山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省名校联盟高一下学期3月校际联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),AC)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),C)2.已知i是虚数单位，则3.在△ABC中，已知AB=1,AC=2,匕BAC=，则△ABC的面积为()4.在△ABC中，D在线段BC上，AD为匕BAC的角平分线，若AB=2AC，则()EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(3--),4A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(2--),3A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),C)5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C,D.现测得匕BCD=α,匕BDC=β,CD=l，在点C测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB=()6.已知复数z=a+bia,b∈R)可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=a2+b2，θ是以x轴非负半轴为始r1(cosθ1+isinθ1)与z2=r2(cosθ2+isinθ2)的乘积z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，则将向量-EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),z1)=(1,2)绕原点0逆时EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),z2)7.如图所示，△ABC的三条边均与圆0相切，其中BC=20,匕ABC=120o,匕ACB=20o，则圆0的半径约为8.已知向量,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b),是平面向量，=1，若非零向量与的夹角为60o，向量EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)满足EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)2—.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)+15=0，则b的最小值为()二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量C.向量EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),b)与的夹角的余弦值为D.向量—EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),b)在上的投影向量为10.设Z1,Z2为复数，则下列结论正确的有()EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H,M为边BC的中点，且AB=5,AC=3，则下列结论正确的有()EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i为虚数单位，若复数Z=(1+i)(a—2i)(a∈R)为纯虚数，则a的值为．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),AC)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)14.在圆内接四边形ABCD中，AC=4,AB=2AD,匕BAD=60o，则△BCD面积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在三角形ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，已知BE=3,CD=6,BC=2(1)求三角形ABC的面积；(2)求三角形ABC的周长．16.(本小题12分)已知复数Z=a+bia,b∈R)17.(本小题12分)已知,b是平面内两个不共线的向量．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),D)2EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)，求证：A,B,D三点共线；EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)和2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)共线；18.(本小题12分)已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足(1)求角A的大小；(2)若三角形ABC的面积为10，内切圆的半径为1，求a；(3)若匕BAC的角平分线交BC于D，且AD=4，求三角形ABC面积的最小值．19.(本小题12分)n个有次序的实数1,2,...,n所组成的有序数组(1,2,...,n)称为一个维向量，其中i(i=1,2...,)称为该向量的第i个分量．特别地，对一个维向量=(1,2,...,n)，若i=1,i=1,2...，称为维信号向量．设=(1,2,...,n,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)1,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)2,...,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)n)，则和EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)的内积定义为且丄兮(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量1,2,...,k满足它们的前m个分量都是相同的，求证：6.B15.(1)如图，因D,E分别是边AB,AC的中点，则设AE=EC=x,AD=DB=y．则由余弦定理→由余弦定理可得从而则三角形ABC的面积为(2)由(1)易得三角形ABC的周长为根据复数相等的条件，得到两个方程解得b=1，代入第一个方程：考虑相减得其中，，且i2025=i。EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)又AD与AB有公共点A，因此A,B,D三点共线．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)和2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)18.(1)由正弦定理边角互化可得：(2)因三角形ABC的面积为S=10，内切圆的半径为r=1．则由余弦定理3化简后可得→→(3)如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F．又由角平分线性质可得DE=DF=ADsi 3注意到．则s=362tanθtanθ)l.要使s最小，则需使tanθt要使最大，需满足→则此时即三角形ABC为等边三角形．19.解：(1)根据题意，结合维向量的定义，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),4)因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，r+7r+r.—1)=0，可得r=，矛盾，所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．(3)任取i,j∈{1,2,…,k}，计算内积i.j，将所有这些内积求和得到s，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),1)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),2)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),k)设1,2,…,k的第k个分量之和为ci，则从每个分量的角度考虑，每个分量为s的贡献为cEQ\*