初中数学九年级-7.1-正切-教学设计-教案

初中数学九年级-7.1-正切-教学设计-教案一、教学目标1.知识与技能目标理解正切的概念，能说出直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比就是这个锐角的正切。会在直角三角形中求出一个锐角的正切值，能根据正切值求直角三角形的边长。2.过程与方法目标通过观察、分析、比较，经历探索直角三角形中一个锐角的正切的过程，培养学生的逻辑推理能力。在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标引导学生积极参与数学活动，培养学生勇于探索的精神。通过合作交流，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点正切概念的理解。能熟练运用正切的定义求直角三角形中锐角的正切值及相关边长。2.教学难点理解正切是一个比值，与直角三角形边的长短无关，只与锐角的大小有关。能根据正切值建立方程解决实际问题。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.展示一些含有直角三角形的建筑图片（如埃菲尔铁塔的一部分结构、桥梁的支撑结构等），让学生观察并思考：在这些直角三角形中，除了直角外，其他两个锐角的大小与三角形的边有什么关系呢？2.提出问题：在一个直角三角形中，如果已知一个锐角的大小，能否确定这个三角形三条边的比例关系呢？引出本节课要研究的内容正切。（二）探究新知（20分钟）1.创设情境呈现一个直角三角形ABC，∠C=90°，∠A=30°，让学生测量三条边的长度。设BC=a，AC=b，AB=c，计算\(\frac{a}{b}\)的值。再呈现另一个直角三角形DEF，∠F=90°，∠D=30°，设DE=m，EF=n，DF=p，让学生计算\(\frac{n}{m}\)的值。2.引导思考提问：通过计算，你发现这两个30°角的直角三角形中，对应边的比值\(\frac{a}{b}\)与\(\frac{n}{m}\)有什么关系？学生交流讨论后回答：它们是相等的。再改变∠A的度数为45°，重复上述测量和计算过程，观察\(\frac{a}{b}\)的值是否会发生变化。3.归纳总结引导学生得出：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比都是一个固定值。给出正切的定义：在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切，记作tanα。即\(\tan\alpha=\frac{\text{角}\alpha\text{的对边}}{\text{角}\alpha\text{的邻边}}\)。强调：正切是一个比值，它只与角的大小有关，与三角形的边长无关。（三）例题讲解（15分钟）例1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求tanA和tanB的值。解：1.对于∠A，它的对边是BC=4，邻边是AC=3，根据正切的定义可得：\(\tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}\)2.对于∠B，它的对边是AC=3，邻边是BC=4，所以：\(\tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}\)总结：通过本题，让学生进一步理解正切的定义，明确在直角三角形中如何根据边的长度求正切值，以及不同锐角的正切值是相互倒数的关系。例2：已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，\(\tanA=\frac{3}{4}\)，BC=6，求AC的长。解：1.因为\(\tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}\)，且BC=6，设AC=x。2.则可列出方程：\(\frac{6}{x}=\frac{3}{4}\)3.交叉相乘得：3x=244.解得：x=8所以AC的长为8。总结：本题通过已知正切值和一条边的长度，利用正切的定义建立方程来求解另一条边的长度，让学生体会正切在解决实际问题中的应用。（四）课堂练习（15分钟）1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则\(\tanA=\)______，\(\tanB=\)______。2.已知直角三角形中一个锐角的正切值为\(\frac{5}{12}\)，如果这个锐角的对边是10，那么它的邻边是______。3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，\(\tanA=\frac{2}{3}\)，BC=4，求AB的长。4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AC=3，BC=4，求\(\tan\angleACD\)的值。（学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，然后请学生上台讲解解题过程，教师进行点评和总结。）（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，提问：什么是正切？如何在直角三角形中求一个锐角的正切值？已知正切值如何求直角三角形的边长？2.请学生发言，教师补充完善，总结本节课的重点知识和学习方法，强调正切概念的重要性以及在解决直角三角形相关问题中的应用。（六）布置作业（5分钟）1.书面作业课本P33练习7.1第1、2、3题。已知直角三角形ABC中，∠C=90°，\(\tanA=\frac{1}{2}\)，AB=5，求AC和BC的长。2.拓展作业如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知BD=4，CD=5，\(\tanB=\frac{3}{4}\)，求\(\tanC\)的值。思考：在生活中还有哪些地方可以用到正切的知识？请举例说明，并尝试用正切的知识解决相关问题。五、教学资源1.教材：初中数学苏科版九年级上册。2.多媒体课件：包含直角三角形图片、例题讲解动画等，辅助教学过程，可通过网络搜索免费下载相关资源进行制作，如在学科网、菁优网等平台上有许多优质的数学教学课件素材可供参考和选用。3.三角板：用于课堂上学生测量直角三角形的边长，帮助学生直观感受直角三角形边的关系。六、教学反思通过本节课的教学，大部分学生能够理解正切的概念，并能运用正切的定义进行简单的计算。在教学过程中，通过创设情境、引导学生自主探究和合作交流，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的逻辑推理能力和解决问题的能力。然而，在教学过程中也发现了一些问题。部分学生在理解正切是一个与三角形边长无关的比值这一概念时存在困难，需要在今后的教学中通过更多的实例和练习加以巩固。在根据正切值建立方程解决问题时，部分学