《备考指南一轮·数学·》课件-第4章 第1讲

导数及其应用第四章第1讲导数的概念及运算栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1(x0，y0)切线斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2.基本初等函数的导数公式02．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)4．(2020年天津二模)已知函数f(x)＝x(a＋lnx)，且f′(e)＝1，则a等于________．【答案】－1【解析】求导，得f′(x)＝a＋lnx＋1.又f′(e)＝1，所以f′(e)＝a＋1＋1＝1，解得a＝－1.1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(

)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(

)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2导数的运算【规律方法】(1)导数运算的原则先化简解析式，再利用导数的运算法则求导．(2)导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导导数的几何意义【考向分析】导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的考向：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求与切线有关的参数值(或范围)；(4)公切线问题．【规律方法】(1)求切线方程的方法①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．导数几何意义的综合应用【规律方法】解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根．构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可．【跟踪训练】2．过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有(

)A．3条 B．2条C．1条 D．0条【答案】A追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b的值为(

)A．1

B．2C．1－ln2

D．2－ln2【考查角度】导数的几何意义及其应用．【考查目的】考查抽象概括能力，体现数学运算的核心数学素养．【思路导引】分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．【拓展延伸】1．“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(2)利用导数公式求导数时，要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线．同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(

)A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1

D．a＝e－1，b＝－1【答案】D2．(2019年新课标Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．【答案】y＝3x【解析】由y＝3(x2＋x)ex，可得y′＝3[(2x＋1)ex＋(x2＋x)ex]＝3(x2＋3x＋1)ex，则y′|x＝0＝3，所以所求切斜斜率为3，切线方程为y＝3x