2025年中考数学总复习《解直角三角形的应用》专项检测卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《解直角三角形的应用》专项检测卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图2），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，）

2．王震将军铜像不仅是石河子市的重要地标，也是军垦文化的象征，承载着人们对王震将军的崇敬和对军垦先辈们的缅怀，激励着新一代军垦人传承和弘扬兵团精神．某班数学实践小组想要测量王震将军铜像的高度．小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图．备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段EF长表示王震将军铜像的高度，点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内；方案一方案二问题解决：请你选择一种方案计算王震将军铜像的高度．（结果精确到1）（参考数据：．）3．为了提升全社会对古树的保护意识，增强生态韧性，实现绿色发展，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点B处放置测角仪，测角仪支架的高度为米，在点E处测得古树顶端D的仰角（点A，B，C，D，E，F，P在同一平面内，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）4．在农村，许多农民把玉米脱皮后，用铁网围成一个如图1所示的圆柱形玉米垛，上面苫盖有蓬草，把玉米囤在里边用于晾晒阴干，这些玉米垛垛在房前屋后、路边、麦场里，形成了一道独特的风景线．如图2，玉米垛截面示意图是轴对称图形，对称轴垂直于地面，蓬草，，抽取若干玉米后苫盖的蓬草会自动下垂．若抽取部分玉米后减少，且在B，O，C三点保持在同一水平线的前提下，蓬草端点C下降了多少米？（结果精确到．参考数据：，，）5．为了方便居民出入小区．小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1）．米．米．斜坡的坡角为计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示）．坡面的宽度不变．(1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度；(2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？6．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图1是滑雪运动员在跳台上完成动作的示意图，赛道的剖面的一部分可抽象为线段，，滑雪运动员从点出发，从起跳点起跳，到点落地．某比赛场地的实测参数如下：（如图2）①跳台竖直高度；②斜坡长度为，坡角为（与水平面夹角）；③斜坡的坡角为．根据以上条件，计算斜坡的长度．（结果精确到）（参考数据：，，）7．如图是一名军事迷设计的小型潜水望远镜的示意图，，两个反光镜，直线之间的距离为．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出（即），其中．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）(1)当三点共线时，求反光镜的长度；(2)若，求点到直线的距离．8．随着科技的进步．人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人．基座与地面垂直，基座米．大臂米．小臂米．大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，．（图中点线在同一个平面内）(1)求机械臂机器人抓手距离地面的最大高度；（精确到0.1米）(2)设抓手到直线的水平距离为，当时，求的取值范围．（精确到0.1米）（参考数据：）9．2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，临行前小陶决定先到在超市北偏东方向上的图书馆还书后，再到体育馆；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭后，再沿北偏东方向走到体育馆，已知体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上．(1)求报亭与体育馆之间的距离；（结果保留根号）(2)若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆．（参考数据：，，结果精确到0.1）10．真实情境：如图②，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图①），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以的角度对准塔楼的顶部．(1)请计算此时无人机与塔楼顶部的水平距离；(2)如果无人机的摄像头角度调整为，求无人机向左飞行的水平距离．（参考数据：）11．图1是某型号的挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂、伸展臂和钻头组成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，为水平地面，钻头D点和基座A点在同一水平线，连接，基座高，主臂长，钻头长，用测角仪测得，，．（参考数据：，，，，，)(1)求点B和点C到地面的距离．(2)求伸展臂的长度．(结果保留一位小数)12．综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸，互相平行．(1)求河岸，之间的距离（结果取整数）；(2)求轮渡码头P，M之间的距离和轮渡码头P，N之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，取1.4．13．由新海诚导演的电影《铃芽之旅》中有一段情节：主角铃芽追赶跑到废弃游乐园里摩天轮上的大臣（猫），示意图如图所示．：已知图中各点均在同一竖直平面内，铃芽从点B跑到了点E处，再爬上了一段斜坡EF，接着又跑到了摩天轮的最低点D处．已知她在B处抬头看向摩天轮最高点C处的仰角为，连接摩天轮最高点C与最低点D并延长，延长交的延长线于点G，若点E恰好是边靠近G点的黄金分割点，斜坡与地面成夹角，路程．那么摩天轮的高约为多少米？（结果保留根号）（参考数据：）14．寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门出发，准备沿路线跑到终点，一起跑到点后，小明体力不支，准备走近路，小亮则继续按原计划路线行进，已知点在点的东北方向米处，点在点的正东方向，米，点在点的正东方向，点在点的北偏东方向上．（参考数据：，，）(1)求的长度；（结果保留根号）(2)同时离开点后，小明的速度是每分钟米，小亮的速度是每分钟米，请通过计算说明，离开点多少分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上？（结果精确到）15．如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据：）参考答案1．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．