黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(1,−2)A．1+2i B．1−2i2．已知命题p:∃x≥0A．p和q均为真命题 B．p和¬qC．¬p和q均为真命题 D．¬p和3．在△ABC中AB=2AC,∠BACA．3a−2b B．−2a4．甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（

）A．甲：中位数为9，众数为11 B．乙：中位数为9，极差为3C．丙：平均数为8，极差为4 D．丁：平均数为8，方差为35．已知函数fx=12xA．−∞,0 B．−1,06．高相同的圆柱与圆台的体积分别为V1，V2，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则V1与VA．V1>V2 B．V17．如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面α与两个小球也相切，平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（

）A．13 B．12 C．348．已知函数fx=xx−1，gx=alnxA．1,e1e B．1,e二、多选题9．已知函数fx=sinx，A．函数y=fB．函数y=fxC．函数y=fD．函数y=fx10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2=4x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m,1)m>1A．xB．延长AO交直线x=−1于点C．|D．若PB平分∠A11．已知函数fx=2A．当a=2时，fx在B．当a>0时，fxC．若fx在0,D．当a<0时，若函数F三、填空题12．已知tanα2=213．已知数列an中，1an+1−1=anan14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=6，则四、解答题15．数列an是公比为12的等比数列，且1−a2(1)求数列an(2)设数列−8log2an的前n16．现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球.(1)从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记X表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求X的分布列和数学期望；(2)先从甲箱内抽取一个小球放入乙箱内，再从乙箱内抽取一个小球，求这个小球内放有A类题目的概率.17．如图，点C在以AB为直径的半圆的圆周上，∠ABC=60(1)求证：AC(2)当λ为何值时，平面ACP与平面AB18．已知函数fx的定义域为D，若∃x0∈D，使得fx0=f(1)证明：mx(2)∀x,y（ⅰ）若y=gx（ⅱ）若g3=019．已知直线l:x=my(1)当n=(2)若直线l与圆O相切，证明：l与C的上下两支各有一个公共点；(3)设直线l与x轴交于点T，且与圆O交于点M,N，与C的上下两支交于点P,Q，从上到下依次为P,M,N,答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBBBCADDBCBCD题号11答案ACD1．D【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.【详解】由题意可得z=1−故选：D.2．B【分析】代入具体数值可判断命题p和q的真假，即可得到¬p和¬【详解】因为当x=0时，x=−x当x=1时，x2−1故选：B.3．B【分析】根据正弦定理得到BD【详解】由题意，AB=2AC根据正弦定理知ABsin∠结合∠BAD①②得ABA则AD即AB=−故选：B.4．B【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对5个数据进行举例假设分析，即可得到判断.【详解】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11，则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A；对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差，由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B；对于C，平均数为8，极差为4，由于5个数都是整数，根据条件可知，这5个数中肯定最大数与最小数的差为4，则可知最大数肯定大于8，最小数肯定小于8，故最小数加4得最大数肯定小于12，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C；对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得s2若存在数12，则s=1故选：B.5．C【分析】作出函数y=fx与y【详解】作出函数y=fx当x≥1时，12x≤由图象可知，此时解得x∈当−1<x<1时，log它们的交点坐标为0,0，1,所以不等式fx≤1故选：C.6．A【分析】利用圆台体积公式，结合等差中项，可通过基本不等式转化到圆柱的体积即可得到判断.【详解】设圆台的上、下底面积分别为S1，S2，圆柱的底面积为S，高为根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，∴S=1∴V故选：A.7．D【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出O1O2,O1F1,【详解】设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆Γ，如图，作出圆柱过椭圆Γ的长轴的截面图，设长轴A，B与两圆的切点是F1,F2．连接O1过C作CD⊥O1O2，且则O1F1因为圆柱的高为16，球的半径是3，所以圆柱的底面半径为3，O1根据对称性可知C是O1O2，AB的中点，故CO1=5，则C由题意得椭圆的短半轴长b=3，所以半焦距长c=故选：D．8．