从数学的角度看什么是逻辑学

什么是逻辑推理

数学的视角

Logicalreasoning

frommathematicalperspective

崔民初编

2020年7月

XuchangCityEducationSupervisionOffice

目录

第一部分：逻辑学基础知识........................................................1

第一章为什么要学习逻辑学.......................................................1

一、华为创新与香农公式......................................................1

二、逻辑学与“钱学森之问”..................................................7

三、逻辑学与科学研究方法...................................................10

四、逻辑学与学校教育.......................................................14

第二章逻辑学与数学的关系......................................................17

一、历史上著名的逻辑学家兼为数学家........................................17

二、逻辑学与数学的关系.....................................................19

1.逻辑学和数学发展互相促进、互为工具.................................20

2.逻辑思维能力是数学思维能力的核心..................................22

三、逻辑学与中小学生数学学习...............................................23

第三章数学家的视角一一什么是逻辑学？.........................................29

一、逻辑推理是三大数学基本思想之一........................................29

二、数学的定义.............................................................31

1.名义定义............................................................32

2.实质定义............................................................35

三、数学的命题.............................................................37

1.性质命题............................................................38

2.关系命题............................................................40

四、数学的推理.............................................................42

1.什么样的推理是有逻辑的？...........................................42

2.逻辑推理的思维基础.................................................47

五、演绎推理：验证数学结论的方法..........................................50

1.经典三段论..........................................................51

①全称肯定型.......................................................51

②全称否定型.......................................................53

③特称肯定型.......................................................53

④特称否定型.......................................................54

2.反证法..............................................................55

3.数学归纳法..........................................................56

六、归纳推理(I)：基于一个集合得到数学结论的方法.......................58

1.归纳的基础是得到集合................................................59

2.结论可能是必然的归纳................................................62

2.结论已知是或然的归纳................................................67

七、归纳推理(II)：基于两个集合得到数学结论的方法——类比推理...........68

1.结论可能是必然的类比................................................69

2.结论已知是或然的类比................................................74

第四章培养学生的创新精神和实践能力............................................77

一、归纳推理和演绎推理并重.................................................77

二、发现真理的主要工具是归纳和类比........................................78

三、如何培养中小学生的归纳推理能力........................................79

1

1.让学生体验学习过程口...............................................79

2.善用归纳和类比，培养学生通过条件预测结果以及根据结论探究成因的意识和能

力..............................................................................86

3.把对思维方式的反思作为数学学习的终点..............................87

4.引导学生通过观察和实验感知数学知识。..............................88

第五章义务教育数学课程标准关于逻辑推理.......................................90

一、义务教育数学课程的性质与理念..........................................90

二、义务教育数学学习总目标对培养学生逻辑思维能力的要求...................91

三、义务教育数学课程标准关于逻辑推理的内容................................91

四、推理能力的发展应贯穿于义务教育整个数学学习过程中.....................91

五、义务教育数学教材编写应体现整体性和过程性..............................92

六、在义务教育数学教学过程中，要处理好合情推理与演绎推理的关系...........93

第六章普通高中数学课程标准关于逻辑推理.......................................94

一、普通高中数学课程的性质与目标..........................................94

二、普通高中数学六大核心素养之------逻辑推理能力.........................95

三、逻辑推理水平的划分.....................................................98

1.数学学科核心素养逻辑推理水平一（毕业会考）........................98

2.数学学科核心素养逻辑推理水平二（高考）............................99

3.数学学科核心素养逻辑推理水平三（自主招生）........................99

四、在普通高中数学标准中有关逻辑学的课程内容.............................100

1.普通高中必修课程中的逻辑学内容....................................100

①集合............................................................101

②常用逻辑用语....................................................101

③概率............................................................102

④统计............................................................102

2.普通高中选择性必修课程中的逻辑学内容.............................102

3.普通高中选修课程中的逻辑学内容...................................103

①选修课A类课程..................................................104

②选修课B类课程..................................................104

③选修课C类课程..................................................105

五、高中数学课程标准教学与评价建议.......................................106

1.教学建议.........................................................106

①教学目标制定要突出数学学科核心素养.............................108

②情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养................108

③整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展......109

④既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习......................109

2.学业水平考试与高考命题建议........................................110

①命题原则........................................................110

②考试命题路径....................................................111

3.教师实施课程标准应注意的几个问题.................................111

①以教师专业标准的理念为指导，提升自身的专业水平................112

②数学教师要努力提升通识素养.....................................112

③数学教师要努力提升数学专业素养.................................112

④数学教师要努力提升数学教育理论素养.............................113

2

⑤数学教师要努力提升教学实践能力113

3

第一部分：逻辑学基础知识

第一章为什么要学习逻辑学

一、华为创新与香农公式

2018年4月以来，中美贸易战开打，美国制裁中兴、华为.面对

美国制裁，为何中兴无还手之力，而华为却能顶住制裁不至于束手无

策？我们对比一下美国制裁中兴和华为后的结果：2018年4月16H,

美国商务部发布公告称，美国政府在未来7年内禁止中兴通讯向美国

企业购买敏感产品，这就是制裁中兴的开始.而最后的结果是中兴再

次缴纳10亿美元罚金，并改组董事会.为什么有个再次呢？其实早在

2017年3月，中兴就因被控违反美国的制裁，同意接受处罚，支付

1L9亿美元的罚款，又来一次，中兴简直成了美国政府的摇钱树.让

很多国人愤慨的是，除了交纳巨额罚款外，美国还向中兴派驻执行小

组，监督中兴更换董事会和管理层，以后更是监控公司日常运营，这

对任何一家企业来说都是莫大的耻辱.

