浙江省绍兴市2023年高一《数学》上册期末试题与参考答案

20/24浙江省绍兴市2023年高一《数学》上册期末试题与参考答案一、选择题（共36分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【分析】先求出集合A，B的具体区间，再根据交集的定义求解.【详解】因为，，所以；故选：C.2.已知下列四组陈述句：①：集合；：集合；②：集合；：集合；③；；④：；：．其中是的必要非充分条件的有（）A.①② B.③④C.②④ D.①③【答案】D【分析】根据集合间的关系以及不等式的性质判断求解即可.【详解】①若，则不一定相等，不是充分条件，若，则一定成立，是必要条件，所以是的必要非充分条件，故①符合题意；②若集合，则集合，反之也成立，所以是的充要条件，故②不符合题意；③由得不到，由能得到，所以是的必要非充分条件，故③符合题意；④根据不等式的性质由可得，但由得或，即由得不到，所以是的充分不必要条件，故④不符合题意；故选:D3.已知集合，（），若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】分别求出集合和集合，再由进行求解.【详解】由已知，集合即函数的定义域，由不等式，即，解得，∴，集合即函数的值域，因为指数函数的值域为，所以函数的值域为，∴，∵，∴的取值范围是.故选：D.4.已知函数是定义在R上的偶函数，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【分析】函数是定义在R上的偶函数，可知对称轴为，又可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以关于对称，则，又，所以，即，函数的周期为4，取，则，所以，则D选项正确，B、C选项错误；由已知条件不能确定的值，A选项错误；故选：D.5.函数的部分图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为,.所以为奇函数,故选项错;,故选项错;故选:.6.奇函数满足，当时，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【分析】由，可得到函数的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将转化为，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数满足，是以4为周期的奇函数，又当时，，，故选：A.7.定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A.2 B.0C. D.【答案】D【分析】先由题设条件得到，利用换元法结合得到，从而证得是的周期函数，再利用赋值法得到，从而求得，由此求得.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令，则，故，又因为，则，所以，故，即，所以是的周期函数，故，因为，令，得，则，又因为，令，得，因为当时，，所以，得，故，所以，则.故选：D.8.函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数．设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由③可得，，然后由②可得，，然后结合在上非减函数可得答案.【详解】由③得，，∴，．由②得，．∵且，．又上非减函数，∴，故选：二、填空题（共12分）9.下列说法正确的是（）A.命题p：x，y(0，1)，x＋y＜2，则p：x0，y0(0，1)，x0＋y0≥2B.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立充分不必要条件C.“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件【答案】ABD【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A，举反例可以判断BC，根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A：命题p：x，y(0，1)，x＋y＜2，否定为：x0，y0(0，1)，x0＋y0≥2故A选项正确；选项B：由时，所以充分性成立，当时，，但是，故必要性不成立所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件故B选项正确；选项C：，但是，所以|x|＞|y|不一定推出x＞y反之，，但是，所以x＞y不一定推出|x|＞|y所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件故C错误；选项D：关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根设为，则所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件故选项D正确；故选：ABD.10.若，，则下列不等关系正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【分析】指对互化后求得，对A、C选项可利用不等式及变形判断结论是否正确；对B选项可用“1”的代换判断结论是否正确；对D选项：由换底公式得，分别计算与的范围可判断结论是否正确.【详解】由，，得，，所以，对于A，由不等式得，，又，，所以A不正确；对于B，因为，，，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确；对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C正确；对于D，因为，，所以，由于，且，因为，所以等号不成立，所以，所以，所以，所以D正确，故选：BCD.11.下列说法正确的是（）A.幂函数是奇函数，则B.在的展开式中，含的项的系数是C.的展开式中第6项的系数最大D.已知函数与函数的值域相同，则实数的取值范围是【答案】ABC【分析】选项A，由幂函数的定义可知其系数为1，求得m后再验证奇偶性；选项B，展开式中的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到；选项C，展开式中每一项的系数恰好和二项式系数相等，所以只需找到展开式中间一项即可；选项D，分段函数的值域是指每一段函数值域的并集，所以需要判断含有参数的一段函数的单调性以及边界点处的函数值大小关系.【详解】选项A，依题意幂函数，则，解得或，当时，是一个偶函数，不合题意；当时，是一个奇函数，满足题意，故A正确；选项B，在的展开式中，的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到的，所以的项的系数为，故B正确；选项C，的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，展开式共11项，中间一项即第6项的二项式系数最大，即系数最大，故C正确；选项D，函数的值域为R，所以函数的值域为R.因为是一个增函数，所以当时，，即；若函数的值域为R，则当时，，所以满足条件，即，解得，则实数的取值范围是，故D错误.故选：ABC.12.设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（）A.的取值范围是B.的图象与直线在上的交点恰有2个C.的图象与直线在上的交点恰有2个D.在上单调递减【答案】AB【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故A正确；又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，且，则在上，出现两次最大值，此时函数的大致图象如图示：即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；由于当时，，，当时，取最小值，由于是否取到不确定，故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；当时，，因为，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定单调递减.故选：AB.三、解答题（共52分）13.将化成弧度为______.【答案】##【分析】根据角度与弧度的关系转化即可.【详解】因为，所以，故答案为：.14.我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.如图所示的弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有一圆弧所对圆心角为，弧长为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是______.【答案】【分析】由条件根据弧长公式求半径，解直角三角形可得弦、矢的值，求出弧田面积.【详解】如图：由题意可得，弧的长为，所以，故，在中，可得，，，可得矢，由，可得弦，所以弧田面积（弦矢矢．故答案为：.15.对于函数，其中，已知，则___________.【答案】【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果.【详解】而所以，故故答案为：.16.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为___________．【答案】【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布的知识列不等式，从而求得的取值范围.【详解】画出函数的图象如下图所示，由图可知，当时，直线与的图象有个交点；当时，直线与的图象有个交点.由，令得①，由于有三个零点，所以方程①有两个不相等的实数根，，且一个根，另一个根，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果；（2）由题意，列不等式组求参数范围.【小问1详解】由题设，，，所以.【小问2详解】由题意，则，可得.18.（1）化简：（2）已知角的终边在直线上，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据诱导公式和同角公式进行化简可求出结果；（2）设角的终边上任一点为，根据三角函数的定义求出和，代入，可求出结果.【详解】（1）.（2）因为角的终边在直线上，所以可设角的终边上任一点为，则,,当时，，,,所以,当时，，,,所以,综上所述：.19.已知函数.（1）判断的奇偶性并证明；（2）判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）在区间上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义进行判断证明即可；（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可.【小问1详解】函数为奇函数，理由如下：函数的定义域为，对任意的，所以是奇函数；【小问2详解】在区间上的单调递减，理由如下：对任意，且，，因为在单调递增，且，所以，所以，所以在区间上的单调递减.20.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】（1），（2）6.25万元，4.0625万元【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式；（2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625.【小问1详解】因为A产品的利润与投资额成正比，故设，将代入，解得：，故，因为B产品利润与投资额的算术平方根成正比，故设，将代入，解得：，解得：，故；【小问2详解】设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元，则.令，可得，即.当，即时，y取得最大值4.0625.答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.21.命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于不等式对恒成立．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）用二次函数的性质求命题为真命题时实数的取值范围；（2）先确定命题成立时实数的取值范围，再分类讨论求解得结果.【小问1详解】命题：关于的方程有两个相异负根．则，解得：.若命题为真命题，则实数的取值范围为.【小问2详解】命题：关于的不等式对恒成立,，解得：.若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，若真假，，解得：，若真假，，解得：，综上：实数的取值范围为：.22.已知的定义域为，且是奇函数