初中数学总知识点

一.总知识点

（-）几何知识点

厂1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简单叙述为：等边对等

角）

2.等腰三角形性质定理的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底

边上的高互相重合.（也称：三线合一）

三角向3.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形,简单叙述为：

等角对等边.

4.等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

3.判定一个三角形是等边三角形的方法有三种：分别是

证明三角形的三条边相等；

证明三角形的三个内角相等；

证明三角形是等腰三角形，其中有一个角是60°.

厂6.直角三角形的定理:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它

所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半。

直角37.直角三角形勾股定理：直角三角形两条直角边（a,b）的平方和等于斜边

三角形C的平方.即a2+b2=c2.

（8.勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那

么这个三角形是直角三角形.

9.线段垂直平分线的定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

10.中垂线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

11.三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离

相等，此点为三角形的外心。

12三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

13.三角形的重心：三条中线的交点。性质：⑴重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2：lo⑵重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。⑶重心到三

角形3个顶点距离平方的和最小。⑷在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的

算术平均数。⑸三角形内到三边距离之积最大的点

14.角平分线保理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

Y逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线

一上。

15.证明三角形全等的方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（2）两边及其夹

角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）

⑷两角及其中一角的对边对应相等的两个二角形全等。

16.全等三角形的性质定理：全等三角形的对应边、对应角相等。

线段：有两个端点

17.，射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线，有一个端点。

、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，没有端点。

18.基本定理：⑴两点之间的所有连线中，线段最短。⑵经过两点有且只有一条直线。

⑶同角或等角的补角相等⑷同角或等角的余角相等。⑸过一点有且只有一条直线和

已知直线垂直。⑹直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。⑺三

角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边。⑻三角形的一个外角等于和

它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。⑼两

点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

19.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线

上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

20.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半/=色土2，S=lh

2

21.平行定理1：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行定理2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

平行判定方法1：同位角相等，两直线平行。

平行判定方法2：内错角相等，两直线平行。

平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。

22.平行线性质定理1：两直线平行，同位角相等。

平行线性质定理2：两直线平行，内错角相等。

平行线性质定理3：两直线平行，同旁内角互补。

23.三角形的三边大小关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

24.平行四边形

⑴定义：两组对边分别平行的四边形。

⑵性质：①平行四边形的对边相等；②对角相等；③对角线互相平分。

25.平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边

分别相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

26.菱形

⑴定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；③每一条对角线平分一组对

角。④面积公式：s=丝即对角线乘积的一半。

2

27.菱形的判定方法：（1）一组邻边相等的平行四边是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四

边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。

28.矩形的定义及其性质：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。矩形的对角线相等，四

个角都是直角。

29.矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形。

30.正方形定义及其性质：一组邻边相等的矩形是正方形。（1）正方形的四条边都相等；（2）

正方形的四个内角都相等切都等于90度；（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分；（4）

正方形的每一条对角线平分一组对角；（5）正方形的每组对边互相平行。（6）既是中心对称

图形又是轴对称图形。

31.正方形的判定方法：

r（1）对角线相等的菱形是正方形；

先证明菱形j（2）四边均相等，对角线相等的四边形是正方形；

〔（3）有一个角为直角的菱形是正方形；

「（4）一组邻边相等的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直的矩形是正方形；

先证明矩形（6）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方；

1（7）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方；

（8）对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形。

32.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

33.等腰梯形⑴定义两条腰相等的梯形是等腰梯形。⑵性质：①等腰梯形同一底上的

两个内角相等；②对角线相等。

34.等腰梯形的判定方法：⑴同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。⑵对角线相等的

梯形是等腰梯形。

35.直角梯形的定义：一条腰和底垂直的梯形是直角梯形。

36.多边形的定义及其性质：①在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相

连组成的封闭图形称为多边形。②在平面内，内角和边都相等的多边形为正多边形。③外角：

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。④n边形的内

角和等于［-2）180°,外角和为360度。⑤n边形的对角线公式：从n边形的一个顶点可以

引出（〃-3）条对角线；n边形共有“〃；,）条对角线。

37.圆

⑴定义：在平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点叫做圆心，定长

叫做半径。

⑵与圆相关的概念：

①圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。②弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆

心的弦称为直径。③弦心距：圆心到弦的距离。

⑶与圆有关的角

①圆心角：顶点在圆心的角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

②圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角.