2019年5月，美国又对华为下手了，但这一次的结果却与中兴

事件完全不同，华为扛住了.美国不允许美企向华为出售配件，华为

创始人任正非表示没有美国配件也可以.美国要给华为三个月的缓冲

期，任正非表示不需要，直接开始都可以.最后的结果是，美国政府

竟然一次次的自动延长缓冲期，目前已延长了三次.尽管也有断供的

可能，但是华为有海思的各种芯片，还有能力自研手机操作系统.

面对美国制裁，中兴束手无策，而华为却能硬抗美国政府，两家

公司为何有此截然不同的结果？

首要原因在于中兴通讯创新能力不足，核心技术受制于人，在国

1

际前沿性科技创新领域原创性产品匮乏，贸易制裁导致中兴通讯直接

休克，不得不接受美国罚款.而华为对创新人才的重视超过任何一家

中国企业，任正非给那些全球创新员工非常高的工资，通过算法理论

的创新，华为才很容易突破了3G、4G和5G技术.

这个突破是怎么来的？华为在全球各地都有研发中心，看全球基

础研究中哪些东西可以变成技术。十几年前他们发现了一个土耳其数

学家的一篇论文提到了一个新概念“极化码(PolarCode)”，是一

种新算法。

极化码的提出者是土耳其毕尔肯大学电气工程系教授埃尔达

尔•阿里坎(ErdalArikan),通信技术专家，被称为"PolarCode

之父”。2008年，ErdalArikan在国际信息论ISIT会议上首次提

出了信道极化(ChannelPolarization)的概念；2009年他在“IEEE

TransactiononInformationTheory”期刊上发表了一篇长达23页

的论文，更加详细地阐述了信道极化，正式提出了一种新的编码方式,

名称为极化码(PolarCode)。

以往所有实用的编码方法都未能达到香农于1948年所给出的信

道传输的容量极限(也称为香农限)［，］o而极化码(PolarCode)是

基于信道极化所给出的一种新的编码方式，具有确定性的构造方法，

并且是已知的唯——种能够被严格证明“达到”信道容量的信道编

码方法。Polar码被认为是第一种可以被理论证明逼近香浓信道容量

的编码方案，解决了香农信息论领域尘封近60年的难题。从代数编

码和概率编码的角度来说，极化码具备了两者各自的特点⑵。极化码

在编码调制、有记忆信道、窃听信道等方面的应用中展现了优异的性

[1]ShannonCE..AMathematicalTheoryofCommunication.BellSystemTechnical

Journal,[2020-03-29]

⑵伍株仪.5G信道编码研究.[2020-03-29]

2

华为公司非常重视这种算法在通讯领域的重要意义，对该项目投

资长达十年之久，投入了几十亿美元的研发费用，把这篇论文的构想

变成专利，变成标准，再变成产品，变成基站，变成5G可以布局的

产业，变成5G全球电信联盟的标准之一。

2018年7月26日，华为创始人任正非为5G极化码（Polar码）

发现者埃尔达尔・阿里坎教授颁发特别奖项，致敬其为通信事业发展

所作出的突出贡献小。

而他的导师RobertGallagei'正是LDPC码的提出者。LDPC码是

高通主导的5G标准的信道长码和短码编码方案。华为与高通的5G标

准争夺战实际上也就是LDPC码与Polar码的对决，是师傅Robert

Gallager与徒弟ErdalArikan之间的成果的较量。

⑴任正非颁奖Polar码之父.人民网.深圳频道.2018年07月27日.

http://sz.people,com.cn/GB/n2/2018/0727/c202846-31864526.html

3

RobertGallager

2016年11月18日,在美国内华达州里诺召开的3GPPRAN1#87

次会议上，确定PolarCode作为5GeMBB（增强移动宽带）场景下

控制信道编码方案。⑴在此次会议上，对于华为主导的数据短码部分,

以及控制信道部分的两个方案，联想、摩托罗拉移动，以及华为、博

通、小米等企业都投了赞成票。最终由于Polar的权重不够，华为在

数据信道短码部分未通过，仍采用高通主导的LDPC短码方案，但在

控制信道编码部分华为获得了胜利。

闺伍株仪.5G信道编码研究.[2020-03-29]

