解题秘籍05 圆的综合问题（9种题型汇-总+专题训练）（原卷版）-2025年中考数学重难点突破

解题秘籍05圆的综合问题（9种题型汇总+专题训练+模拟预测）【题型汇总】【考情分析】圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.题型01切线的判定1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.1．（2024·湖北·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AD=3，AE=1，求CF2．（2024·青海·中考真题）如图，直线AB经过点C，且OA=OB，CA=CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的面积．3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．

(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若DE=2，GH=3，求DE的长l．4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【模拟预测】5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=60°，点D在BO的延长线上，且AB=AD．

(1)求证：DA是⊙O的切线；(2)若，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）6．（2025·湖北黄石·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E，且DE=DC．

(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)如果OA=23，OE=27．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．则图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？请说明理由，（2）知识应用：如图，PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C，且DE∥PN，连接OD、OP，延长PO交⊙O于点M，交DE于点E，过点M作MN∥OD交PN于N．①求证：MN是⊙O的切线；②当OD=6cm，OP=8cm时，求题型02圆中求线段长度1）确定位置.确定所求线段所在的三角形.2）作辅助线.利用圆的相关定理和性质作辅助线.3）分析计算.分析题目条件并选取合适的方法进行计算.8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用9．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．

(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)求EF的长．10．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，sinD=3511．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；(2)若AB=6+63，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．【模拟预测】12．（2025·陕西·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，C是AD的中点，过点D作⊙O的切线分别交AB、AC的延长线于点E、(1)求证：∠ACB=∠E；(2)若AB=4,BE=1，求BC的长．13．（2025·广东广州·一模）如图，AB是⊙O的直径，D是AC上的点，弦BD和CE交于点F，且DF=DC,EH是⊙O的切线，EH∥AB，连结AC,AE,BE．(1)求证：EB=EF；(2)求证：F是△ABC的内心；(3)若CE=72,BC=6，求直径14．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，过点C作AB的平行线交BD于点F．

(1)求证：BD=DF；(2)连接AF，若AF与⊙O相切，BC2=-4+415．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF题型03求圆中阴影部分面积解题方法：求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．16．（2024·宁夏·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．(1)求证：BC∥EF；(2)连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=1217．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是AO2B(1)求证：∠ACB=2∠P(2)若∠P=30°，AB=23①求⊙O②求图中阴影部分的面积．18．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．

(1)求证：△ACE∽△ABC；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AD=2CE，OA=219．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以点A为圆心，以AD为半径作DE交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作EF所交BC于点F，连接FD交EF于另一点G，连接(1)求证：CG为EF所在圆的切线；(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）20．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF=CD，连接(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．【模拟预测】21．（2024·贵州黔东南·一模）如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F．(1)求证：∠ABF=∠BCD；(2)当∠BCD=∠ACD时，求证：AB⊥CD；(3)在（2）的条件下，若AB=6，∠ABD=22.5°，求图中阴影部分的面积．22．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，A为x轴上一点，以OA为半径作⊙O交y轴于B，点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦AB的距离OD=5(1)求弦AB下方圆内阴影部分的面积；(2)如图1所示，若圆心O到弦BC的距离OE=25，求C(3)如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得∠BPC:∠BOC=1:2，四边形OBPC的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．题型04与圆有关的证明问题1）证明两个三角形相似23．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点(1)求证：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度数．24．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．(1)求OEAE(2)求证：△AEB∽△BEC；(3)求证：AD与EF互相平分．2）求证两个三角形全等25．（2023·山东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．

(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段MN，26．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED，并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)求证：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF3）证明线段相等27．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点D为BC的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F(1)求证：DF是⊙O的切线．(2)求证：BD=ED．(3)若DE=5，CF=4，求AB的长．28．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是AC的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．(1)求证：AF=DF；(2)延长GD至点M，使DM=DG，连接AM．①求证：AM是⊙O的切线；②若DG=6，DF=5，求⊙O的半径．4）证明垂直/平行/角平分线29．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE．(1)写出图中一个与∠DEC相等的角：______；(2)求证：OD⊥AB；(3)若OA=2OE，DF=2，求PB的长．30．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．31．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE=∠ADC(1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．(2)求证：①EF∥BC；②5）证明角度相等32．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接(1)求证：∠BAF=∠CDB；(2)若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长．33．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC=CE，CE交AB于点F．(1)求证：∠CAE=∠D；(2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA=3，BD=32，求FG34．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．(1)求证：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．6）证明线段间存在的比值关系35．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF(1)求证：BC⋅DF=BF⋅CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF36．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若sin∠ABD=2537．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：AF⋅AC=AE⋅AH；(3)若sin∠DEA=4538．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D．

(1)求证：S△ABF(2)求证：AB:AC=BF:CF；(3)求证：AF(4)猜想：线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）【模拟预测】39．（2025·陕西·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D．(1)求证：∠ABD=∠BCD；(2)若BD=35，CD=5，求⊙O40．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若sin∠ABD=255，41．（2025·