《金融工程》 课件 第十四章 Black-Scholes-Merton期权定价模型

第十四讲Black-Scholes-Merton期权定价模型及其应用1《金融工程》2025/4/82主要内容第一节标的资产价格建模第二节BSM期权定价公式第三节

波动率的概念和计算第四节BSM模型的扩展应用32025/4/84欧式期权定价——轶事期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年——金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法M.Scholes主要因为这一工作与R.Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖2025/4/85欧式期权定价——轶事巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（5-6月号）两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先6第一节标的资产价格建模

一、有效市场假说71965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的81、弱式效率市场：证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。2、半强式效率市场：证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。3、强式效率市场假说：不仅是已公布的信息，而且是所有可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。弱式有效市场假说暗含：91.未来价格变动幅度与当前价格及之前价格都无关－－独立增量性未来价格只与当前价格有关，与当前价格之前的价格无关；－－马尔可夫性（简称马氏性，也称之为无记忆性）深证综指收盘价时序图10深证综指收盘价对数收益时序图11二、马尔可夫过程马氏过程是一类具有特殊性质的过程，它可以是：离散的随机过程：如我们的二叉树；连续的随机过程：如布朗运动(wiener过程)12三.独立同分布随机变量的和的分布13M0.25的分布直方图(Δt=0.01,模拟次数=1000)三.独立同分布随机变量的和的分布14M0.25的分布直方图(Δt=0.01,模拟次数=100000)三.独立同分布随机变量的和的分布15M0.25的分布直方图(Δt=0.0001,模拟次数=1000)三.独立同分布随机变量的和的分布16M0.25的分布直方图(Δt=0.0001,模拟次数=100000)四.布朗运动与股票价格相似性17股票价格VS布朗运动：弱势有效市场股票价格具有马氏性VS

布朗运动具有马氏性和独立增量性；股价走势具有连续性，VS

布朗运动具有连续轨道；假设股价的同时间长度的增长率独立同分布与布朗运动的平稳独立增量相符；大量独立同分布的随机变量加和必然呈现正态特征；VS布朗运动的增量具有正态特征直观比较18直观上讲，布朗运动的概念最初描述的是花粉颗粒在水中的运动（1826,英国植物学家布朗）；花粉由于相互碰撞和与介质水分子的碰撞做出不规则的运动路径；股票价格的波动来自于：投资者对股价的“碰撞”（类比于介质分子的碰撞）；股票的内在因素影响（市值大小，上市公司的行为、业绩，类比于花粉颗粒的大小，花粉的密度等）；市场因素的影响（如利率，印花税等，类比与水的温度变化、水杯的晃动）；因此在一定程度上与花粉颗粒的运动相仿。2025/4/819仅仅使用标准布朗运动去研究股票价格存在欠缺：1)股价不是围绕0点的运动，其期望收益不为零；2)不同股票单位时间内的波动是不同的，不是千篇一律的1标准差.3)股票价格恒为正值四.布朗运动与股票价格相似性设在实际概率环境下，股票价格满足几何布朗运动，即：20五.股票价格的随机过程——GBM

geometricBrownianmotion

3.股票价格的随机过程GBM21由Ito公式，股票价格的对数过程即为广义Brown运动

22在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立

风险中性下的股价过程23故，在风险中性环境下，St的价格过程满足：股票价格的解析式为：风险中性下的股价过程即：

风险中性与实际概率下的股价关系24

25第二节期权的风险中性定价－Black-Scholes-Merton(BSM)期权定价公式一、BSM期权定价公式假设26股价过程为几何布朗运动（GBM）允许卖空交易无摩擦，即没有交易成本、税收等证券无限可分标的资产不产生红利不存在套利机会证券可以连续交易所有期限的无风险利率同为常数二.Black-Scholes-Merton公式的推导2728欧式看涨期权的B-S-M公式欧式期权定价公式30汇总：无收益资产的欧式期权定价公式三、应用31例14.1假设沪深300现货指数，沪深300看涨指数期权2022年11月21日的信息如下:S=3800X=3750T-t=0.5年r=0.025波动率＝0.20则：d1=0.253，d2=0.112，N(d1)=0.5999，N(d2)=0.5446C=SN(d1)-Xexp(-rT)N(d2)=262.732例：考虑一支不付红利的股票，当前价格是20，无风险利率为12%，股价收益波动率为20%，现考虑以该股票为标的，到期期限为12个月，执行价格为21欧式看涨期权的定价。方法一、利用二叉树模型估计看涨期权的价格，参见excel方法二、利用Black-Scholes公式求解33练习341、参数如例题，利用B-S公式求解执行价为21，期限为1年的欧式看跌期权的价值。2、盐湖钾肥07.6.14日股价为46.86,平均波动率为50%，无风险利率为3.06%，到期期限为0.025年，求以盐湖钾肥为标的，执行价为15.1元的钾肥JTP1认沽权证的价值.(N(－14.374)=0,N(-14.295)=0)35青海盐湖钾肥2007年6月1日公告(节选）

鉴于公司认股认沽权证钾肥JTP1的行权价格15.1元与公司正股“盐湖钾肥（代码：000792）”的二级市场价格的价差巨大，最近三个交易日钾肥JTP1认沽权证日换手率均超过1000％，如果截止2007年6月22日，公司正股收盘价在15.1元以上，钾肥JTP1将没有任何投资价值和行权价值，敬请广大本公司权证投资者注意投资风险和行权风险。