4

更有意思的是，RobertGallager的老师，ErdalArikan教授的

师祖，就是鼎鼎大名的“信息论之父”香农。香农是20世纪最有影

响力的科学家之一，在通信领域，他属于“牛顿”式的人物。香农生

前为人低调，极少露面，1985年他破例去英国参加一次学术会议，

当主持人念到香农的名字时，现场的科学家都疯狂地拥到他身边，排

队等候他的签名，可见香农在学术界的地位。他的成果奠定了现代通

信的理论基础，香农也是数字电路、密码学的奠基人。

ClaudeElwoodShannon（1916-2001）,1949年，香农在《噪

声下的通信》提出了计算最大信息传送速率C公式”：

C=Blog2（l+S/N）o式中：B是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信

号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦）。该式即

为著名的香农公式。

香农同样毕业于麻省理工学院，晚年一直担任麻省理工学院的教

授。香农、RobertGallager＞到ErdalArikan都出自麻省理工学院,

5

三位科学家一脉相承，都为人类的通信事业作出了杰出的贡献，堪称

奇迹。

这也反映了美国在基础研究领域的强大，推动现代信息通信理论

创新的几大科学家都来自美国，美国在通信领域领先也就不意外了。

这次华为能在Polar码上异军突起，一方面是因为华为的实力和胆

识，另一方面也有运气的成分。因为恰好ErdalArikan教授早在1987

年就回到了土耳其，而土耳其缺乏进行通信应用研究的人才，他的理

论并未受到西方国家应有的重视。Arikan教授也多次回到美国讲解

他的Polar理论，但美国的通信企业反应平淡，高通等公司依然将主

要力量放在他老师Gallager的LDPC码上。这让华为抓住了机会，在

Polar码上发力取得成功。

可以说，基础研究是应用创新的源泉，也是培养一流科技人才的

重要渠道。创新能力强是华为公司面对美国制裁能够勉强应对的技术

基础.即便如此，令人遗憾之处的是，华为公司重金投资的这个通讯

技术创新人才是美国教育培养出来的.

中国人口基数大，数学天才众多，但是在数学界有原始创新贡献

的数学天才却是凤毛麟角。甚至有些少年数学天才，年纪轻轻已经遁

入佛门。中国奥数天才柳智宇，2006年在第32届国际数学奥林匹克

循环赛上，柳智宇在奥数决赛中以满分成绩击败了德国数学天才舒尔

茨，夺得金牌。十多年后，二人的发展结果截然不同：舒尔茨不到

31岁时就拿到了菲尔兹奖，这个奖相当于数学领域的诺贝尔奖，含

金量相当的高。柳智宇奥数拿冠军后，直接被保送进了北京大学数学

院，刚入校就加入了北大的禅学社和耕读社。这个禅学社、耕读社的

关注点在佛教，与逻辑学研究人的思维方法的学问大相径庭，根本不

在一个频道上。耕读社的创始人是一位叫贤庆法师的僧人，他就在北

6

京龙泉寺出家。在2008年5月，柳智宇带领社团成员去参观龙泉寺。

说起这个龙泉市，那简直让很多求贤若渴的地方高校领导羡慕，寺内

禅兴法师是清华大学流体力学博士，贤启法师是清华大学核能和热能

物理博士，贤威法师是中国科学院生物物理研究所博士，贤兆法师是

北京航空航天大学教授，贤庆法师是北京大学哲学系研究生。柳智宇

在寺里见到了贤庆法师，聊了很久。在临近毕业之时，柳智宇已经申

请到了美国麻省理工学院全额奖学金。但令人意外的事情发生了，柳

智宇并没有选择去美国留学，而是到龙泉市出家。一个数学天才，就

这样远离了数学研究领域。这不仅是柳智宇个人的损失，也是中国高

科技人才的损失，更是需要中国文化和中国教育反思的一个现代版

《伤仲永》。同是顶级数学天才，一个获得“数学诺贝尔”，一个却

在北京当和尚。

实事求是的讲，像华为这样的高科技创新企业在中国并不是很多.

在某种意义上说，逻辑学研究的滞后，以及学校对大中小学生逻辑学

教育的不足，是我国原创性科学研究成果匮乏、企业创新能力不足的

根本原因之一.这不由得让我们想起那著名的“李约瑟难题”和“钱

学森之问”.

二、逻辑学与“钱学森之问”

“李约瑟难题”，又称“李约瑟之谜”，由英国学者李约瑟(Joseph

Needham,1900T995)博士提出.1944年2月，李约瑟在重庆举办的

中国农学会会议上做了题为《中国与西方的科学与农业》的演讲，在

演讲中提到：“事实上作为一个整体的近代科学没有发生在中国，它

发生在西方一一欧美，即欧洲文明的广大范围内，这有什么原因呢？

我以为我们必须找出这个原因.”[1]1954年李约瑟在15卷《中国科学

111潘吉星.李约瑟文集[M]:辽宁科学技术出版社，1986:87.

7

技术史》中译本第一章提出：“为什么现代科学，亦即经得起全世界

的考验、并得到合理赞扬的伽利略、哈维、凡萨里乌斯、牛顿的传统

——这一传统肯定会成为统一的世界大家庭理论基础一一是在地中

海和大西洋沿岸发展起来，而不是在中国或亚洲其它任何地方得到发

展呢？⑴”这个问题在1976年由美国经济学家肯尼思•博尔丁称之

为李约瑟难题.

“钱学森之问”与“李约瑟难题”一脉相承，都是对中国原创性

科学发展相对落后的深切关怀.2005年7月29日，温家宝总理在解

放军总医院探望钱学森时，温总理谈了未来十五年科技工作指导方

针，钱老说：“我要补充一个教育问题，培养具有创新能力的人才的

问题”，“现在中国没有完全发展起来，一个重要原因是没有一所大

学能够按照培养科学技术发明创造人才的模式去办学，没有自己独特

的创新的东西，老是‘冒'不出杰出人才，这是很大的问题”.病榻

上的钱学森坦诚建言.“我们的教育还有些缺陷，”温家宝坦率承认,

“全面培养人才，这个意见我将带回去和有关部门研究.”⑵

a李约瑟.中国科学技术史（中文版）[M].北京：科学出版社，1975:43-44.

[2]李斌.亲切的交谈一一温家宝探望季羡林、钱学森侧记.人民日报2005.7.31.

