椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程教案一、教学目标1.知识与技能目标理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。能根据给定条件求椭圆的标准方程，会运用椭圆的标准方程解决简单的实际问题。2.过程与方法目标通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生观察、分析、归纳和类比推理的能力，体会数学知识的形成过程。借助椭圆方程解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用意识。3.情感态度与价值观目标通过对椭圆定义和标准方程的探究，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。体会数学的对称美、简洁美，感受数学在实际生活中的广泛应用，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点椭圆的定义和椭圆标准方程的推导。椭圆标准方程的形式及其特点，能根据条件确定椭圆的标准方程。2.教学难点椭圆定义中"常数大于|F₁F₂|"这一条件的理解。椭圆标准方程推导过程中坐标法的运用以及化简过程中根式的处理。三、教学方法1.讲授法：讲解椭圆的定义、标准方程的概念和推导过程，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过创设问题情境，引导学生自主探究椭圆的定义，培养学生的探究能力和创新思维。3.讨论法：组织学生讨论椭圆标准方程的推导方法和特点，促进学生之间的交流与合作，拓宽学生的思维。4.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用椭圆标准方程解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课1.展示图片展示一些含有椭圆的实际图片，如椭圆形的操场、卫星运行轨道、椭圆镜面等，让学生观察图片中的椭圆形状，引导学生思考椭圆在生活中的广泛应用，从而引出本节课的主题椭圆及其标准方程。2.提出问题教师提问："同学们，在我们的生活中，经常会看到椭圆形的物体，那么大家能说一说椭圆有哪些特征吗？你们想不想知道如何用数学语言来准确地描述椭圆呢？"通过这些问题激发学生的好奇心和求知欲，为新课的学习做好铺垫。（二）讲解新课1.椭圆的定义实验演示取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的\(F₁\)、\(F₂\)两点，当绳长大于\(F₁\)、\(F₂\)两点间的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。引导学生思考教师提出问题："在这个过程中，哪些量是固定不变的，哪些量是变化的？"引导学生观察实验过程，得出：两个定点\(F₁\)、\(F₂\)是固定的，绳长是固定的，笔尖（动点）到两定点\(F₁\)、\(F₂\)的距离之和是固定的。归纳椭圆定义平面内与两个定点\(F₁\)、\(F₂\)的距离之和等于常数（大于\(|F₁F₂|\)）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用\(2c\)表示。强调定义中的要点强调"平面内"这个条件，说明椭圆是在一个二维平面上的图形；突出"距离之和等于常数（大于\(|F₁F₂|\)）"这一关键条件，通过举例说明若距离之和等于\(|F₁F₂|\)，则轨迹是线段\(F₁F₂\)；若距离之和小于\(|F₁F₂|\)，则轨迹不存在。2.椭圆标准方程的推导建立直角坐标系以经过椭圆两焦点\(F₁\)、\(F₂\)的直线为\(x\)轴，线段\(F₁F₂\)的垂直平分线为\(y\)轴，建立平面直角坐标系。设\(M(x,y)\)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为\(2c(c\gt0)\)，则\(F₁(c,0)\)，\(F₂(c,0)\)。根据椭圆定义列方程由椭圆的定义可知\(|MF₁|+|MF₂|=2a\)（\(2a\gt2c\)），根据两点间距离公式可得：\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(xc)^2+y^2}=2a\)化简方程首先将方程\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(xc)^2+y^2}=2a\)移项得：\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\sqrt{(xc)^2+y^2}\)两边平方得：\((x+c)^2+y^2=4a^24a\sqrt{(xc)^2+y^2}+(xc)^2+y^2\)展开并化简得：\(4cx4a^2=4a\sqrt{(xc)^2+y^2}\)即\(a^2cx=a\sqrt{(xc)^2+y^2}\)两边再平方得：\(a^42a^2cx+c^2x^2=a^2[(xc)^2+y^2]\)展开并化简得：\((a^2c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2c^2)\)令\(b^2=a^2c^2\)（\(b\gt0\)），则方程化为：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）讲解焦点在\(y\)轴上的椭圆标准方程类比焦点在\(x\)轴上椭圆标准方程的推导过程，引导学生思考若以经过椭圆两焦点\(F₁\)、\(F₂\)的直线为\(y\)轴，线段\(F₁F₂\)的垂直平分线为\(x\)轴，建立平面直角坐标系，能否推导出椭圆的标准方程。让学生自己动手推导，得出焦点在\(y\)轴上的椭圆标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）。比较两种标准方程的特点引导学生观察焦点在\(x\)轴和\(y\)轴上的椭圆标准方程，比较它们的异同点。