高中数学函数单调性教学案例

高中数学函数单调性教学案例一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解函数单调性的概念，能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。掌握用定义证明函数单调性的一般步骤。2.过程与方法目标通过对函数单调性定义的探究，培养学生观察、分析、归纳和抽象概括的能力。在证明函数单调性的过程中，让学生体会逻辑推理的严谨性，提高推理论证能力。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生感受数学的严谨性，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点函数单调性的概念和判断函数单调性的方法。用定义证明函数单调性的步骤。2.教学难点对函数单调性概念的理解，特别是对"任意"的理解。用定义证明函数单调性时，如何通过作差变形来判断符号。三、教学方法1.讲授法：讲解函数单调性的概念、定义和证明方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论函数单调性的相关问题，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.探究法：通过引导学生探究函数单调性的定义，让学生亲身经历知识的形成过程，提高学生的探究能力。四、教学过程（一）导入新课1.展示生活中一些与单调性有关的实例，如气温变化曲线、股票价格走势图等，引导学生观察曲线的上升和下降趋势，让学生感受单调性在实际生活中的体现。2.提问学生：在数学中，如何描述函数的这种变化趋势呢？从而引出本节课的主题函数的单调性。（二）探究新知1.函数单调性的概念给出几个具体的函数，如\(y=2x+1\)，\(y=x^2\)，让学生观察函数图象的变化情况，引导学生描述函数值随自变量的变化而变化的规律。以函数\(y=2x+1\)为例，当\(x\)的值逐渐增大时，\(y\)的值也逐渐增大；当\(x\)的值逐渐减小时，\(y\)的值也逐渐减小。对于函数\(y=x^2\)，当\(x\in(\infty,0)\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\in(0,+\infty)\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。引导学生归纳出函数单调性的概念：一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数（或减函数）。强调概念中的"任意"两个字，通过举例说明如果不满足"任意"，则函数不一定具有单调性。例如，对于函数\(f(x)=x^2\)，\(f(1)=1\)，\(f(2)=4\)，虽然\(1<2\)且\(f(1)<f(2)\)，但不能说\(f(x)=x^2\)在\(R\)上是增函数，因为当\(x_1=2\)，\(x_2=1\)时，\(2<1\)，但\(f(2)=4\)，\(f(1)=1\)，\(f(2)>f(1)\)。2.函数单调性的判断方法图象法让学生画出一些常见函数的图象，如\(y=x\)，\(y=x^2\)，\(y=\frac{1}{x}\)等，通过观察图象的上升和下降趋势，判断函数的单调性。例如，函数\(y=x\)的图象在\(R\)上是上升的，所以\(y=x\)在\(R\)上是增函数；函数\(y=x^2\)的图象在\((\infty,0)\)上是下降的，在\((0,+\infty)\)上是上升的，所以\(y=x^2\)在\((\infty,0)\)上是减函数，在\((0,+\infty)\)上是增函数。定义法给出函数\(f(x)=2x+1\)，让学生用定义证明它在\(R\)上是增函数。证明步骤：设\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)上的任意两个实数，且\(x_1<x_2\)。计算\(f(x_1)f(x_2)\)：\(f(x_1)f(x_2)=(2x_1+1)(2x_2+1)=2(x_1x_2)\)。判断\(f(x_1)f(x_2)\)的符号：因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，那么\(2(x_1x_2)<0\)，即\(f(x_1)f(x_2)<0\)，所以\(f(x_1)<f(x_2)\)。得出结论：由定义可知，函数\(f(x)=2x+1\)在\(R\)上是增函数。总结用定义证明函数单调性的一般步骤：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是给定区间上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。作差：计算\(f(x_1)f(x_2)\)。变形：对\(f(x_1)f(x_2)\)进行变形，使其能够判断符号。定号：根据已知条件，判断\(f(x_1)f(x_2)\)的符号。结论：根据定义得出函数在给定区间上的单调性。（三）例题讲解例1.证明函数\(f(x)=x^2+2x\)在\((\infty,1]\)上是增函数。证明：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是\((\infty,1]\)上的任意两个实数，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=(x_1^2+2x_1)(x_2^2+2x_2)=(x_2^2x_1^2)+2(x_1x_2)=(x_2x_1)(x_2+x_12)\)。变形：因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，又因为\(x_1\)，\(x_2\in(\infty,1]\)，所以\(x_1+x_2<2\)，即\(x_2+x_12<0\)。定号：那么\((x_2x_1)(x_2+x_12)<0\)，即\(f(x_1)f(x_2)<0\)，所以\(f(x_1)<f(x_2)\)。结论：由定义可知，函数\(f(x)=x^2+2x\)在\((\infty,1]\)上是增函数。例2.判断函数\(f(x)=\frac{1}{x1}\)在\((1,+\infty)\)上的单调性，并证明。证明：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是\((1,+\infty)\)上的任意两个实数，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=\frac{1}{x_11}\frac{1}{x_21}=\frac{x_21(x_11)}{(x_11)(x_21)}=\frac{x_2x_1}{(x_11)(x_21)}\)。变形：因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，又因为\(x_1\)，\(x_2\in(1,+\infty)\)，所以\(x_11>0\)，\(x_21>0\)。定号：那么\(\frac{x_2x_1}{(x_11)(x_21)}>0\)，即\(f(x_1)f(x_2)>0\)，所以\(f(x_1)>f(x_2)\)。结论：由定义可知，函数\(f(x)=\frac{1}{x1}\)在\((1,+\infty)\)上是减函数。通过这两个例题，让学生进一步掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，同时强调在证明过程中要注意的细节。（四）课堂练习1.证明函数\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函数。2.判断函数\(f(x)=x^3\)在\(R\)上的单调性，并证明。3.已知函数\(f(x)=\frac{2x+1}{x1}\)，判断它在\((1,+\infty)\)上的单调性，并证明。让学生在练习本上完成这些题目，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误，然后请几位学生上台展示解答过程，师生共同点评。（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括函数单调性的概念、判断函数单调性的方法（图象法和定义法）以及用定义证明函数单调性的步骤。2.强调本节课的重点和难点，让学生再次明确需要掌握的知识和技能。3.鼓励学生在课后继续思考函数单调性的相关问题，加深对本节课内容的理解。（六）布置作业1.书面作业：教材第[X]页练习第[X]题，习题第[X]题。2.思考作业：函数单调性与函数图象有什么关系？除了本节课所学的方法，还有其他判断函数单调性的方法吗？通过布置作业，让学生巩固本节课所学的知识，同时培养学生的思考能力和自主学习能力。五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数单调性的概念和判断方法有了一定的理解和掌握，能够用定义证明一些简单函数的单调性。在教学过程中，采用了多种教学方法，如讲授法、讨论法和探究法，让学生积极参与到课堂教学中来，提高了学生的学习兴趣和学习效果。同时，通过例题讲解和课堂练习，及时巩固了所学知识，培养了学生的推理论证能力。然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，在讲解函数单调性的概念时