《圆周角》 (第2课时圆内接四边形的性质) 说课课件 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章圆圆周角第2课时圆内接四边形的性质课件名师点睛知识点1圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．知识点2圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．核心提示：由圆内接四边形的性质，可以很容易得到一个推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．以练助学课时达标【典例】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE，求证：BD＝CD．分析：先根据圆周角定理的推论得出∠DAC＝∠DBC，再由角平分线的性质得出∠EAD＝∠DAC，最后根据圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠BCD，由此可得出结论．证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠DAC．∵∠DAC＝∠DBC．∴∠EAD＝∠DBC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB＋∠BCD＝180°.又∵∠EAD＋∠DAB＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD．点评：在理解“圆内接四边形对角互补”的性质时，应首先理解“互补”的概念，实际上，“互补”是指两个角之间的一种特殊的数量关系，而不是位置关系，只要两个角的度数之和等于180°，则这两个角就一定互补．基础过关DCC52°140°AB∥CD7．【教材P88练习T5变式】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．求证：∠DAE＝∠DAC．证明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAE＝∠DCB，∴∠DAE＝∠DBC∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC．能力提升B7030°或150°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.(1)解：∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠CBD．∵∠BAC＝∠CDB，∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.又∵∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD．由(1)得∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.(1)求证：AB为⊙C的直径；(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．思维训练14．【核心素养题】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝__________；(2)当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．90°圆周角课件如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图，

学完今天的课程，你们就会知道答案了！玻璃弧AB表示圆弧形玻璃窗．他们的视角相同吗？乙、丙分别站在其他靠墙的位置D和E，同学甲站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，圆周角你还记得圆心角的定义吗？顶点在圆心的角，叫做圆心角．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．练习判断下列各图中的角是不是圆周角，为什么？分别测量图中弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB，它们之间有什么关系？改变C点的位置，再次测量∠ACB

和∠AOB，这个关系还成立吗？改变B点的位置，再次测量∠ACB

和∠AOB，这个关系还成立吗？探究猜想同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．分析为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会出现三种情况：在圆周角的一边上在圆周角内在圆周角外证明（1）折痕在圆周角的一边上∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A证明（2）折痕在圆周角内圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（1）的结果，有证明（3）折痕在圆周角外圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，有圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

什么是圆周角？怎么证明圆周角定理？圆周角练习如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6方法点拔：由同弧来找相等的圆周角练习求圆中角α的度数．35°120°练习如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？答案：∠ACB=2∠BAC．练习如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=

_______．130°练习如图，AB是⊙O的直径，∠A=30°，则∠BOD=_____．60°练习在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A．提示：连接AC

答案：50°思考题如图，在⊙O中，AB为直径，

，弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E．求证：BE=EC．提示：连接BC等弧对等角基于圆周角定理，我们很容易得到如下推理：同弧或等弧所对的圆周角相等

等弧对等角的具体含义是什么？等弧对等角练习如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．60°120°练习如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，∠BDC=____．60°直径对直角如果圆周角定理中的圆弧变成了半圆，就会有如下推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角反过来，也成立90°的圆周角所对的弦是直径直径对直角的具体含义是什么？怎么证明？直径对直角例题如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．解：连接OD，AD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，BC=

=8（cm）例题如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．在Rt△ABD中，例题求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，且

，求证：△ABC为直角三角形.

证明：以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=

×180°=90°.∴△ABC为直角三角形.练习如图，已知△ABC内接于圆O，AB=AC，∠A=36°，CD是圆O的直径，求∠ACD的度数．答案：18°．总结：看到直径就要想到直角．知识回顾圆周角定理及其推论是什么？半圆（或直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径.

同弧或等弧所对的圆周角相等

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．知识回顾判断正误：1．同弧或等弧所对的圆周角相等（）2．相等的圆周角所对的弧相等（）3．90°圆周角所对的弦是直径（）4．直径所对的角等于90°（）

圆内接多边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接多边形多边形的外接圆圆内接四边形如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆．圆内接四边形的四个角之间有什么关系？对角互补圆内四边形对角互补猜想：圆内四边形对角互补证明：∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补

什么是圆内接多边形？怎么证明圆内接四边形对角互补？圆内接四边形如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______，∠B+∠ADC=_______；若∠B=80°，则∠ADC=____．练习180°180°100°练习四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°，则∠B=______，∠D=______.

50°130°练习四边形ABCD内接于⊙O，∠A:∠C=1:3，则∠A=_____．45°练习若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（

）A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶3C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B练习如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是 上的一点，则∠APB=________．120°练习如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD=130°，则∠BCD的度数是______．115°练习如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数．答案：50°，130°练习如图，已知四边形ABCD内接于圆O，点O在∠D内部，∠OAD+

∠OCD=50°，则∠B=______．130°提示：连接AO练习如下图左，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABD=30°，则∠BCD的度数为多少？答案：120°练习如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于E、F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=______．40°练习梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B=75°，则∠C=_____．75°圆的内接梯形一定是______梯形．等腰练习已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．提示：证明∠A=∠B即可．练习1.判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：练习2.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么?练习3.如图，OA,OB,OC,都是

O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.练习4.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.练习5.如图，四边形ABCD内接于

O，E为CD延长线一点.若∠B=110°，∠ADE的度数.思考题已知：△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上的点（不与A，C重合），延长BD到E．求证：AD的延长线平分∠CDE．提示：圆内接四边形的外角等于内对角；同弧所对圆周角相等．思考题如图⊙O

与⊙O

都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O

交于点C，与⊙O

交于点D．经过点B的直线EF与⊙O

交于点E，与⊙O

交于点F．求证：CE∥DF．121212提示1：连接