D【分析】将已知不等式变形为xx>axlnx，可得出exlnx>axlnx，令【详解】由题意可知，对任意的x>0，fx>g因为lnxx=xln令t=xlnx，其中由t′<0可得0<x<1由题意可得et当t=0时，显然该不等式成立，此时，当t>0时，则a<ett，令由h′t<0可得0<所以，函数ht在0,1所以，a<当−1e≤t<0时，则a>所以，函数ht在−1e综上所述，−e1−1e故选：D.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）∀x∈D（2）∀x∈D（3）∃x∈D（4）∃x∈D9．BC【分析】利用二倍角公式求y=fxgx的解析式，再求其周期即可判断A的真假；根据同角三角函数基本关系求y【详解】对于A，y=fx对于B，y=fx对于C，y=由x−π4=k对于D，y=由−π2≤x+π4又−π4,π4故选：BC.10．BCD【分析】根据题设和抛物线的性质得到点F1,0，Ax1,1，将点Ax1,1代入抛物线C的方程得到x1，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和抛物线C得到点B的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线OA和直线x=−【详解】由题意可得抛物线焦点F1,0将Ax1,1代入C:y2=4则直线AB方程为y−0联立y2=4xy=−将B4,y2代入C:y2所以AB由已知可得BQ//x轴，且B4又A14,1，所以直线令x=−1解得y=−4，即所以D,设直线PB的倾斜角为θ（θ∈0,π2），斜率为若PB平分∠ABQ，即所以tanα=tan2θ=2又k0=1故选：BCD11．ACD【分析】对于A，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断A；对于B，利用导数研究函数的单调性判断B；对于C，将问题化为在0,+∞上2a≤−2【详解】对于A，由题设f′则f′1=所以fx在x=1切线与x轴的交点坐标为45,0，与y所以fx在x=1对于B，由题设f′x=当x→0时，f′x趋向于负无穷，当所以存在x0∈0所以当0<x<x0时，f对于C，因为函数fx在0则在0,+∞上f令gx=−易知0<x<e12时，所以gx在0,e所以gx所以2a≤−对于D，函数Fx即2xlnx令gx=−2ln令hx=2lnx则存在x0∈5易知0<x<x0时，h则gx在0,x则gx当a<0时，当x→0时，gx所以a=−2lnx故D正确.故选：ACD.12．45【分析】根据二倍角公式和同角的三角函数的关系即可求出.【详解】因为tanα所以sinα故答案为：4513．1【分析】由1an+1−【详解】由1an+∴1an∴1∴a∴bn=∴S故答案为：114．34/0.75【分析】第一空：由正弦定理求得sin∠ACB=34【详解】设外接圆半径为R，则R=由正弦定理，可知AB即sin∠ACB=又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥B所以cos∠设∠C则∠P由于AC:A由余弦定理知cosθ设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于∠E故∠E则得∠A所以PC同理可得PB所以PA故答案为：34；23【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.15．(1)a(2)证明见解析【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解.（2）利用裂项相消求和求解即可.【详解】（1）依题可得：1−即：1−解得a1所以an（2）证明：设bn则Sn所以1S116．(1)分布列见解析，37(2)7【分析】（1）求出甲、乙箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率和小球内没有B类题目的概率，分析知，X的可能取值为0,1,2，求出随机变量（2）设事件D=“从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有A类题目”，设事件A,B,C分别是从甲箱中取出A【详解】（1）从甲箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为512小球内没有B类题目的概率为1−从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为15小球内没有B类题目的概率为1−X的可能取值为0,则PXPXPX所以X的分布列为X012P791EX（2）设事件D=“从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有A设事件A,B,C分别是从甲箱中取出A类题目的小球，则P=417．(1)证明见解析；(2)λ=13【分析】（1）由线面垂直的性质有BP⊥A（2）若O为AB的中点，即为半圆的圆心，作Oz⊥面ABC，在面A【详解】（1）由BP⊥平面ABC，AC又点C在以AB为直径的半圆的圆周上，则B由BP∩BC=B且都在面由BD⊂面PB（2）若O为AB的中点，即为半圆的圆心，作Oz⊥面ABC由∠ABC=60故可构建如下图示的空间直角坐标系O−xy由CD=λCP所以AD=(3−若m=(x,y,z则m⋅AD=(n⋅AD=(所以|cos整理得|2λ−14λ218．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）根据定义令m−x=（2）（ⅰ）根据hx+2hy+gx−gy=32x+y【详解】（1）由m−x=m解得x=0，所以所以mx（2）令y=x，有3代回原式，有gx所以gx=−（ⅰ）y=若y=gx所以c所以函数y=判别式Δ=4c不妨设x1<x2，所以函数y=xg所以函数y=（ⅱ）若g3=0，则c欲证3gx令Fx令F′x=0，得x=2，所以所以Fx≤F当且仅当x=即3g【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤:（1）作差或变形；（2）构造新的函数hx（3）利用导数研究hx（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19．(1)10(2)证明见解