2024秋高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质练习含解析新人教A版必修2

PAGE1-2.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．已知相互垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满意m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，所以n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n.答案：C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误；对于B，若m∥β，β⊥α则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故B错误；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．答案：C3.(2024·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM、EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM、EN是异面直线答案：B4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直解析：由于正方体中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，所以依据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．答案：D5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，则下列结论中正确的是()A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C解析：连接BD(图略)．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，所以AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1.答案：C二、填空题6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面相互垂直，则cosα∶cosβ＝________．解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2eq\r(5)，则cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))＝eq\f(5,29)eq\r(29)，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))＝eq\f(2,29)eq\r(145)，所以cosα∶cosβ＝eq\r(5)∶2.答案：eq\r(5)∶27．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．答案：48．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC.因为二面角α­l­β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答题9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.10.(2024·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为eq\f(8,3)，求该四棱锥的侧面积．(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由题设得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱锥P­ABCD的侧面积为eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).B级实力提升1.如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与② B．①与③C．②与③ D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，解除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S冲突，解除A.答案：B2．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值为2eq\r(7).答案：2eq\r(7)3.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．(1)证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)解：取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE