2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）（教师用书）教学设计 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的计算1.2.11.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）（教师用书）教学设计新人教A版选修2-2主备人备课成员教材分析亲爱的小伙伴们，今天我们要一起走进高中数学的奇妙世界，探索导数及其应用的奥秘。今天我们聚焦的是第一章的第二个部分——导数的计算。这里，我们将一起揭开基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的神秘面纱。这个过程就像探险一样，充满了挑战和惊喜！准备好一起开启这场数学之旅了吗？😄🌟📚核心素养目标在本章节的学习中，我们旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，学生能够提升对数学问题的抽象能力，学会运用逻辑推理解决实际问题，培养构建数学模型的能力，并提高数学运算的准确性和效率。这些能力的提升将为学生未来的学习和职业发展奠定坚实的基础。教学难点与重点1.教学重点，

①理解并熟练掌握基本初等函数的导数公式，能够准确地应用这些公式进行函数导数的计算。

②掌握导数的四则运算法则，能够在复合函数和分式函数的导数计算中灵活运用。

2.教学难点，

①理解导数的概念和几何意义，将导数与函数的变化率联系起来，建立直观的几何图像感知。

②正确应用导数的运算法则，尤其是在处理复合函数和隐函数导数时，避免计算错误和理解偏差。

③在复杂函数的导数计算中，能够识别和应用导数的相关技巧，如链式法则、积的导数法则、商的导数法则等，提高解题的效率和准确性。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略为了达到教学目标，我将采用多种教学方法相结合的策略。首先，我会通过讲授法引入新的概念和公式，确保学生能够建立起扎实的理论基础。接着，我会设计小组讨论活动，让学生在合作中应用这些概念，比如通过讨论复合函数的导数来加深理解。此外，我会利用多媒体教学，展示函数图像和导数的动态变化，帮助学生直观理解导数的几何意义。为了巩固学习，我还会设计一些互动游戏，如“导数猜猜猜”，让学生在游戏中复习和应用导数的计算方法。这样的活动既能激发学生的学习兴趣，又能提高他们的实践能力。教学过程设计**用时：45分钟**

**一、导入环节（5分钟**）

1.**创设情境**：展示一张曲线图，提问学生：“你们能从这张图中看到什么？如果我们要知道这个曲线在某一点的斜率，我们该怎么办？”

2.**提出问题**：引导学生思考导数的概念，提出：“导数到底是什么？它有什么用？”

3.**激发兴趣**：通过一个小故事，讲述科学家如何利用导数来解决实际问题，激发学生的好奇心和求知欲。

**二、讲授新课（15分钟**）

1.**导数的定义**：介绍导数的概念，通过极限的思想解释导数的几何意义，用动画演示导数的定义过程。

2.**基本初等函数的导数公式**：列举常见的初等函数及其导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等，并解释公式的推导过程。

3.**导数的运算法则**：讲解导数的四则运算法则，通过具体例子展示如何应用这些法则进行导数的计算。

**三、巩固练习（15分钟**）

1.**分组练习**：将学生分成小组，每个小组选择一个函数，计算其导数，并讨论如何应用导数的运算法则。

2.**课堂讨论**：邀请小组代表分享他们的解题过程，教师引导学生分析和讨论解题思路。

3.**互动问答**：教师提出一些问题，如“为什么这个函数的导数是0？”等，让学生思考和回答。

**四、课堂提问与师生互动环节（10分钟**）

1.**提问环节**：教师针对课堂内容提出问题，如“导数在物理学中有何应用？”等，鼓励学生积极思考并回答。

2.**师生互动**：教师通过提问和解答，与学生进行深入交流，了解学生对知识的掌握情况。

3.**创新教学**：引入一个实际案例，让学生运用导数解决实际问题，如计算物体的速度或加速度。

**五、课堂小结（5分钟**）

1.**回顾重点**：教师总结本节课的重点内容，强调基本初等函数的导数公式和导数的运算法则。

2.**布置作业**：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并提醒学生注意易错点。

3.**情感表达**：鼓励学生在课后继续探索数学的奥秘，激发他们对数学的热爱。

**六、核心素养拓展（5分钟**）

1.**数学建模**：引导学生思考如何将导数应用于实际问题，如经济、物理等领域。

2.**逻辑推理**：通过讨论导数的定义和运算法则，培养学生的逻辑推理能力。

3.**数学抽象**：鼓励学生从具体问题中抽象出数学模型，提高他们的数学抽象能力。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.**知识掌握**：通过本节课的学习，学生能够熟练掌握基本初等函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数等，并能正确运用这些公式进行函数导数的计算。

2.**计算能力**：学生在课堂练习和巩固环节中，通过实际操作和应用，提高了导数的计算能力，尤其是在处理复合函数和分式函数的导数计算时，能够更加得心应手。

3.**逻辑思维**：通过导数的定义和运算法则的学习，学生的逻辑思维能力得到了锻炼，能够从直观的几何图像到抽象的数学表达进行有效转换。

4.**问题解决**：学生能够将导数的概念应用于解决实际问题，如物理中的速度和加速度问题，经济中的增长率问题等，提升了问题解决的能力。

5.**数学建模**：学生学会了如何从实际问题中提取数学模型，利用导数来分析和预测结果，为未来的数学建模学习打下了基础。

6.**自主学习**：通过小组讨论和课堂互动，学生学会了如何与他人合作学习，培养了自主学习的意识和能力。

7.**情感态度**：学生在探索导数概念的过程中，体验到了数学的奥妙和魅力，对数学产生了更浓厚的兴趣，形成了积极的学习态度。

8.**批判性思维**：在讨论和解答问题的过程中，学生学会了质疑和批判，能够从多个角度分析问题，提出自己的见解。

9.**应用意识**：学生认识到导数在实际生活中的广泛应用，增强了将数学知识应用于实践的意识。

10.**创新精神**：在解决实际问题的过程中，学生尝试了不同的解题方法，培养了创新精神，为未来的学习和研究奠定了基础。重点题型整理1.**求导数的基本公式应用**