参见：李斌.温家宝在京看望季羡林和钱学森并亲切交谈.中华人民共和国中央人民政府网站

http:〃www.gov.cn/ldhd/2005_07/31/content18454.htm

8

L

上图为“钱学森之问”提出的场景：2005年7月29日，中共中央政治局常委、国务院

总理温家宝在北京亲切看望我国杰出的科学家、航天科学的奠基人之一的钱学森先生.新华

社记者刘建生摄

这就是著名的“钱学森之问”，是关于中国教育事业发展的一道

艰深命题，需要整个教育界乃至社会各界共同破解.

对“李约瑟难题”和“钱学森之问”，不同领域的专家学者在不

同的角度进行了回答，我们每个人也都会有自己的答案.对“李约瑟

难题”的各种解答中，尤其以爱因斯坦的回答流传甚广：“西方科学

的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻

辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出

的因果关系（在文艺复兴时期）”⑴.这是现代科学之所以在西方产生

而没有在中国出现的两大根本原因.爱因斯坦所说的前者就是指演绎

能力，后者是指归纳能力.

中国古代在这两方面处于缺失的状态，所以，近现代科学不会在

中国产生.这种回答无论我们心理上是否能够接受，我们仍需要承认,

[11《爱因斯坦文集》第一卷（M），许良英、范岱年编译，北京：商务印书馆，1976年版，第574页.

9

这确实是国人思维中的两项软肋：一是不善使用或不常使用形式逻辑

的思维方式，重结果、重权威、崇尚古人、不重逻辑推演形式.二是

不习惯于通过实验用数据找出事物之间的因果关系或相关关系，习惯

于阴阳五行八卦定性思维.实际上，没有逻辑学就没有科学，逻辑思

维能力是科学家的基本素养，比较和分类、归纳和演绎、分析和综合、

证明和反驳，以及类比、公理化等等都是科学家在理论应用和创新中

常用的逻辑方法.

对此，杨振宁在《我的生平》中指出，“我很有幸能够在两个具

有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力（指

数学推理训练），我在美国学到了归纳能力”.

实际上，爱因斯坦回答的这两个方面可以归结为一个问题：逻辑

思维.无论是形式逻辑还是通过实验探求因果关系（相关关系），都

是属于逻辑学的研究范畴.因此，从教育的角度来看，为了培养新时

代的科技创新人才，中小学校应该对学生传授一点儿逻辑学基础知

识，对学生进行基本的逻辑推理能力训练.中小学生应该主动学习逻

辑学知识，锻炼自己的逻辑推理能力，掌握一定的科学研究方法，为

把自己培养成为国家栋梁之才打下坚实的基础.只有这样，中国才能

成为科学创新之国，中国才能成长出来一大批拥有核心技术的世界一

流创新企业.

三'逻辑学与科学研究方法

科学研究方法最早可以溯源到亚里斯多德（Aristotle,384年

BC—322年BC）的演绎推理（三段论），亚里士多德在哲学上最大的

贡献在于创立了形式逻辑这一重要分支学科，为后来科学研究方法的

产生与发展提供了逻辑学基础.

10

上图为文艺复兴三杰之一、意大利著名画家拉斐尔经典名著《雅典学院》，现收藏于意

大利梵蒂冈博物馆.该画以古希腊哲学家柏拉图举办雅典学院为题材，把代表着哲学、数学、

音乐、天文等不同学科领域的文化名人会聚一堂，以回忆历史上的黄金时代.整幅画气势恢

宏、场面宏大.画中人物栩栩如生、活灵活现.中心人物是古希腊哲学家柏拉图和亚里士多德,

从他们一上一下对立的手势，似乎表达着亚里士多德的一句经典名言“吾爱吾师，吾更爱真

理”，明显地表达了他们在思想上的原则分歧.

古希腊数学家欧几里德(Euclid,325年BC—265年BC)是第一

个将亚里士多德三段论演绎推理用于构建实际知识体系的人.其传世

之作《几何原本》不仅在于建立了一种几何学，而且在于首创了一种

科学方法，使几何学成为一门独立的、演绎的科学.比起欧几里德几

何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更为重大.这种方法

对后人产生的影响，甚至超过了几何学本身，对于西方人的整个思维

方法都有极大的影响.

伽利略•伽利莱(GalileoGalilei,1564年—1642年)创物理

学实验先河，成功地把实验和数学论证相结合,开始采用真正的物理

学实验方法，即“观察一假设一检验一演绎推理一更大范围检验”的

方法，来验证科学假设.伽利略是这种科学研究方法的创立者和集大

成者，这也是今天自然科学的主要研究方法，具有里程碑的意义.后

11

来，这种以实验为基础的探求因果关系的科学研究方法又逐渐扩展到

化学、生物学、医学、心理学、教育学、经济学、社会学等领域.

现代逻辑学中最早进行因果关系研究的是英国逻辑学家大卫・休

谟和约翰•穆勒.作为怀疑论哲学家的大卫•休谟（DavidHume,1711

年一1776年）认为，虽然我们能观察到一件事物伴随着另一件事物

而来，我们并不能观察到两件事物之间的关联，因此我们无从得知事

物之间的因果关系.休谟提出了"经常连结"（constantconjunction）

的概念，当我们看到某件事物总是“造成”另一事物时，我们所看到

的其实是一件事物总是与另一件事物“经常连结”.我们之所以把“经

常连结”相信为因果关系并非因为这个因果关系是事物的本质，而是

因为我们所养成的心理习惯和人性所造成的.归纳思考的原则在于假

设我们过去的行动可以做为未来行动的可靠指导，这样的思考在基本

上是先验的，我们不能以先验的知识证明未来就会和过去一致.这就

是历史有名的“休谟问题”，是对归纳结果合理性、可靠性的质疑，

又称为“休谟质疑”.“休谟问题”的提出进一步推动了哲学上对归

纳推理和因果关系的研究.