圆周角的性质：I在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆

中相等圆周角所对的弧也相等.

II半圆或直径所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.

III一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半.

③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角的性质：I弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心

角的一半。

II两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

④圆心角与圆周角的关系：在同圆或等圆中，同弧或同弦所对的圆周角等于二分之

一的圆心角。

⑷圆的切线

①定义：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

②性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

③判定定理：I经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。II与圆

有惟一公共点的直线是圆的切线；III若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆

的切线；

④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分

两条切线的夹角。

⑤相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引

两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）。

A

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

⑥切割弦定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长

的比例中项

几何语言：如图，PT切圆O于点T,PBA是圆O的割线，则有：7

=PA・PB

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积

相等。

几何语言：PBAPDC是圆。的割线，贝U有：PD・PC=PB・PA.

⑸与圆有关性质

①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

推论一:平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

②圆心角、弧、弦心距、弦之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那

么它们所对应的其余各组量分别相等。

⑹与圆有关的三种位置关系

①点与圆的位置关系：

点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的数量大小关系决定的，

即：I点在圆外二三：>d>r

II点在圆上三二亍d=r

Ill点在圆内F>d<r

②直线与圆的位置关系：

r相交

直线和圆的位置关系1相切

I相离

判断直线和圆的位置关系的方法：

方法1:从公共点的个数来判断

当直线和圆有两个公共点时直线和圆相交；

当直线和圆有且只有一个公共点时，直线和圆相切；

当直线和圆没有公共点时，直线和圆相离.

方法2:比较圆心到直线的距离d与半径r的大小

当d<r时，直线和圆相交；

当d=i■时，直线和圆相切；

当d>r时，直线和圆相离.

③圆与圆的位置关系：

方法1：比较两圆的半径与圆心距的大小

设两圆的半径分别为R和r,两圆心之间的距离为d

T当d>R+r时，两圆外离；

II当（1=口+「时，两圆外切；

III当R—r<d<R+r时，两圆相交；

IV当d=R—r时（R>r）两圆内切；

V当d<R—r（R>r）时，两圆内含。

反之也成立。

方法2：从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位

置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。

T外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的每一点都在另一个圆的外部；

II外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

III相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个

圆的内部；

IV内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，上的点在。Oi的内部；

V内含：两个圆没有公共点，。。2上的点都在。的内部.

⑺弧长与扇形的面积

n7vr

在半径为R的圆中，〃。的圆心角所对的弧长公式：I二

180

njiR2

S扇形

如果扇形的半径为R,圆心角为〃。的扇形面积公式：360

S屈^形=-cIR

或是2.a是扇形的弧长，R是扇形的半径)

⑻圆锥的侧面积:

①圆锥的侧面展开图为扇形.

②设圆锥的底面半径为r,母线长为1,侧面展开图中扇形的圆心角度数为n,那么圆锥

的侧面积为：加7或36°.

③圆锥的侧面展开图是扇形，其半径等于母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长.设圆

锥的底面半径为r,母线长为i,则它的侧面积：Sfuritri,S全=5恻+$底=mr(i+r).

⑼确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆。

38.相似图形

⑴比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条

线段叫成比例线段，简称比例线段。

⑵比例的基本性质：如果巴n=上r，那么ad=bc,即内项积等于外项积；

bd

⑶合比性质：巴=上一巴二2=即前后项和比后项，比值不变叫合比。

bdbd

，八acm,八a+c+...+ma

⑷等比性质：—=—=...=—(b+d+...+w0)-------------=一；

bdnb+d+...+nb

⑸黄金分割：若线段AB上的一点P,把线段AB分成AP、BP两部分，并且使一=—，则

APAB

称线段AB被C黄金分割。

⑹相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多

边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似多边形的性质：

相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。

相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。

相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形

的相似比。

相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。

相似多边形性质定理5：若相似比为1,则全等

⑺相似三角形：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

①相似三角形的性质：

I相似三角形对应角相等，对应边成比例；

II相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切

圆半径等）的比等于相似比。

III相似三角形周长的比等于相似比

IV相似三角形面积的比等于相似比的平方。

V相似三角形内，外切圆直径比和周长比都和相似比相同，内，外切圆面积比是相似

比的平方

②相似三角形的判定方法：

T两角对应相等的两个三角形相似；

II三边对应成比例的两个三角形相似；

III两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

⑻平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

⑼基本定理：⑴如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，

那么这条直线平行于三角形的第三边。

⑵平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形

三边对应成比例

⑩基本点：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

⑪直角三角形相似判定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角

形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

39.视图与投影

①常见的几何体的三视图的画法：

I平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影.

II中心投影：探照灯、手电简、台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线

形成的投影称为中心投影。

m视点：眼睛的位置称为视点.视线：由视点发出的线称为视线.盲区：眼睛看不

到的地方称为盲区.称为中心投影。

40.轴对称图形

(1)轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。这时，我们也说

这个图形关于这条直线对称。

(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，

那么称这两个图形成轴对称。

(3)轴对称图形的性质：①对称轴是一条直线。②在轴对称图形中，对称轴两侧的

对应点到对称轴的距离相等。③在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全

重合。④如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的

垂直平分线。⑤关于某条直线对称的两个图形是全等形。

(4)轴对称的判定方法：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两

个图形关于这条直线对称。

⑸常见的轴对称图形：等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形、圆和正多边

形、矩形、角、五角星

41.中心对称图形

⑴中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形互

相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

⑵中心对称：在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180。后，能与另一个图形重

合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转180°

后重合的两个点叫做对应点。

⑶中心对称图形的性质：①在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称

中心且被对称中心平分。②成中心对称的两个图形全等。

⑷中心对称的判定方法：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，

那么这两个图形关于这一点对称。

⑸常见的中心对称图形：线段、矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、边数为偶数

的正多边形。

42.既是轴对称图形又是中心对称图形：正方形、圆、矩形、菱形、边数为偶数的正

多边形。

43.图形的平移

(1)定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

(2)性质：①平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移前后新旧两图形全

等。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

44.图形的旋转

(1)定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动

称为旋转。这个定点称为旋转中心。

(2)性质：①经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；②

任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；③对应点到旋转中心的距离相等。

(―)实数

1.实数的分类

’正有理数：比0大的数。

广正实数V

［正无理数：无限不循环的正的小数。

实数j零

r负有理数：在正数前面加的数；比o小的数。

负实数1负无理数：无限不循环的负的小数。

2.实数大小的比较

(1)在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。

(2)正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大，两个负数，绝对值大的较小。

3.相反数

相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数。设a

与b互为相反数，则有a+b=O

4.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。①正数的绝对值

是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②任何数的绝对值为非负数，即

网>0(a为任意实数)

5.实数的运算法则：

(1)加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝

对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值。

(2)减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

(3)乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

(4)除法法则：①除以一个数等于乘以这个数的倒数。(注意：0没有倒数)②两数相

除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。③0除以任何一个不等于0的数，都等于

0o

6.实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴

上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数

7.有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幕，a叫做

底数，n叫做指数

8.平方根：如果一个数x的平方等于a,即那么这个数x叫做a的平方

根。如果此x为正数，则x为a的算术平方根。一个正数有两个平方根；0只有一个平

方根，是0本身；负数没有平方根。

9.开平方：求一个数a的平方根的运算。开平方和平方运算是互逆运算。

a(a>0)

V?-0(a=0)

Y

-a(a<0)

