上第二章特殊三角形教案

上第二章特殊三角形教案一、教学目标1.学生能够理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义和性质。2.熟练掌握等腰三角形的三线合一性质，并能运用其进行相关的证明和计算。3.学会运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间观念，提高学生分析问题和解决问题的能力。二、教学重难点（一）教学重点1.等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定。2.勾股定理及其逆定理的理解和应用。（二）教学难点1.等腰三角形三线合一性质的灵活运用。2.勾股定理在实际问题中的应用以及逆定理的证明。三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）等腰三角形1.引入通过展示一些含有等腰三角形的建筑图片，如埃及金字塔的侧面、某些桥梁的结构等，让学生观察这些图形的特点，引出本节课的主题等腰三角形。2.定义讲解等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。3.性质让学生拿出事先准备好的等腰三角形纸片，通过对折等操作，探索等腰三角形的性质。教师总结并讲解等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角"）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成"三线合一"）。对于"等边对等角"的性质，给出证明：已知：在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C证明：作顶角∠BAC的平分线AD在△ABD和△ACD中AB=AC（已知）∠1=∠2（辅助线作法）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）对于"三线合一"性质，通过具体的例题进行讲解和应用：例1：已知等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=70°，求∠BAD的度数。解：因为AB=AC，AD是BC边上的中线所以AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC（三线合一）又因为∠B=70°所以∠BAC=180°2×70°=40°所以∠BAD=1/2∠BAC=20°4.判定引导学生思考：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？学生通过小组讨论、操作等方式进行探究，得出等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）。给出证明：已知：在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC于D在△ABD和△ACD中∠B=∠C（已知）∠ADB=∠ADC=90°（辅助线作法）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）5.练习巩固课本上的练习题，让学生独立完成，巩固所学的等腰三角形的性质和判定。补充练习题：已知等腰三角形的一个内角为50°，求其余两个内角的度数。（答案：50°，80°或65°，65°）（二）等边三角形1.引入在等腰三角形的基础上，提出问题：如果一个等腰三角形的三条边都相等，那它又有什么特殊的性质呢？从而引出等边三角形。2.定义讲解等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。3.性质让学生类比等腰三角形的性质，自主探索等边三角形的性质。教师总结并讲解等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。给出证明：已知：△ABC是等边三角形求证：∠A=∠B=∠C=60°证明：因为△ABC是等边三角形所以AB=BC=AC所以∠A=∠B，∠B=∠C又因为∠A+∠B+∠C=180°所以∠A=∠B=∠C=60°4.判定引导学生思考：如何判定一个三角形是等边三角形？学生通过讨论得出等边三角形的判定方法：三边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。对于"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"的判定方法，给出证明：已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°求证：△ABC是等边三角形证明：因为AB=AC所以∠B=∠C又因为∠A=60°，∠A+∠B+∠C=180°所以∠B=∠C=60°所以AB=BC=AC所以△ABC是等边三角形5.练习巩固课本上的练习题，让学生独立完成，巩固所学的等边三角形的性质和判定。补充练习题：已知等边三角形的边长为6cm，求它的高和面积。（答案：高为3√3cm，面积为9√3cm²）（三）直角三角形1.引入通过展示一些含有直角三角形的生活实例，如直角三角板、楼梯的侧面等，让学生感受直角三角形在生活中的广泛应用，从而引出本节课关于直角三角形的内容。2.定义讲解直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角所对的边叫做斜边，其余两边叫做直角边。3.性质让学生观察直角三角形，思考它有哪些特殊的性质。教师总结并讲解直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。对于"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的性质，给出证明：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线求证：CD=1/2AB证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE因为CD是斜边AB上的中线所以AD=BD又因为DE=CD所以四边形ACBE是平行四边形又因为∠ACB=90°所以平行四边形ACBE是矩形所以AB=CE所以CD=1/2AB4.判定引导学生思考：如何判定一个三角形是直角三角形？学生通过讨论得出直角三角形的判定方法：有一个角是直角的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。对于"如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形"的判定方法，给出证明：已知：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=1/2AB求证：△ABC是直角三角形证明：因为CD=1/2AB，AD=BD=1/2AB所以CD=AD=BD所以∠A=∠ACD，∠B=∠BCD又因为∠A+∠B+∠ACB=180°所以∠ACD+∠BCD=90°即∠ACB=90°所以△ABC是直角三角形5.练习巩固课本上的练习题，让学生独立完成，巩固所学的直角三角形的性质和判定。补充练习题：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边上的中线长。（答案：2.5）（四）勾股定理1.引入通过展示一个直角边分别为3和4的直角三角形，让学生计算斜边的长度，从而引出勾股定理。2.探索让学生在方格纸上画出直角边分别为3和4的直角三角形，测量斜边的长度，并计算三边长度的平方。再画出直角边分别为5和12的直角三角形，重复上述操作。引导学生观察计算结果，发现规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。3.定理讲解勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。给出常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等，让学生记住这些勾股数，便于计算和应用。4.证明勾股定理的证明方法有很多种，这里介绍一种常见的证法赵爽弦图法：以直角三角形的斜边c为边长构造一个大正方形，在大正方形中包含四个全等的直角三角形和一个小正方形。大正方形的面积为c²，四个直角三角形的面积和为4×1/2ab=2ab，小正方形的边长为(ba)，面积为(ba)²。所以c²=2ab+(ba)²展开得c²=2ab+b²2ab+a²即c²=a²+b²5.应用例1：在直角三角形中，已知两直角边分别为6和8，求斜边的长度。解：根据勾股定理，斜边c=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10例2：已知一个直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边的长度。解：设另一条直角边为a，则a=√(13²5²)=√(16925)=√144=12补充练习题：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（答案：能通过，因为门框对角线长约为2.236m，大于木板的宽2.2m）（五）勾股定理的逆定理1.引入提出问题：如果一个三角形的三边满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形吗？从而引出勾股定理的逆定理。2.探索让学生画出三边长度分别为3，4，5；5，12，13；6，8，10的三角形，测量最大角的度数，发现都是90°。再画出三边长度分别为2，3，4的三角形，测量最大角的度数，发现不是90°。引导学生观察三边长度与最大角之间的关系，得出猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。3.定理讲解勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。给出证明：已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a²+b²=c²求证：△ABC是直角三角形证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b则A'B'²=a²+b²因为a²+b²=c²所以A'B'=c在△ABC和△A'B'C'中AB=A'B'=cBC=B'C'=aCA=C'A'=b所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）所以∠C=∠C'=90°所以△ABC是直角三角形4.应用例1：判断由线段a=15，b=8，c=17组成的三角形是不是直角三角形。解：因为15²+8²=225+64=289，17²=289所以15²+8²=17²所以这个三角形是直角三角形。例2：一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？（答案：符合要求，因为AB²+AD²=BD²，BD²+BC²=DC²，所以△ABD和△DBC都是直角三角形）补充练习题：已知△ABC的三边分别为a=n²1，b=2n，c=n²+1（n>1），求证：△ABC是直角三角形。证明：a²+b²=(n²1)²+(2n)²=n⁴2n²+1+4n²=n⁴+2n²+1=(n²+1)²=c²所以△ABC是直角三角形。五、课堂小结1.引导学生回顾本节课所学的内容，包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义、性质、判定，勾股定理及其逆定理。2.让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，以及还存在哪些疑问。3.教师对学生的回答进行总结和补充，强调重点知识和易错点。六、作业布置1.课本上的课后练习题。2.补充作业：已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，求它的面积。若一个三角形的三边之比为3:4:5，周长为36，求这个三角形的面积。如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π取3）![圆柱蚂蚁问