过D作于E，过C作于F，过B作于G，在中，根据，得出，从而求出，得出，最后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出最后结果即可．【详解】过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示：由题，，，在中，，解得：，∴，∴，∵在中，，∴．答：的长约为．2．铜像的高度为．【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形实际应用．根据题意，方案一：由题意得．且，设，则，再列式，即可求出结果；方案二：延长交于点，同理得出，求解即可．【详解】解：方案一：设交于点，由题意得．且，四边形都是矩形，设，在中，，，在中，，∴，∵，∴，解得，∴，答：铜像的高度为．方案二：如图，延长交于点，由题意得．且，四边形都是矩形，设，在中，，，在中，，，，解得，，答：铜像的高度为．3．古树的高度约为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于点F，交的延长线于点G，则，可求，设，则，可求，从而可求，，由，即可求解．【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，交的延长线于点G，则，则四边形是矩形，山坡上坡度，，，设，则，在中，，，解得：，，，，在中，，，，；答：古树的高度约为．4．0.18米【分析】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．由轴对称的性质知，．在中，求得．在中，求得，相减即可得结果．【详解】解：由轴对称的性质知，，．在中，，．当减少时，．在中，，，．三点保持在同一水平线，点C下降了约0.18米．5．(1)米(2)立方米【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键．（1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米；（2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论．【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示：∵米，，（米），（米），在中，，∴（米），米，答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米；（2）解：平方米，立方米，答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料．6．斜坡的长度约为【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，过点分别作于点，于点，则，，在中，求出，再在中，求解即可．【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，∴，．在中，，即．．，．．在中，，即．．答：斜坡的长度约为．7．(1)反光镜的长度为(2)点到直线的距离为【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．（1）过点作，垂足为，求出，在中，解直角三角形即可；（2）通过平行线的性质得到．在中，解直角三角形即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为．，．由题意，得，．，．在中，，反光镜的长度为；（2）解：如图，过点作，交的延长线于点．，．，．，，．在中，，点到直线的距离为．8．(1)米(2)1.1米米【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）由题意，当抓手距离地面高度最大时，取最大值，在和中，解直角三角形即可求解；（2）分三种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解．【详解】（1）解：如图1，过点作的平行线，交过点的水平线于点过点作的平行线，交过点的水平线于点，由题意，当抓手距离地面高度最大时，取最大值，此时在中，，米，米，，，，在中，，米，米，机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为：米；（2）解：如图2，由题意，当时，米，延长交于点，四边形为矩形，米，米；如图3，当时，，米，延长交于点，米，，最小值为：米，如图4，当时，最大，此时，米，的取值范围为1.1米米．9．(1)报亭与体育馆之间的距离米(2)小陶先到达体育馆【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）认真分析题干的条件，得出，，故在中，（米），，然后证明是等腰直角三角形，在中，，即可作答．（2）先分别算出小陶和小乐经过的路程，再分别除以他们各自的速度，然后比较，即可作答．【详解】（1）解：过点作，如图所示：∵体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上．∴，依题意，米，∴，在中，（米），，则，∵，∴是等腰直角三角形，∴米，在中，，∴（米），∴报亭与体育馆之间的距离米；（2）解：由（1）得，米，在中，，故（米），则（米），∵∴，在中，（米），在中，，∴（米），则（米），∵米，米，∴（米），∵小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，∴（分钟），（分钟），∵∴小陶先到达体育馆．10．(1)无人机与塔楼顶部的水平距离为米(2)无人机向左飞行的水平距离为米【分析】本题主要考查仰角、俯角问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）如图所示，塔楼的底部为点，地面，延长交于点，米，米，则米，根据题意得到是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到米，由米，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，塔楼的底部为点，地面，延长交于点，米，米，∴米，∵无人机的摄像头能够以的角度对准塔楼的顶部，即，∴是等腰直角三角形，∴米，∴无人机与塔楼顶部的水平距离为米；（2）解：米，∴米，∴米，∴米，∴无人机向左飞行的水平距离为米．11．(1)，(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）过点B作于点E，过点C作于点F，利用锐角三角函数的定义得出，，进而得，，再根据题意代入求值，再将、分别加上底座的高，即可得出结论；（2）过点C作，先证明是矩形，即可得，，得出，再求出，再根据得，代入计算即可得解．【详解】（1）解：过点B作于点E，过点C作于点F，∴，，∴，，∵，，，，∴，，∵，∴，，即点B和点C到地面的距离分别为，；（2）解：如图，过点C作，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴即伸展臂的长度约为．12．(1)(2)；【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数的概念列方程是解题的关键．（1）过点作，设，则，，解直角三角形列方程即可解答；（2）解直角三角形，即可解答．【详解】（1）解：如图，过点作于E，设，，为等腰直角三角形，设，则，，在中，，即，解得，经检验，是原方程的解，河岸，之间的距离；（2）解：在中，，在中，，则轮渡码头P，M之间的距离为和轮渡码头P，N之间的距离为．13．摩天轮的高约为米【分析】本题考查解直角三角形的应用，黄