   本公告前一交易日，盐湖钾肥的收盘价格为40.75元，“钾肥JTP1”认沽权证的行权价格为15.1元，内在价值为0.000元。采用Black－Sholes公式，以本公告前一交易日盐湖钾肥收盘价格40.75元、盐湖钾肥股价波动率49.90%、无风险利率3.06%计算，“钾肥JTP1”认沽权证的理论价值为0.000元。36四、BSM模型的金融学理解与贡献37（一）BSM模型的金融学理解

四、BSM模型的金融学理解与贡献38（一）BSM模型的贡献与不足Black-Scholes模型为金融衍生品的定价奠定了坚实的理论基础其给出的欧式期权的解析定价公式提高了市场的定价效率，为场内交易的期权提供了合理的理论价值参考。Black&Scholes提出的动态套期保值的思想对于其他类型期权的定价，放松市场条件后的期权合理价格计算等都提供了重要的解决思路参考。Black-Scholes模型基于一系列假设条件在现实中并不总是成立；同时模型没有考虑市场的微观结构。Black-Scholes模型对于一些更复杂的路径依赖期权和提前行权的期权无法给出解析表达式，低于标的资产价格不满足几何布朗运动的情况也没有讨论。39第三节

波动率的概念和计算一.波动率的相关概念40波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。但资产的实际波动率在市场中无法直接观测的，因此经常采取一些计算方法从标的资产价格或者衍生品价格信息中获取实际波动率的近似取值。二.历史波动率41

二.历史波动率42

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三.交易天数与日历天数四、隐含波动率与VIX指数44交易者可以很容易从屏幕上获得某个看涨期权的信息：四个月后到期、执行价格为100、当前交易价格为6.51，其标的资产现价为101.5，短期利率是8%，我们能够以某种方式用到这些信息吗？45隐含波动率（impliedvolatility）是代入到Black-Scholes公式中作为标的资产的波动率，使得最终求出的期权理论价格等于市场价格。从某种意义上讲，这是市场对于期权整个生命周期中波动率的观点。46

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波动率微笑与波动率期限结构48波动率微笑曲线或者波动率偏斜曲线：波动率随着执行价格的变化而变化的模式波动率期限结构：相同执行价格、不同到期日的期权合约的隐含波动率构成的曲线。波动率曲面：既反映执行价格影响，又反映期限影响的波动率图形。期权的重要贡献之一就是提供了投资者对市场波动性的态度！！波动率微笑与波动率期限结构49图14.1波动率微笑示意图波动率微笑与波动率期限结构50波动率微笑与波动率曲面51产生波动率微笑的原因，可能来自以下几个方面：1.实际标的资产价格不服从对数正态分布。2.实际标的资产的价格可能产生跳跃。除此以外，投资者的交易偏好，市场价格涨跌的不对称性，如投资者的暴跌恐惧症也会导致不同执行价的期权隐含波动率有所差异。2025/4/852波动率与VIX指数53第四节BSM模型的扩展应用一、有收益资产的期权定价

（一）有红利率标的资产的期权定价设期权有效期内连续红利率为q，类似远期价格确定，将B-S公式中的S0替换成S0e-qT，为（一）有红利率标的资产的期权定价例14.3.加曼－科尔哈根外汇期权定价公式56GarmanandKohlagen,1983

例14.457设美元对人民币的即期汇率为1美元=7.0人民币，美元的无风险利率为3.5%（连续复利），人民币的无风险利率为1.5%（连续复利），美元兑人民币的汇率年波动率为10%，美元兑人民币汇率波动满足几何布朗运动，设存在6个月期，执行价格为美元兑人民币6.9的欧式看涨美元外汇期权，试计算该期权当前的价格。（以1美元为例）例14.458

例14.559假设某投资者现在持有一份欧式看跌期权合约，该合约将在1年后到期。其标的股票在期权持有期内连续支付股息，其年红利率为4%。该股票当前的价格为50元，期权执行价格为50元，股票价格的年化波动率为20%，市场的无风险利率为5%。求该欧式看跌期权合约的价格。例14.560

设期权有效期内现金红利的现值为I，类似远期价格确定，将B-S公式中的S0替换成S0–I，为一、有收益资产的期权定价（二）支付现金红利资产的期权定价例14.662假设某投资者现在持有一份欧式看涨期权合约，该合约将在1年后到期。在此期间，标的股票分别在3个月后、6个月后和9个月后各支付定额现金红利，每次支付的金额为1.5元。该股票当前的价格为50元，期权执行价格为50元，股票价格的年化波动率为20%，市场的无风险利率为5%。求该期权合约当前的理论价格。例14.563

例14.5续

64二、权证定价65权证在我国分为股本权证和备兑权证，备兑权证类似于股票期权；股本权证类似国外的权证，由股票发行公司发行，认股权证的行驶需要发行新股，增加股票数量，因此此种权证的发行会导致股价下降，但仍然可以使用BSM公式。权证定价分析

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67权证定价分析68

行权收益为：

行权收益为：该价格会体现在权证发行后股票价格的波动上

权证定价分析69例14.7

某公司共发行100万股股票，每股价格为40美元，该公司正在考虑发行20万份权证，每份权证给权证持有者在5年后可以以每股60美元的价格买入股票的权利。假定无风险连续复利为每年3%，波动率为每年30%，公司不支付股息，则公司发行权证的消息公布后，公司股价会变动多少？70

三、信用风险度量KMV模型71核心：沿用merton模型，把企业与银行的借贷关系视为期权买卖关系，借贷关系中的信用风险信息隐含在这种期权交易之中，从而通过应