-**题目**：求函数\(f(x)=2x^3-3x+4\)的导数。

-**解答**：根据导数的基本公式，\((x^n)'=nx^{n-1}\)，我们可以分别对每一项求导：

\[f'(x)=(2x^3)'-(3x)'+(4)'\]

\[f'(x)=2\cdot3x^{3-1}-3\cdot1x^{1-1}+0\]

\[f'(x)=6x^2-3\]

2.**复合函数的导数**

-**题目**：求函数\(f(x)=(x^2+1)^4\)的导数。

-**解答**：这里使用链式法则，设\(u=x^2+1\)，则\(f(x)=u^4\)。

\[f'(x)=(u^4)'\cdotu'\]

\[f'(x)=4u^3\cdot(x^2+1)'\]

\[f'(x)=4(x^2+1)^3\cdot2x\]

\[f'(x)=8x(x^2+1)^3\]

3.**商的导数**

-**题目**：求函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x+2}\)的导数。

-**解答**：使用商的导数法则，\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)，其中\(u=x^2-1\)，\(v=x+2\)。

\[f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x+2)-(x^2-1)(x+2)'}{(x+2)^2}\]

\[f'(x)=\frac{(2x)(x+2)-(x^2-1)}{(x+2)^2}\]

\[f'(x)=\frac{2x^2+4x-x^2+1}{(x+2)^2}\]

\[f'(x)=\frac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}\]

4.**隐函数的导数**

-**题目**：求隐函数\(y=x^3+3xy^2=6\)关于\(x\)的导数。

-**解答**：对整个方程两边同时对\(x\)求导，使用隐函数求导法。

\[\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(3xy^2)=\frac{d}{dx}(6)\]

\[3x^2+3y^2+6xy\frac{dy}{dx}=0\]

解出\(\frac{dy}{dx}\)：

\[6xy\frac{dy}{dx}=-3x^2-3y^2\]

\[\frac{dy}{dx}=\frac{-3(x^2+y^2)}{2xy}\]

5.**导数的几何意义**

-**题目**：已知函数\(y=x^2\)，求在点\((1,1)\)处的切线方程。

-**解答**：首先求出函数在\(x=1\)处的导数，即切线的斜率。

\[f'(x)=2x\]

\[f'(1)=2\cdot1=2\]

切线的斜率为2。使用点斜式方程\(y-y_1=m(x-x_1)\)，其中\(m\)是斜率，\((x_1,y_1)\)是切点。

\[y-1=2(x-1)\]

\[y=2x-2+1\]

\[y=2x-1\]

因此，切线方程为\(y=2x-1\)。内容逻辑关系1.**基本概念**

①导数的定义：函数在某一点的导数定义为该点处函数增量与自变量增量之比的极限。

②导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，即切线的斜率。

2.**基本初等函数的导数公式**

①幂函数的导数公式：\((x^n)'=nx^{n-1}\)。

②指数函数的导数公式：\((a^x)'=a^x\ln(a)\)。

③对数函数的导数公式：\((\log_ax)'=\frac{1}{x\ln(a)}\)。

3.**导数的运算法则**

①加法法则：\((f+g)'=f'+g'\)。

②减法法则：\((f-g)'=f'-g'\)。

③乘法法则：\((fg)'=f'g+fg'\)。

④除法法则：\(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)。

⑤复合函数的链式法则：\((f\circg)'=f'(g(x))\cdotg'(x)\)。

4.**导数的应用**

①切线方程的求法：利用导数求出切点处的斜率，再结合点斜式方程得出切线方程。

②曲线的凹凸性：通过导数的符号判断曲线的凹凸性。

③函数的单调性：通过导数的符号判断函数的单调增减性。

④函数的极值：利用导数的零点找出函数的极值点，并判断极值的类型。教学评价与反馈1.**课堂表现**：

-学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，对于导数的定义和基本公式表现出浓厚的兴趣。

-在讨论导数的几何意义时，学生能够结合图像直观地理解导数的概念，表现出良好的抽象思维能力。

2.**小组讨论成果展示**：

-小组讨论环节中，学生能够主动分享自己的解题思路，如如何应用链式法则求复合函数的导数。

-学生在讨论中能够互相启发，共同解决难题，如如何处理分式函数的导数计算。

3.**随堂测试**：

-随堂测试覆盖了基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，以及复合函数和分式函数的导数计算。

-测试结果显示，大部分学生能够正确应用导数公式和运算法则进行计算，但部分学生在处理复合函数和分式函数的导数时存在错误。

4.**学生自评与互评**：

-学生通过自评和互评，认识到自己在导数计算中的优势和不足，如对导数公式的记忆不够牢固，或者在应用运算法则时容易出错。

-学生通过互评，学会了从不同的角度看待问题，提高了自己的批判