相同点：都是二元二次方程，都具有\(a\gtb\gt0\)，\(a^2=b^2+c^2\)的关系；不同点：焦点在\(x\)轴上的椭圆标准方程中\(x^2\)的分母是\(a^2\)，\(y^2\)的分母是\(b^2\)；焦点在\(y\)轴上的椭圆标准方程中\(y^2\)的分母是\(a^2\)，\(x^2\)的分母是\(b^2\)。可以通过"分母哪个大，焦点就在哪个轴上"来快速判断椭圆焦点的位置。（三）例题讲解1.例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是\((2,0)\)，\((2,0)\)，并且经过点\((\frac{5}{2},\frac{3}{2})\)，求它的标准方程。分析已知椭圆的焦点坐标，可确定椭圆的焦点在\(x\)轴上，且\(c=2\)。设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），再利用椭圆上一点到两焦点距离之和等于\(2a\)，求出\(a\)的值，进而求出\(b\)的值，得到椭圆的标准方程。解答由椭圆的焦点坐标\((2,0)\)，\((2,0)\)，可知\(c=2\)。根据椭圆的定义，\(2a=\sqrt{(\frac{5}{2}+2)^2+(\frac{3}{2})^2}+\sqrt{(\frac{5}{2}2)^2+(\frac{3}{2})^2}\)\(=\sqrt{(\frac{9}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}+\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}\)\(=\sqrt{\frac{81+9}{4}}+\sqrt{\frac{1+9}{4}}\)\(=\sqrt{\frac{90}{4}}+\sqrt{\frac{10}{4}}\)\(=\frac{3\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{2}\)\(=2\sqrt{10}\)所以\(a=\sqrt{10}\)。又因为\(b^2=a^2c^2=104=6\)。所以椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1\)。总结求解椭圆标准方程的步骤：先根据焦点位置设出标准方程，再利用椭圆的定义或已知条件求出\(a\)、\(b\)的值，最后写出椭圆的标准方程。2.例2求焦点在\(y\)轴上，且经过点\((3,4\sqrt{2})\)，\((\frac{9}{4},5)\)的椭圆的标准方程。分析因为焦点在\(y\)轴上，设椭圆的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），将已知两点代入方程，得到关于\(a\)、\(b\)的方程组，解方程组即可求出\(a\)、\(b\)的值，从而得到椭圆的标准方程。解答设椭圆的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）。因为点\((3,4\sqrt{2})\)，\((\frac{9}{4},5)\)在椭圆上，所以有\(\begin{cases}\frac{(4\sqrt{2})^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\\\frac{5^2}{a^2}+\frac{(\frac{9}{4})^2}{b^2}=1\end{cases}\)设\(\frac{1}{a^2}=m\)，\(\frac{1}{b^2}=n\)，则方程组化为\(\begin{cases}32m+9n=1\\25m+\frac{81}{16}n=1\end{cases}\)由\(32m+9n=1\)可得\(n=\frac{132m}{9}\)，将其代入\(25m+\frac{81}{16}n=1\)得：\(25m+\frac{81}{16}×\frac{132m}{9}=1\)\(25m+\frac{9(132m)}{16}=1\)\(400m+9288m=16\)\(112m=7\)\(m=\frac{1}{16}\)将\(m=\frac{1}{16}\)代入\(n=\frac{132m}{9}\)得：\(n=\frac{132×\frac{1}{16}}{9}=\frac{12}{9}=\frac{1}{9}\)（舍去，因为\(n\gt0\)）重新计算，由\(32m+9n=1\)可得\(m=\frac{19n}{32}\)，将其代入\(25m+\frac{81}{16}n=1\)得：\(25×\frac{19n}{32}+\frac{81}{16}n=1\)\(\frac{25225n}{32}+\frac{81}{16}n=1\)\(25225n+162n=32\)\(63n=7\)\(n=\frac{1}{9}\)将\(n=\frac{1}{9}\)代入\(m=\frac{19n}{32}\)得：\(m=\frac{19×\frac{1}{9}}{32}=0\)（舍去，因为\(m\gt0\)）重新设\(\frac{1}{a^2}=m\)，\(\frac{1}{b^2}=n\)，由\(\begin{cases}\frac{(4\sqrt{2})^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\\\frac{5^2}{a^2}+\frac{(\frac{9}{4})^2}{b^2}=1\end{cases}\)由第一个方程得\(32m+9n=1\)，即\(n=\frac{132m}{9}\)，代入第二个方程：\(25m+\frac{81}{16}×\frac{132m}{9}=1\)\(25m+\frac{9288m}{16}=1\)\(400m+9288m=16\)\(112m=7\)\(m=\frac{1}{16}\)把\(m=\frac{1}{16}\)代入\(n=\frac{132m}{9}\)得：\(n=\frac{132×\frac{1}{16}}{9}=\frac{12}{9}=\frac{1}{9}\)（错误，重新计算）由\(\begin{cases}\frac{32}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\\frac{25}{a^2}+\frac{81}{16b^2}=1\end{cases}\)令\(\frac{1}{a^2}=u\)，\(\fr