二次函数教学设计

二次函数教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），能准确识别二次函数。能根据实际问题列出二次函数关系式，并能确定自变量的取值范围。会用描点法画出二次函数的图象，通过图象理解二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标等。2.过程与方法目标通过从实际问题中抽象出二次函数模型的过程，培养学生的数学建模能力和抽象思维能力。在探究二次函数图象和性质的过程中，让学生经历观察、猜想、操作、验证、分析、归纳等数学活动，体会函数思想和数形结合思想，提高学生的数学探究能力和综合运用知识解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过对实际问题的研究，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。在小组合作探究活动中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点二次函数的概念和一般形式。用描点法画出二次函数的图象，并理解二次函数的性质。2.教学难点对二次函数概念中"\(a\neq0\)"的理解。理解二次函数图象的性质，并能运用其性质解决相关问题。三、教学方法1.讲授法：讲解二次函数的基本概念、性质和相关公式，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，引导学生分析问题、解决问题，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.探究法：让学生通过自主探究、小组合作等方式，探究二次函数的图象和性质，培养学生的探究能力和创新精神。4.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）创设情境，引入新课1.展示以下问题：某工厂一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加\(x\)倍，那么两年后这种产品的产量\(y\)将随计划所定的\(x\)的值而确定，\(y\)与\(x\)之间的关系应怎样表示？某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低\(x\)元时，利润\(y\)与\(x\)之间的关系应怎样表示？2.引导学生分析问题，列出关系式：对于第一个问题，一年后产量为\(20(1+x)\)万件，两年后产量\(y=20(1+x)^2=20x^2+40x+20\)。对于第二个问题，每件商品的利润为\((108x)\)元，销售量为\((100+100x)\)件，则利润\(y=(108x)(100+100x)=100x^2+100x+200\)。3.观察这两个关系式，它们有什么共同特点？学生观察后发现，两个关系式都含有自变量的二次式。4.引出课题：二次函数（二）探究新知1.二次函数的概念引导学生观察刚才得到的两个函数关系式\(y=20x^2+40x+20\)和\(y=100x^2+100x+200\)，以及形如\(y=5x^2\)，\(y=2x^2+3x\)等函数，让学生总结它们的共同特征。学生经过讨论、交流，得出这些函数的一般形式为\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其中\(x\)是自变量，\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数。教师总结二次函数的概念：一般地，形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的函数叫做二次函数。强调\(a\neq0\)这个条件的重要性，如果\(a=0\)，那么函数就变成了一次函数。让学生判断下列函数哪些是二次函数：\(y=3x^2\)\(y=2x1\)\(y=x^2+5x\)\(y=2x^3+3x^2\)\(y=\frac{1}{x^2}\)\(y=(x1)^2x^2\)\(y=3(x1)^2+1\)学生独立完成后，教师进行点评，强化对二次函数概念的理解。2.二次函数的一般形式进一步分析二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）中各项的名称：\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。让学生指出刚才判断的二次函数中各项的系数：对于\(y=3x^2\)，\(a=3\)，\(b=0\)，\(c=0\)。对于\(y=x^2+5x\)，\(a=1\)，\(b=5\)，\(c=0\)。对于\(y=3(x1)^2+1=3(x^22x+1)+1=3x^26x+4\)，\(a=3\)，\(b=6\)，\(c=4\)。3.根据实际问题列二次函数关系式例1：一个小球由静止开始从一个斜坡上滚下，其速度每秒增加\(2m/s\)。求小球速度\(v\)随时间\(t\)变化的函数关系式。求小球速度\(v\)随时间\(t\)变化的函数关系式，并指出自变量\(t\)的取值范围。分析：已知小球速度每秒增加\(2m/s\)，则\(v=2t\)，这是一个一次函数。因为小球由静止开始滚动，所以\(t\geq0\)，同时小球速度会受到实际情况的限制，设斜坡足够长，当小球速度达到一定程度后，速度不再随时间均匀增加，假设小球在斜坡上滚动过程中速度最大为\(v_{max}\)，则\(t\)的取值范围是\(0\leqt\leq\frac{v_{max}}{2}\)。