中职数学21.1排列组合与二项式

第二十一章排列组合二项式定理第1页知识结构网络图：排列与组合二项式定理基本原理排列组合排列数公式组合数公式组合数两个性质二项式定理二项式系数性质第2页一、分类计数原理（加法原理）：完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不一样方法,在第2类方式中有m2种不一样方法，……，在第n类方式中有mn种不一样方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不一样方法.关键点：（1）分类；（2）相互独立；（3）N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）复习《第十一章概率与统计初步》第3页分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不一样方法，做第2步有m2种不一样方法，…，做第n步有mn种不一样方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不一样方法.

关键点：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn（各步方法之积）第4页总结出两个原理联络、区分：分类计数原理分步计数原理联络区分1区分2完成一件事，共有n类方法，关键词“分类”完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”每类方法相互独立，每类方法都能独立地完成这件事情各步骤中方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事都是研究完成一件事不一样方法种数问题第5页二、排列概念：

从n个不一样元素中，任取m(m≤n)个元素（这里被取元素各不相同）按照一定次序排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素一个排列.

说明：（1）排列定义包含两个方面：①取出元素，②按一定次序排列；（2）两个排列相同条件：①元素完全相同，②元素排列次序也相同；（3）当m=n时，称为n个元素全排列.第6页排列数定义：

从n个不一样元素中，任取m(m≤n)个元素全部排列个数叫做从n个元素中取出m元素排列数.用符号表示:区分排列和排列数不一样：

“一个排列”是指：从n个不一样元素中，任取m个元素按照一定次序排成一列，不是数；

“排列数”是指从n个不一样元素中，任取m（m≤n）个元素全部排列个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示详细排列.第7页排列数公式

从n个元素a1,a2,a3,…,an中任取m个元素填空，一个空位填一个元素，每一个填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总能够由这么一个填法得到，所以，全部不一样填法种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法.第8页说明：

（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最终一个因数是n-m+1，共有m个因数；（2）全排列：当m=n时,即n个不一样元素全部取出一个排列.全排列数：第9页排列数公式阶乘表示：第10页

普通地，从n个不一样元素中取出m（m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中取出m个元素一个组合.

说明：⑴不一样元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同三、组合概念：第11页组合数概念：

从n个不一样元素中取出m(m≤n)个元素全部组合个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素组合数．用符号表示:第12页组合数公式:

普通地，求从n个不一样元素中取出m个元素排列数能够分以下两步：①先求从n个不一样元素中取出m个元素组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，依据分步计数原理得：第13页组合数性质1：组合数性质2：第14页排列和组合区分和联络：名称排列组合定义符号公式关系性质

，从n个不一样元素中取出m个元素，按一定次序排成一列从n个不一样元素中取出m个元素，把它并成一组全排列：n个不一样元素全部取出一个排列.全排列数公式：所有全排列个数，即：第15页（a+b）n=将(a+b)n展开五、二项式定理：第16页计算(a+b)n展开式二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性第17页(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有显著规律？2）上下两行有什么关系吗？

3）依据这两条规律，大家能写出下面系数吗?第18页

早在我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一”以外每一个数都等于它肩上两个数和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发觉这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发觉，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角发觉要比欧洲早五百年左右.第19页《九章算术》杨辉《详解九章算法》中记载表本积平方立方三乘四乘五乘商实第20页通项公式叫做二项式系数二项式定理：第21页1.系数规律：2.指数规律：①各项次数均为n；②其中每一项中a次数由n降到0,b次数由0升到n.3.项数规律：二项和n次幂展开式共有n+1个项.二项式定理特点4.注意区分二项式系数与项系数概念项系数为：二项式系数与数字系数积,即字母系数.二项式系数为第22页尤其地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)mCnan-mbm

+…+(-1)nCnbn01mn3、令a=1，b=1第23页证实在(a+b)n展开式中，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和。在二项式定理中，令，则：

赋值法证实：第24页(奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和)：

归纳提升

求二项展开式系数和，经常得用赋值法，设二项式中字母为1或-1，得到一个或几个等式，再依据结果求值赋值法第25页相关练习题第26页若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7

求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7值

求a0+a2+a4+a6值

求a1+a3+a5+a7值练习1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7

求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7值练习2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7

求a0+a2+a4+a6值第27页注：1）注意对二项式定理灵活应用2）注意区分二项式系数与项系数概念二项式系数为；项系数为：二项式系数与数字系数积解:第28页解:第三项二项式系数为第六项系数为第29页解:第四项系数为280第30页解：设展开式中第r+1项为常数项，则：由题意可知，故存在常数项且为第7项，常数项常数项即项.例4(1)：试判断在展开式中有无常数项？假如有，求出此常数项；假如没有，说明理由.第31页解：展开式通项公式为：点评：求常数项、有理项等特殊项问题普通由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维严密性要求也高.有理项即整数次幂项(2)：由展开式所得x多项式中，系数为有理数共有多少项？第32页练习：1、求展开式常数项解:第33页2、求展开式中间项

解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项单三步第34页思索、1、化简：②①二项式定理逆用2、若则p被4除所得余数为…()A第35页二项式系数性质：增减性与最大值

1)先增后减.2)n是偶数时，中间一项（第项）二项式系数取得最大值；

当n是奇数时，中间两项（第项）二项式系数和相等，且同时取得最大值.第36页问题:(1)今天是星期五，那么7天后(4)假如是

天后这一天呢？

这一天是星期几呢?(2)假如是15天后这一天呢？（星期六）（星期五）(3)假如是24天后这一天呢？（星期一）第37页问题探究:

余数是1，所以是星期六例1、今天是星期五，那么天后这一天是星期几？第38页探究：例2、若