10.最简二次根式：⑴被开方数的因数是整数，因式是整式；⑵被开方数中不含有能

开的尽的因式；⑶被开方数不含分母。

分母有理化的方法：⑴如果分母是单项式，则分子分母同时乘以此分母；⑵如果分

母是多项式，则采用平方差公式。

11.立方根：如果一个数的立方等于a,即犬=。，那么这个数x叫做a的立方根。正

数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

12.开立方：求一个数a的立方根的运算。开立方与立方运算是互逆运算。

13.科学计数法和有效数字

①科学计数法：将较大的正数写成axlO"的形式，其中指数n为原数的

整数位数减1;将小于1的正数表示为axlO"的形式，其中＜10,指数n为第一

位有效数字前零的个数的相反数。

②有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数为止，

所有的数字都叫这个数的有效数字。

(三)代数式

1.单项式：①数与字母的积称为单项式。单独的数或字母也是单项式。②所有字母的

指数和叫做单项式的次数。③单项式中的数字因数称为单项式的系数

2.多项式：几个单项式的和。次数最高项的次数为此多项式的次数。

3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

4.合并同类项：把同类项合并成一项为合并同类项。在合并同类项时，我们把同类项

的系数相加，字母和字母的指数不变(用于整式的加减运算)。

5.代数式在运算时去括号的法则：①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去

掉后，原括号里各项的符号都不改变；②括号前是“一”号，把括号和它前面的

号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

6.同底数幕的乘除法法则：①同底数幕相乘，底数不变，指数相加：a"二产②

同底数幕相除，底数不变，指数相减：am^an=am-n

褰的乘方和积的乘方：①募的乘方：底数不变，指数相乘=屋""②积的乘方：各

因式分别乘方③分式乘方：分子分母分别乘方：f-1=—

\a)an

7.募函数和指数函数

(1)基函数：底数是变量，指数是常数；如：x2

(2)指数函数：底数是常数，指数是变量。如：2工

(3)负指数幕：底数是常数，指数是负整数。如：2”

注意：任何不为零的数的-n(n为正整数)次幕等于这个数n次塞的倒数

即a-n=—((7^0)

an

8.整式的乘法法则：①单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相

同字母的事分别相乘,其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.

②单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每

一项,再把所得的积相加.

③多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式

每一项,再把所的积相加.

9.整式的除法法则：①单项式相除，把系数、同底数塞分别相除后，作为商的因式；对于

只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.

②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加

10.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。^(a+bla-b)=a2-b-

11.完全平方公式：两数和或差平方，展开式它共三项。首平方与尾平方，首尾二倍中间放。

即(。土炉=a2+2ab+b2

12.立方和公式：a3+Z?3=(a+Z?)(tz2-(ZZJ+ZJ2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b^a~+ab+Z?2)

A

13.分式的定义和性质：⑴整式A除以整式B,可以表示成二形式，如果除式B中含有字母,

B

那么伊。0)称为分式。⑵当分母的值等于零时，分式无意义；当分子为零，分母不为零

时，分式的值为零。(3)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不

等于零的整式，分式的值不变。

14.(1)分式通分时最简公分母的确定方法：①算式中只有一项是分式，最简公分母就是

这个分式的分母。②算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中任何

一个分母③当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字

母的最高次幕的乘积。④当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式

分解，最简公分母则是每个因式的最高次幕的乘积。⑤当算式中分式的分子与分母都有公因

式时，可以先把这个分式约分，再根据情况确定最简公分母。

(2)分式约分时分子、分母公因式的判断方法：①当分子、分母都是单项式时，找出

分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次累，把系数的最大公约数和相同字母的最

低次累的积作为分子、分母的公因式。②当分子、分母含有多项式，找公因式时，首先将各

多项式分解因式，然后找分子、分母系数的最大公约数和相同因式的最低次累，把系数的最

大公约数和相同因式的最低次惠的积作为分子、分母的公因式。

15.分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；（2）异分母的

分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。

16.分式的乘除法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的

积作为积的分母（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

（四）函数

1.直角坐标系中点的位置

在直角坐标系中，点A（x,y）,则有：

（1）x>0,y〉0=点A在第■象限；

⑵x<0,y〉0o点A在第二象限；

（3）x<0,y<0点A在第三象限；

⑷x〉0,y<0点A在第四象限。

2..一次函数

（1）定义：把形如y=fcr+b（左。0）,这样的函数称为y是x的一次函数。当b=0时，一

次函数y=fcr也叫做正比例函数。

⑵性质：⑴厂质+匕必经过点（0,b）和[g,o],

⑵在一次函数）；=依+5中，当上〉0时，丫的值随x值的增大而增大；当女<0

时，y的值随x值的增大而减小。

（3）图像：⑴一次函数的图像是过（0,b）和两点的一条直线；

⑵函数图像与k、b的符号关系

①左〉0时，图像经过一三象限；

②左<0时，图像经过二四象限；

③b〉0时，图像是经过y轴的上半轴；

④匕<0时，图像是经过y轴的下半轴。

3.反比例函数

(1)定义：把形如y=8(kwO)这样的函数称为y是关于x的反比例函数。反比例函数

X

的另一种形式：y=kx-[(k^O)o

(2)性质：当女〉0时，y的值随x值的增大而减小；当左＜0时，y的随x值的增大而增

大。

(3)图像：反比例函数的图像是两条双曲线，当左〉0时，图像经过一、三象限；当女＜0

时，图像经过二、四象限。

图象在坐

k的符

标系中的图象图象特征增减性

号

位置

y.