这里假设\(v_{max}\)是一个已知的合理值，比如\(v_{max}=20m/s\)，那么\(t\)的取值范围就是\(0\leqt\leq10\)。解：\(v=2t\)。\(v=2t\)（\(0\leqt\leq10\)）。例2：用总长为\(60m\)的篱笆围成矩形场地，矩形面积\(S\)与矩形一边长\(l\)之间的关系是什么？并指出自变量\(l\)的取值范围。分析：已知矩形一边长为\(l\)，则另一边长为\(\frac{602l}{2}=30l\)。根据矩形面积公式\(S=l\times(30l)=l^2+30l\)。因为矩形的边长不能为负数，且篱笆长度有限，所以\(0\ltl\lt30\)。解：\(S=l^2+30l\)（\(0\ltl\lt30\)）。让学生完成课本上相关的练习题，巩固根据实际问题列二次函数关系式的方法，并确定自变量的取值范围。（三）二次函数的图象与性质1.用描点法画二次函数\(y=ax^2\)的图象以\(y=2x^2\)为例，讲解用描点法画二次函数图象的步骤：列表：取\(x\)的一些值，如\(2\)，\(1.5\)，\(1\)，\(0.5\)，\(0\)，\(0.5\)，\(1\)，\(1.5\)，\(2\)。计算相应的\(y\)值：当\(x=2\)时，\(y=2\times(2)^2=8\)。当\(x=1.5\)时，\(y=2\times(1.5)^2=4.5\)。当\(x=1\)时，\(y=2\times(1)^2=2\)。当\(x=0.5\)时，\(y=2\times(0.5)^2=0.5\)。当\(x=0\)时，\(y=2\times0^2=0\)。当\(x=0.5\)时，\(y=2\times0.5^2=0.5\)。当\(x=1\)时，\(y=2\times1^2=2\)。当\(x=1.5\)时，\(y=2\times1.5^2=4.5\)。当\(x=2\)时，\(y=2\times2^2=8\)。描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的值描出相应的点\((2,8)\)，\((1.5,4.5)\)，\((1,2)\)，\((0.5,0.5)\)，\((0,0)\)，\((0.5,0.5)\)，\((1,2)\)，\((1.5,4.5)\)，\((2,8)\)。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，就得到了二次函数\(y=2x^2\)的图象。让学生用同样的方法画出\(y=2x^2\)的图象，并与\(y=2x^2\)的图象进行比较。2.观察二次函数\(y=ax^2\)的图象，探究其性质引导学生观察\(y=2x^2\)和\(y=2x^2\)的图象，思考以下问题：图象的开口方向有什么特点？图象有最高点还是最低点？如果有，它的坐标是什么？当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大如何变化？当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大如何变化？学生分组讨论后，教师进行总结：对于二次函数\(y=ax^2\)（\(a\neq0\)）：当\(a\gt0\)时，图象开口向上；当\(a\lt0\)时，图象开口向下。顶点坐标是\((0,0)\)，当\(a\gt0\)时，顶点是最低点；当\(a\lt0\)时，顶点是最高点。当\(a\gt0\)时，在对称轴\(x=0\)（即\(y\)轴）左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。3.用描点法画二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象以\(y=2x^24x+1\)为例，讲解画图象的步骤：配方：\(y=2x^24x+1=2(x^22x)+1=2(x^22x+11)+1=2[(x1)^21]+1=2(x1)^22+1=2(x1)^21\)。列表：取\(x\)的一些值，如\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)。计算相应的\(y\)值：当\(x=1\)时，\(y=2\times(11)^21=2\times41=7\)。当\(x=0\)时，\(y=2\times(01)^21=2\times11=1\)。当\(x=1\)时，\(y=2\times(11)^21=1\)。当\(x=2\)时，\(y=2\times(21)^21=2\times11=1\)。当\(x=3\)时，\(y=2\times(31)^21=2\times41=7\)。描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的值描出相应的点\((1,7)\)，\((0,1)\)，\((1,1)\)，\((2,1)\)，\((3,7)\)。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，就得到了二次函数\(y=2x^24x+1\)的图象。让学生用同样的方法画出\(y=x^2+2x+3\)的图象，并与\(y=2x^24x+1\)的图象进行比较。4.观察二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象，探究其性质引导学生观察\(y=2x^24x+1\)和\(y=