世界上最伟大的逻辑学作品一一《逻辑体系：演绎与归纳》，是

英国哲学家、政治学家、心理学家、经济学家约翰・穆勒（JohnStuart

Mill,1806年一1873年，或译约翰•斯图尔特•密尔）的经典之作，

全书共六卷，120万字.第一卷论概念与命题，第二卷论演绎推理，

第三卷论归纳推理，第四卷论归纳法的辅助推演方法，第五卷论谬误,

第六卷论伦理科学.该书出版于1843年，是一部带总结性的归纳逻辑

学名著.约翰-穆勒在该书中讨论归纳法的时候，提出了探求因果关

系的“求同法”、“求异法”、“共变法”和“剩余法”，后人又把

他讨论过的“求同求异并用法”合称“穆勒五法”，使归纳逻辑形成

12

了完整的体系，把古典归纳逻辑推向高峰.约翰•穆勒还采用概率的

方法来研究因果关系.

现代科学研究方法除了形式逻辑和探求因果关系外，在“穆勒五

法”归纳推理的基础上，大量引入统计学和数学研究方法，对因果关

系或相关关系进行统计推断和多元归因分析.费希尔（Fisher）提出方

差分析和实验设计三原则（对照、重复、随机）.华人生物统计学家

李景均（1912—2003）于50年代在世界上第一个提出随机双盲对照

实验.科克伦（ArchiebaldL.Cochrane,1909—1988）在二战后提出了

循证医学研究方法.现在已经发展到循证研究（Evidence-Based

Practise）和元分析（Meta-Analysis,即分析的分析）阶段.

现代科学研究方法是建立在逻辑学基础之上的，抑或本身就是逻

辑学的研究方法，主要是围绕逻辑学和运用实验探求因果关系的方法

展开的，离不开逻辑学的基础知识.随着定量分析的引入，逻辑学与

数学相结合，演绎与归纳相结合，理论研究与实证研究相结合，现代

科学研究方法开始真正发展成熟起来.统计学的发展又进一步推动了

逻辑学因果关系（或相关关系）的研究，完善了科学研究方法.

科学研究方法虽然是一个舶来品，但实际上，科学研究方法距离

我们并不遥远，它不仅是高等学校、科研院所专业人员研究用的方法,

也是我们大中小学校学生探究问题的一种学习方法，甚至是在我们日

常生活中都能用得上一种处理问题的思维方法.遗憾的是，对于科学

研究方法类的知识，或者说是关于思维方法的知识，我们中小学校对

学生的相关引导相对较少，在我国中小学课程教学中也一直缺乏这种

逻辑学科学思维方法的训练.

在某种意义上说，我们对逻辑学研究也没有引起足够重视.世界

上最伟大的逻辑学作品，约翰•穆勒的经典之作一一《逻辑体系：演

13

绎与归纳》，1903年由严复翻译，金粟斋木刻出版了前2卷半，书

名为《穆勒名学》.直到2014年，郭武军、杨航翻译了新的版本，上

海交大出版社出版了前两卷.中国目前只有这两个版本，没有中文全

译本的《逻辑体系》一书.逻辑学中最重要的逻辑归纳法一一穆勒五

法也找不到权威的原文翻译.这不得不令人感到遗憾，也说明我们对

逻辑学研究重视不够.

自2001年以来，虽然中小学新课程改革一直倡导“自主、合作、

探究”，但对于如何进行探究性学习，大多数中小学教师说不清.如

果教师自己都没有受过探究性学习（科学研究方法）的专门训练，又

怎么可能指导学生进行探究性学习呢？

科学研究方法，是科学的思维方法，也是科学的生活方法.掌握

了科学研究方法，能使我们的专业性研究少走弯路，能使我们的日常

生活少受江湖骗术的蒙蔽，能使我们的学习（思维）方法更加科学，

能使我们面对各种实际困难作出的决策更加合理，能使我们抓住事物

主要矛盾，看清事物的内在逻辑真相，采取有效措施甚至独辟蹊径解

决问题.因此确有必要学习逻辑学，学习科学研究方法.

四、逻辑学与学校教育

根据联合国教科文组织（1974年）的学科分类，基础学科包括:

数学、逻辑学、天文学和天体物理学、地理科学和空间科学、物理学、

化学、生命科学。把逻辑学排在了第二位，其重要性仅次于数学。在

智力测验、GRE、GMAT等国际性大学招生考试中，欧美等西方国家常

将进行逻辑思维能力训练时七个方面的测试内容，即数学运算、概念

与定义判断、逻辑判断与推理、言语理解与表达、数字推理、类比推

理和图形推理，作为重要的考试内容。国内的一些国际学校入学笔试,

14

对于低年级的学生，侧重考察学生的英语能力和综合能力，例如德威

国际学校，对于6年级的学生，会安排3小时的上机考试，包括英

语、数学和逻辑。

实际上，不但数学的学习研究离不开逻辑学，物理、化学、生物

等基础学科以及在此基础之上的所有自然科学的学习研究都离不开

逻辑学，社会科学的研究方法也离不开逻辑学。可以毫不夸张地说，

有没有接受过逻辑学训练，对于大中小学生学习自然科学知识影响很

大，对于科研工作者搞科学研究影响更大。

在科学假设提出的过程中离不开观察、演绎与归纳推理，没有演

绎与归纳就很难产生符合逻辑的问题假设。那么，如何提出符合逻辑

的问题假设？现代实验（实证experiment）研究方法为什么要采用

统计学方法，背后的逻辑基础是什么？中国为什么培养不出来世界一

流的科学家（即钱学森之问）？现代中国的原创性发明创造为什么相

对匮乏？中国中小学教学模式是否有利于学生创造力的培养？中小

学校理化生学科教学中动手实验课程是否重要？这些问题都牵涉到

思维方式问题，而马克思主义哲学教材一开始就告诉我们：哲学是关

于人类思维的科学，是指导自然科学和社会科学研究方法的科学。

因此从哲学层面，简单回顾一下归纳和演绎思维方式的发展历

史，有助于我们理解现代科学研究方法的哲学思维基础。无论我们承

认不承认，归纳和演绎，在现代科学研究中是必须具备的思维品质。

无论我们承认不承认，在我们每一个人的日常生活中，我们都在有意

无意地使用归纳和演绎推理。只不过归纳法是一种非常容易得出错误

结论的思维方法，如何保证归纳思维的科学性、正确性、合理性，我

们非常有必要了解一下西方哲学发展过程中诸多流派的哲学家对这

15

一问题的长期的经久不衰的讨论，这对于我们教育研究或是日常生活

都是非常有益的。因此，真正的教育工作者非常有必要学习和推广逻

辑学，培养逻辑思维方法。

16

第二章逻辑学与数学的关系

逻辑推理能力是中小学数学课程标准六大核心素养之一，也是三

大基本数学思想之一，在中小学数学教学中，注重培养学生的逻辑推

理能力，不但是贯彻中小学课程标准的需要，也是保证学生能够深刻

理解数学论证方法本质的需要.学好逻辑推理能力，有利于学生加深

对数学的理解和应用，也有利于提高学业考试成绩.就目前的现状来

看，大部分中小学校没有重视培养学生的逻辑推理能力，甚至部分中

小学数学教师对逻辑学也没有基本的认识，这对我们目前的中小学数

学教学是不利的.因此，确有必要在中小学数学教学中普及逻辑学基

础知识.

一'历史上著名的逻辑学家兼为数学家

逻辑学作为人们进行思维所必须运用的思维工具，是任何学

科都离不开的，它对提高人们的思维能力具有重要意义.从逻辑学

与数学的发展历史来看：逻辑学是数学的思维工具，逻辑学的发展也

离不开数学的支撑.比如，演绎推理的最典型、最重要的应用，通常

存在于逻辑和数学证明中.亚里士多德(Aristotle,384年BC—322

年BC)把他的逻辑发现运用到科学理论上来，作为例证，他选择了

数学学科，特别是几何学.

古希腊数学家欧几里德(Euclid,325年BC—265年BC)的经典

名著《几何学原理》，是现代数学推理的典范，甚至是开源.它的演绎

推理是基于公理、定义和符号的,按照规定的法则进行命题的证明或

者公式的推导.从这个意义上来说,计算也是一种演绎的推理，因为计

17

算也是对符号在规定的法则下进行的一种推理.⑴欧几里得《几何学

原理》与其说是几何学经典，倒不如说是逻辑学经典.事实上，欧几

里德本人对几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内

在逻辑的严密性，作者本人也公开宣称更关心的是几何体系内在逻辑

的严密性.

英国物理学家艾萨克•牛顿(IsaacNewton,1643年一1727年)

1687年首次出版了他的物理学哲学著作《自然哲学的数学原理》.在

该书序言里，牛顿开宗明义地宣称：“因此我在这本书中，也致力于

用数学来探讨有关的哲学问题”.在这本书第一卷“论物体的运动”

里，牛顿阐述了物体运动的基础理论，并严密地证明了在各种不同条

件的引力作用下物体运动的规律.也是在这部分，牛顿第一次正式公

布了他发明的微积分.牛顿用了若干个辅助定理说明极限的意义，导

出微积分方法(即流数术和反流数术).

英国哲学家大卫・休谟(DavidHume,1711—1776)在1739年

出版的《人性论》第一卷第三部分"ofknowledgeandprobability”

中阐述了休谟哲学的概率思想，对概率问题的思考在他的整个哲学思

想中扮演着十分重要的角色。他说：“如果一个骰子，四面有相同的

形象或点数，另两面有另一种相同的形象或点数，则前者翻起的可然

性要比后者大”⑵。他通过对“已知”范围内的界定和对因果关系的

梳理，将概率分为机会(chance)概率和原因(cause)概率，并认

为对机会概率的研究是为了引出对原因概率的探讨.⑶

1848年，英国数学家及逻辑学家乔治•布尔(GeorgeBoole,

1815-1864)出版了《逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法》.1854

年，他又出版了《思维规律的研究——逻辑与概率的数学理论基础》.

111史宁中《数学课程标准》的若干思考.数学通报.2007(5).

121人类理解研究.休谟著.关文运译.北京：商务印书馆.1972().

⑶雷婿博.休谟哲学的概率思想研究加］.上海师范大学2014年硕士学位论文

18

布尔以这两部著作建立了一门新的数学学科一一布尔代数(Boolean

algebra).布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形

式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切

事物都可纳入数学领域.在布尔代数里，布尔构思出一个关于0和1

的代数系统，用基础的逻辑符号系统描述物体和概念.这种代数不仅

广泛用于概率和统计等领域，更重要的是，它为以后数字计算机开关

电路的设计提供了最重要的逻辑方法和数学方法.

阿兰•麦席森•图灵(AlanMathisonTuring,1912—1954),

英国著名的数学家和逻辑学家，被称为计算机科学之父、人工智能之

父，是计算机逻辑的奠基者，提出了“图灵机”和“图灵测试”等重

要概念.说起阿兰•图灵这个人，在数学和逻辑学方面的研究成果是

开创性的，可以说，没有他的“图灵机”和“图灵测试”理论，是不

可能出现后来的计算机技术的.1936年，阿兰・图灵发表《论数字计

算在决断难题中的应用》.1943T945年曾协助英国军方破解德国的

著名密码系统“谜”(Enigma),帮助盟军取得了二战的胜利.1950年,

他提出关于机器思维的问题，发表论文“计算机和智能(Computing

machineryandintelligence)v,引起了广泛的注意和深远的影响.

同年，发表了另一篇论文''机器能思考吗”，其中提出了一种用于判

定机器是否具有智能的试验方法，即图灵试验.后人为纪念其在计算

机领域的卓越贡献而设立“图灵奖”.

二、逻辑学与数学的关系

逻辑(Logic)是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推

理、论证来理解和区分客观世界的思维过程.

19

Logic最早被清末的严复翻译成中文“逻辑”，主要是音译，后

由中国传入日本，但在日语中则注明只是对Logic的注音，Logic在

日语中的正式汉语翻译词为“论理”.

逻辑学是研究思维的学科.所有思维都有内容和形式两个方面.

思维内容是指思维所反映的对象及其属性；思维形式是指用以反映对

象及其属性的不同方式，即表达思维内容的不同方式.从逻辑学角度

看，抽象思维的三种基本形式是概念，命题和推理.⑴

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世

界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，

理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.⑵

黑格尔说：“一切科学都是应用逻辑.”列宁说：“任何科学都

是应用逻辑，数学更是这样，从它产生的年代起，数学与逻辑知识就

是不可分的.”⑶

逻辑学和数学各有独立的研究对象和研究方法，但二者之间存在

着密切的关系：

1.逻辑学和数学发展互相促进、互为工具

一方面，逻辑学为数学发展提供了基础性思维工具.

从逻辑学对数学发展所起的作用来看：逻辑学是数学演绎证明与

回顾性总结（归纳）的主要工具；逻辑学是统一数学客观性和主观性

的主要方法；逻辑学是探索和发现数学新问题的手段之一.⑷

由于数学具有高度的抽象性特征，数学中每个公式、定理的正确

性无法由具体实验和经验来直接证明，必须从逻辑上加以严格推理才

111逻辑学基础教程.彭漪涟.华东师范大学出版社.1999.

⑶普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）.人民教育出版社.2020（1）.

B1列宁全集[M].北京:人民出版社，1984.216.

⑷孙明符等.数学•逻辑与教育[M],高等教育出版社，1994.

20

能被确认.⑴由于逻辑推理的规则是普遍有效的，在数学中运用逻辑

推理能够保证数学结论的正确性，这样就避免了仅仅依靠几个特殊例

子来证明数学定理，保证了数学定理证明的严谨性和普适性.在推理

过程中，归纳推理有利于在数学研究中提出新的假设或猜想，而演绎

推理可以进一步证明这些假设或猜想的正确性，证明具有创造性的新

理论.因此，数学的发展依赖于逻辑学工具在数学中的具体运用.运用

逻辑的规则和方法是数学显著的特点，体现出它结论的确定性和逻

辑的严谨性.在已经修订的《普通高中数学课程标准》（2017版2020

年修订）提出了6个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、

直观想象、数学运算和数据分析.⑵其中一个是逻辑推理.如果离开了

逻辑学，数学将成为一些经验材料的堆砌，也不可能成为一门科学⑶

逻辑学的发展突破常常能给数学发展提供新的思考点，甚至可以

开辟一个新的研究领域.例如大卫•休谟在质疑“归纳问题”的同时,

提出了运用概率研究“归纳问题”的思想萌芽，这为以后概率论的研

究，并将概率论应用于其他学科研究（比如数理逻辑学、经济学、社

会学、教育学等）开辟了一个新的领域.

另一方面，数学不仅是运算和推理的工具,还是表达和交流的语

言⑷.数学发展的新问题、新领域、新成果又反过来为逻辑学的研究

提供了新思路、新工具和新手段.

数学发展过程中出现的新问题，会对逻辑学提出新的要求和挑

战，进而推动逻辑学研究的进步.数学发展开辟的新领域，也为逻辑

学研究提供了新的思路、工具和手段，丰富和发展了逻辑学理论.例

如，数学上统计推断的研究反过来又进一步丰富和完善了逻辑学的归

闺郑丽娟.中学数学逻辑知识教学的调查研究[M].华东师范大学2007年硕士研究生学位论文.

121普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）.人民教育出版社.2020（4）.

⑶李景琴，《逻辑与中学数学教学的关系》，赤峰学院学报，2006年第3期.

141普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）.人民教育出版社.2020（1）.

21

纳推理或然性问题.数学与逻辑学的结合，产生了新的交叉学科-

数理逻辑学.

2.逻辑思维能力是数学思维能力的核心

什么是数学思维能力呢？用数学的观点、方法和角度思考问题和

解决问题的能力总称为数学思维能力，其核心是逻辑思维能力.