反比例函数图像位置在每个象限

在每个象限内从

kk>0一、三象内，y随x增

y=~x左到右下降

X(kWO)限r大而减小

在每个象限

二、四象在每个象限内从

k<0内y随x增大

限0rx左到右上升

r而增大

(4)反比例函数中闷的几何意义：

如果过反比例函数y=~图象上任意一点P分别作x轴和y轴的垂线，那么它们与两

X

条坐标轴所围成的矩形的面积就是加.

(5)反比例函数与一次函数的比较：

一次函数反比例函数

解析式y=kx+b(kWO)k

y=-

X

自变量取值范围全体实数xWO的实数

函数值取值范围全体实数yWO的实数

函数图象直线双曲线

解析式的确定两个点的坐标一个点的坐标

k>0y随x增大而增大同一象限内y随x增大而减小

增减性

K<0y随x增大而减小同一象限内y随x增大而增大

图象分k>0必过一、三象限分布在一、三象限

布情况K<0必过二、四象限分布在二、四象限

4..二次函数

(1)定义：形如y=以2+bx+c(a。0)的函数称为二次函数。

(2)图像与性质：

①二次函数的图像是对称轴平行于y轴(或与y轴重合)的一条抛物线：对称轴是

X--，顶点坐标岁,与y轴的交点坐标(0,c)。

2a(2a4a?

②当a〉0时，抛物线开口向上，当x=-2时，函数值能取到最小值为处二丝，

2a4a

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。当时,

抛物线开口向下，当x=-=时，函数值能取到最大值为，在对称轴的左侧y随

2a4〃

x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。

③抛物线y=ax2+bx+c(a。0)与x轴有两个交点，则一元二次方程

ax2+bx+c=0(a0)有两个不等的实根；抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴只有一

个公共点，则一元二次方程以2+bx+c=0(awo)有两个相等的实根；抛物线

y=ax~+bx+c(aw0)与x轴无交点，则一元二次方程ax?+bx+c=Q(aw0)无实根

(3)二次函数的其他3种形式：

①y=ax2

I.二次函数y=a/的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点在原点，顶点坐标

(0,0).

II.抛物线的开口方向由a的符号决定，当a>0时，开口向上，抛物线在x轴上方(顶点

在x轴上)，并向上无限延伸；当a<0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)

并向下无限延伸。

开口顶点对称最大(小)

函数函数变化

方向坐标轴值

a>(0,0x>0时，y随x增大而增大当x=0时,

y=ax2向上y轴

04)x<0时，y随x增大而减小y最大二0

a<(0,0x>0时，y随x增大而减小当x=0时

y=ax2向下y轴

0▼)x<0时，y随x增大而增大y最大二0

②y=ax2+k

二次函数y+上的图象是由函数y=ax?的图象上、下平移得到的，当k>0时，抛物

线y=ad向上平移|k|个单位得到y=ax?+k的图象；当k<0时，抛物丝y=ax?向下平移Ik

I个单位得到y=ax2+k的图象.

注意：抛物线y=ax'+k与抛物丝丫=2(形状完全相同，开口方向相同，对称轴都是y轴，

但顶点位置不同，y=ax?的顶点是(0,0),y=ax?+k的顶点是(0,k),,顶点在y轴上.

③y=a(x-h)~

二次函数y=a(x-h)②的图象可由抛物线y=ax?向左(或向右)平移而得到，当h>0时，

抛物线y=ax?向右平称|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；当h<0时，抛物线y=ax?

向左平移Ih|个单位得到y=a(x-h)2的图象.

注意：抛物线y=a(x—h)2与抛物线丫=2*2的形状完全相同，开口相同只是在坐标系中

的位置不同，抛物线y=a(X—h)2的对称轴是x=h,顶点是(h,0),顶点在x轴上.

④y=C7(x-/?)2+k

I.二次函数y=a(x-/z)2+k(aWO)与二次函数y=ax?(a=0)的图象都是抛物线，在

a相等的情况下，形状相同，只是位置不同。抛物线y=a(x—h)?+k可由抛物线y=aY向

上(k>0)或向下(k〈O)平移|k|个单位得到抛物线y=ax2+k,再把抛物线y=ax'+k向

左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，就得到抛物线y=a(x—h)2+k.

