．A【分析】由复数的几何意义得出，然后得出共轭复数，再由复数除法法则计算．【详解】由题意，则，，故选：A．3．B【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的单调性，即可比较的大小.【详解】，，所以，，故.故选;B.【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.4．B【分析】借助数列前n项和性质计算即可得.【详解】，则.故选：B.5．B【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得.【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为，依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为，因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得，则圆锥的高为，圆柱的体积，圆锥的体积，所以.故选：B.6．C【分析】由得，可求的范围；再由的图象关于点中心对称得b的值及，结合的范围可求的值，从而可求.【详解】由题意得，所以.因为的图象关于点中心对称，所以，所以，由，得，所以，所以.故选：C.7．D【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角，进而利用正弦定理得解.【详解】由于三角形的内角和为，即：,已知，所以：，代入到中，得到：，展开并化简：,即，整理得到：，即，根据正弦定理：,即.故选：D.8．A【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围.【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、，由切线长定理可得，，，又，，则，即，解得，由，即，得，所以．故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．ACD【分析】根据给定条件，求出点的坐标，结合抛物线方程及导数的几何意义逐项判断即可.【详解】由点在抛物线上，得，，对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确；对于B，抛物线的准线方程为，B错误；对于C，为焦点，则，C正确；对于D，由，求导得，则在点处的切线斜率为，切线方程为，即，D正确.故选：ACD10．BCD【分析】由平行向量的坐标表示可判断A；由投影向量的计算公式可判断B，C；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D.【详解】对于A，若，则，则，所以A错误；对于B，在方向上的投影向量为，故B正确；对于C，，所以在方向上投影向量的模为：，当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确；对于D，向量，所以，则，故D正确.故选：BCD.11．ABD【分析】建立空间直角坐标系，设P点坐标为，利用空间向量逐一求解即可.【详解】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，，设P点坐标为，，，为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为，，故A选项正确；由可得，故B选项正确；时，即，而，，得到，点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为，故C选项错误；当P为底面EFGH的中心时，由B选项知，显然，，三棱锥的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为，，故D选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求解立体几何有关轨迹，夹角，距离有关问题是非常有效的方法，能减少思维量.12．【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．96【分析】由题意，根据是否入选进行分类，分为若入选和不入选，再对剩下的人进行安排，用到分类加法和分步乘法计数原理.【详解】由题意可知，根据是否入选进行分类，若入选，则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位，有3种，再给剩下三个岗位安排人，有（种），共有种（种）方法；若不入选，则4个人4个岗位全排，有(种)方法.所以共有(种)不同的安排方法.故答案为：96.14．/【分析】先化简，再同构设函数，再结合函数的单调性得出所以，进而得出，根据单调性即可得出最大值.【详解】由，得，即，所以，，令，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再结结合函数单调性解题.15．(1)(2)【分析】（1）由的关系，作差即可求解；（2）由题意得到，再结合错位相减法求解即可；【详解】（1）解：当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，，又，满足，所以，数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故.（2）解：①由题意可得，则，所以，，则，上述两个等式作差得，因此，；16．(1)分布列见解析，0.4；(2)．【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（2）根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】（1）X的可能值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：01230.6480.3060.0440.002期望．（2）记事件为“车间停工”，事件为型机床发生故障”，，，因此，所以某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率为．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理证明垂直，再利用题干得，即可得到平面PBD，即可得到结论.（2）建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱锥的体积.【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点，因为且，所以四边形CDBE为平行四边形，所以BD与CE的交点即为CE中点M.由已知可得，，，，由余弦定理得,所以三角形为直角三角形，所以，又，，所以,且,所以平面PBD，又平面PBD，所以.（2）由（1）知，平面PDM，如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，平面PDM的一个法向量为，设直线AN与平面PDM所成角为，则，化简得.由，可得，求得，.故.18．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程；（2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性；（3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况.【详解】（1）当时，函数，，则，则，所以在处的切线方程为.（2）由题意知，的定义域为，，显然恒成立，①若，则，此时在上单调递减；②若，令，解得.当时，，当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）若，由（2）知，至多有一个零点；若，由（2）知，当时，取得最小值为.设，则，故在上单调递增，又.（i）当时，，故此时没有两个零点；（ii）当时，，又，故在上有一个零点；当，由可得即，得，则，故，即，又易知则，即因此在上也有一个零点.综上，若有两个零点，实数的取值范围为.19．(1)(2)①证明见解析，定值；②【分析】（1）根据椭圆中相关量的几何性质列出关于求解即可；（2）（ⅰ）从直线与轴重合这一特殊入手，此时求得．当直线与轴不重合时，设直线方程为，通过几何对称性和椭圆的性质，计算求得，，通过面积公式计算即可证得结论;（ⅱ）由