数学思维包括下面四层思维能力：

第一层：比较、猜想、转化、归类，分析和综合.

这是学习数学的基本思维能力，应用范围极为广泛，贯穿整个数

学学习的始终.比较是找出事物之间的差异；猜想是建立在数字、图

形或一定符号思维基础之上的一种基于现有认识水平的合理假设，假

设是科学发现的重要步骤；转化是将某类不易解决的问题转化为在现

有认识水平下容易解决的问题，或者是换一种思维方法考虑问题；归

类是根据事物的主要特征，进行抽象分类.分类的目的是为了加深理

解某类事物的一般特征；分析是指从条件出发，一步步得出结果的思

维过程；综合是指从要解决的问题出发，往后倒推，看需要满足什么

条件，再一步步推导到已知的思考过程.综合往往含有逆向思维过程.

第二层：特殊到一般、一般到特殊、抽象化、模型化、概括化.

这是比第一层级更高一点的思维能力，也是第三层级的简化，实

际上也是认知的一般规律.先从特殊的事物，概括出一般属性，或抽

象提炼为一般性的模型，得出一般的特征.再从一般性属性或特征出

发，推理出特殊事物应具有的一般性特征.也可以从一般的特性中去

寻找一些特殊性，进而全面地认知事物.

第三层：归纳推理、演绎推理和类比推理.

这个层级是数学的逻辑思维层面，也是建立在前两个层级之上的

核心数学思维能力.到了这个层级，逻辑推理能力是思维的基础.

22

亚里斯多德提出的三段论思维方法，就是典型的演绎推理：大前

提+小前提推导出结论.也可以理解为理由+理由推导出结论.学生做

作业的过程，大多是一种数学课本上的一般原理、公理（大前提）在

特殊情境（小前提）下的应用过程，是一种演绎推理过程.

归纳推理就是：A1是B,A2是B,A3是B……，所以所有A都是

B.归纳推理主要是在认真观察事物特性的基础上，提出一个假设猜想

并进行验证的过程.科学研究和学生探究性学习大多是运用归纳推理

的思维过程.

类比推理是指将两个或两类具有相同属性的事物进行对比，找出

其他属性可能相同的部分.类比推理的方法属于逻辑思维分析的一

种，其推理结果的可靠性较低，但比较适合小学生的心理年龄特点.

他们从总体来说是以直觉感受为主的思维方法思考问题，其逻辑思维

能力较弱，数学老师可以让小学生学习以形象思维方式为主的简单类

比推理的.小学生学好类比推理的形象思维方式，能使其逻辑思维能

力和抽象思维能力都得到培养，综合应用能力也能得到提高.

第四层：合乎逻辑的阐述思想和观点，总结出事物的一般性规律

并应用于实践.

到了这一层，就到了数学思维的最终目的和最高要求，能够把数

学思维用自己的观点清晰地表达出来，能归纳出事物的一般性、本质

性规律，并能迁移到其他实际场景中解决具体问题.

综上所述，逻辑思维能力是数学思维能力的核心.逻辑学与数学

密切相关，二者之间互相影响，互相促进，互为工具.

三、逻辑学与中小学生数学学习

有人说：得语文者得天下，语文才是拉分王.教育部部编本中小

学语文教科书总编温儒敏在2017年说：“高考语文每年有15%的学

23

生做不完卷子，有15%做不完也正常”.其实不但是语文，如果我们

看看数学、物理、化学的高考试卷和中招试卷，做不完的何止有15%?

数理化考不好的学生，在中招时已经被提前淘汰了，中招考试总成绩

达不到普通高中录取分数线，就没有上普通高中的机会，只能到中等

职业学校接受技能培训，以后接受高等教育的机会相对来说是比较少

的.在普通高中学校，数理化成绩好的，在高中学理科；数理化成绩

一般的或者比较差的，在高中学文科.2020年河南省高考本科一批文

理科招生比例1:5.15,文科生被985、2n高校录取的比例和概率输

于理科生一大截.一般来说，数学成绩好的学生，理化生成绩（尤其

是物理成绩）也相对较好，数学成绩差的学生，理化生成绩也会大概

率较差.这不是说在学习理化生的过程中有大量数学运算，而是数学

思维方式尤其是数学中的逻辑思维方式（逻辑推理能力）是通用的思

维方式，对于学习物理、化学、生物起着引导思维方向作用.抛开别

的暂且不说，如果单纯从对考试总成绩排名的影响来看，语文确实重

要，但数学更重要.在某种意义上来说，数学才是真正的拉分王，对

学生未来能否赢得高一级学校学习机会影响更大.

那么，中小学生怎么提高数学成绩呢？有意识地培养和强化逻辑

推理能力是提高数学成绩的途径之一.

从某种意义上说，数学是学习思维的方法，是教人严密思维的科

学.数学学习是数学思维能力的训练，逻辑思维能力是数学思维能力

的核心，更是个体创造力的基础⑴，逻辑学知识在中小学数学教学中

具有举足轻重的地位和作用.

义务教育数学课程标准明确要求学生能体会通过合情推理探索

数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，

卬林崇德.教育与发展-----创新人才的心理学整合研究卬］.北京大学出版社，2004年12月第2版

24

发展合情推理与演绎推理的能力.能独立思考，体会数学的基本思想

和思维方式⑴.逻辑推理能力是高中数学课程标准的六大数学核心素

养之一，也是高考评价的重要考试内容.逻辑推理能力的培养，是数

学教学中的重要组成部分，它有利于学生进一步学习其他数学知识.