II.抛物线y=a(x—h)2+k(aWO)的特点：

i.a>0时开口向上，a<0的开口向下；

ii.对称轴是直线x=h；

iii.顶点坐标是(h,k).

(五)方程(组)与不等式(组)

1.一元一次方程

(1)定义：在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的整式

方程为一元一次方程。

(2)解一元一次方程的步骤：

①去分母：方程两边的每一项都要乘以各分母的最小公倍数，注意事项：不要漏乘不含分母

的项；去分母后，若分子是多项式，分数线有括号的作用，应该将分子添上括号；

②去括号：如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项的符号要改变符号；如果

括号外的因数是正数时，去括号后，原括号内各项的符号不变号；乘数与括号内多项式相乘

时，乘数应乘括号内的每一项，不要漏乘。

③移项：把含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边。注意事项：移项时

所要移的项要变号，不移的项不变号；不要漏项

④合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

⑤系数化为1：方程的两边都除以未知数系数。

2.二元一次方程(组)

(1)二元一次方程

①定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次

方程。

②二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二

元一次方程的解。注意：一般地，二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值,

而不是指单独的一个未知数的值;二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未

知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方

程的解；

(2)二元一次方程组

①定义：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。其实，

只要两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程也可称为二元一次方程。

②二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程

组的解。

(3)二元一次方程组的解法

①代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出

来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.这

种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.

代入法解二元一次方程组的步骤：

I选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个

未知数；

II将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在

代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.);

m解这个一元一次方程，求出未知数的值；

IV将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；

v用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；

VI最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右

边).

②加减消元法：当方程组中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两

个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后

求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

加减法解二元一次方程组的步骤：

I利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式(就

是先找各个系数的最小公倍数，一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边)；

II再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一

个一元一次方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法)；

m解这个一元一次方程，求出未知数的值；

IV将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；

v用联立两个未知数的值，就是方程组的解；

VI最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右

边).

3.一元二次方程

(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次

方程。一■般形式：ax2+bx+c=0(c/^0)

(2)一元二次方程的解法：

①直接开平方法：形如：(x-m)2=M(M>0)

②配方法解a/+bx+c=o(awo)的步骤：i先将常数项c移到方程的两边，即

ax2+bx=-c；ii将二次项系数化为1即iii方程两边分别加上一次项

aa

A

系数的一半的平方即X2+-%+iv方程左边成为一个完全平方式

a

i-4ac-b2

即K~~4a-

③公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后判断A=》2-4ac的值，当

4ac20时，就可以用/=―匕士

2a

④因式分解法：把方程变形为一边是零，另一边的二次三项式可以采用十字相乘

法(或完全平方式)分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，

得到两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加

等于一次项系数。

(3)根与系数的关系(韦达定理)：一元二次方程a/+bx+c=O(awO),设网,超是方

hr

程的两根，则有X1+X,=-上，xtx2=-

aa

⑷一元二次方程根的情况

△=b2-4ac

当△>()时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

当△=()时，一元二次方程有2个相同的实数根；

当△<()时，一元二次方程没有实数根

4.分式方程

(1)定义：分母中含有未知数的方程为分式方程。

⑵解分式方程的步骤

①去分母：

方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改

变符号。

②按解整式方程的步骤：

I.去分母；ii.去括号；ni.移项；w.合并同类项；v.系数化为1

③验根：

求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取

值范围,可能产生增根.

验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0,这个根就是增根。否则这

个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

⑶解分式方程的方法：

1.一般法：去分母，将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程。如

4x.2%

-------+-------=1-^——

x+3x—3x"-9

2

2.换兀法：x~+x+1=------

『+x

3.分组结合法：x+—=c+—

XC

x2+3x+2_2x2+3x+l

4.因式分解法:

—3x+22%2—3x+1

5.配方法：先把分式方程中的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，进而

可以用直接开平方法求解

%2+三-26=0

x

5.不等式（组）

⑴不等式

①定义：用不等号连接的式子叫做不等式。不等号有：“W,2,7,〈,>”

②基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

③不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

⑵一元一次不等式

①定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式。

②一元一次不等式的解法:与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边乘以（或

除以）同一个负数时，不等号的方向改变。

⑶一元一