第一课时根式及分数指数幂教案

第一课时根式及分数指数幂教案一、教学目标1.知识与技能目标理解n次方根与根式的概念，能根据定义求一个数的n次方根。掌握根式的性质，并能运用其进行化简和计算。理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂与根式的互化。能运用分数指数幂的运算性质进行简单的指数运算。2.过程与方法目标通过对n次方根概念的探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。在分数指数幂与根式互化的过程中，让学生体会转化的数学思想方法。通过指数运算性质的应用，提高学生的运算能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学概念的形成过程，培养学生严谨的治学态度。通过合作学习，培养学生的团队精神和交流能力。二、教学重难点1.教学重点n次方根与根式的概念及性质。分数指数幂的概念和运算性质。2.教学难点n次方根概念中对根指数n的奇偶性讨论。分数指数幂概念的理解，尤其是负分数指数幂的意义。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.提出问题通过多媒体展示两个问题：问题1：如果\(x^2=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的什么？问题2：如果\(x^3=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的什么？2.引导思考让学生思考并回答这两个问题，引出本节课要学习的内容根式及分数指数幂。（二）讲解新课（30分钟）1.n次方根的概念（10分钟）给出定义一般地，如果\(x^n=a\)（\(n\inN^*,n>1\)），那么\(x\)叫做\(a\)的n次方根。举例说明例如，因为\(2^2=4\)，所以\(2\)是\(4\)的二次方根；因为\((2)^2=4\)，所以\(2\)也是\(4\)的二次方根。因为\(2^3=8\)，所以\(2\)是\(8\)的三次方根。强调根指数n的奇偶性对n次方根的影响当n为偶数时，正数\(a\)的n次方根有两个，它们互为相反数，记为\(\pm\sqrt[n]{a}\)；负数没有偶次方根；\(0\)的偶次方根是\(0\)。当n为奇数时，\(a\)的n次方根只有一个，记为\(\sqrt[n]{a}\)，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，\(0\)的奇次方根是\(0\)。2.根式的概念（5分钟）定义式子\(\sqrt[n]{a}\)叫做根式，这里n叫做根指数，\(a\)叫做被开方数。举例如\(\sqrt[3]{8}\)，\(\sqrt[4]{16}\)等都是根式。3.根式的性质（10分钟）引导探究让学生思考\((\sqrt[n]{a})^n\)等于什么？\(\sqrt[n]{a^n}\)又等于什么？（分n为奇数和偶数两种情况讨论）得出性质性质1：\((\sqrt[n]{a})^n=a\)（\(n\inN^*,n>1\)）。当n为奇数时，\(\sqrt[n]{a^n}=a\)；当n为偶数时，\(\sqrt[n]{a^n}=|a|=\begin{cases}a,&a\geq0\\a,&a<0\end{cases}\)。性质应用例1：求下列各式的值（1）\((\sqrt[3]{8})^3\)；（2）\(\sqrt[4]{(2)^4}\)；（3）\(\sqrt{(\pi4)^2}\)。解：（1）\((\sqrt[3]{8})^3=8\)；（2）\(\sqrt[4]{(2)^4}=|2|=2\)；（3）\(\sqrt{(\pi4)^2}=|\pi4|=4\pi\)。4.分数指数幂的概念（5分钟）引入分数指数幂为了根式运算的方便，我们引入分数指数幂的概念。规定：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)（\(a>0\)，\(m,n\inN^*\)，且\(n>1\)）；\(a^{\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\)（\(a>0\)，\(m,n\inN^*\)，且\(n>1\)）。强调注意事项分数指数幂是根式的另一种表示形式，它不能对底数\(a\)取负数。举例说明如\(2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)；\(4^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4^3}}=\frac{1}{8}\)。（三）课堂练习（15分钟）1.基础练习（1）求下列各式的值①\(\sqrt[5]{32}\)；②\(\sqrt[3]{(2)^3}\)；③\(\sqrt[4]{81}\)；④\(\sqrt{(\frac{1}{3})^2}\)。（2）用分数指数幂表示下列各式①\(\sqrt[3]{x^2}\)；②\(\frac{1}{\sqrt[4]{a^3}}\)；③\(\sqrt[5]{(mn)^4}\)。2.提高练习（1）计算\((27^{\frac{1}{3}}+16^{\frac{3}{4}})\times(9^{\frac{1}{2}}8^{\frac{2}{3}})\)。（2）已知\(a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}=3\)，求\(a+a^{1}\)的值。（四）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，包括n次方根、根式的概念和性质，分数指数幂的概念和运算性质。2.教师总结强调：n次方根的概念是理解根式和分数指数幂的基础，要注意根指数n的奇偶性对结果的影响。根式的性质是进行根式化简和计算的依据，要熟练掌握。分数指数幂是根式的一种简便表示，其运算性质与整数指数幂类似，但要注意底数的取值范围。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业教材P59练习A组第1、2、3、4题；练习B组第1、2题。2.思考作业思考分数指数幂与指数函数之间的联系。五、教学反思通过本节课的教学，学生对n次方根、根式及分数指数幂的概念和性质有了一定的理解和掌握。在教学过程中，通过实例引入、